第三節(jié)　多邊形的邊與角

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1. 理解多邊形的有關(guān)概念.

2. 掌握多邊形的內(nèi)角和及其外角和的計(jì)算公式，并解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

3. 理解正多邊形的概念.

知識(shí)精講

1. 多邊形及其有關(guān)概念.

（1）多邊形的定義：在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的n條線段首尾順次相接組成的平面圖形稱(chēng)為n邊形，又稱(chēng)為多邊形.

（2）多邊形的邊：組成多邊形的線段叫作多邊形的邊.

（3）多邊形的內(nèi)角、外角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫作多邊形的內(nèi)角，也稱(chēng)為多邊形的角；多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫作多邊形的外角.

如圖11-3-1（a）所示，∠B、∠C、∠D、∠E、∠BAE是五邊形的內(nèi)角，∠1是五邊形的外角.

注：多邊形每一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，并且同一頂點(diǎn)的外角與內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.

（4）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫作多邊形的對(duì)角線.

如圖11-3-1（b）所示，AC、AD就是五邊形ABCDE中的兩條對(duì)角線.

注：一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n－3）條對(duì)角線，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形. 一個(gè)n邊形一共有條對(duì)角線.

（5）凸多邊形和凹多邊形.

① 在圖11-3-2（a）中，畫(huà)出四邊形ABCD的任意一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫作凸四邊形，這樣的多邊形稱(chēng)為凸多邊形.

② 在圖11-3-2（b）中，畫(huà)出DC（或BC）所在的直線，整個(gè)四邊形不都在這條直線的同一側(cè)，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為凹四邊形，像這樣的多邊形稱(chēng)為凹多邊形.

注：沒(méi)有特殊說(shuō)明，今后學(xué)習(xí)中所指的多邊形都是凸多邊形.

2. 多邊形的內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）·180°.

注：多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān)，增加一條邊，內(nèi)角和增加180°.

3. 多邊形的外角和：任意多邊形的外角和為360°.

注：多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān).

4. 正多邊形：各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫作正多邊形.

注：正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.

方法提煉

1. 轉(zhuǎn)化思想：在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理以后，進(jìn)一步研究多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，通常連接對(duì)角線，把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，從而解決問(wèn)題.

2. 方程思想：運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式求值時(shí)，通常運(yùn)用方程來(lái)解決問(wèn)題.

典例精析

例題1. 一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)對(duì)角線的條數(shù)是邊數(shù)的4倍，列方程求出邊數(shù)，再代入多邊形內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和.

【解】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得，解得n＝11，所以這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°＝（11－2）×180°＝1620°.

例題2. 如圖11-3-3所示，在四邊形ABCD中，∠1、∠2分別是∠BCD和∠BAD的鄰補(bǔ)角，且∠B＋∠ADC＝140°，則∠1＋∠2等于（　）.

A. 140°

B. 40°

C. 260°

D. 不能確定

【思路點(diǎn)撥】方法一：因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°.

方法二：可求出與∠B、∠ADC同頂點(diǎn)的兩外角和為220°，根據(jù)四邊形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°.

方法三：連接BD，根據(jù)三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，求出∠1＋∠2的度數(shù).

【答案】A

典題精練

1. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線共有（　）.

A. 6條

B. 7條

C. 8條

D. 9條

2. 若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是40°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（　）.

A. 10

B. 9

C. 8

D. 6

3. 如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，那么這個(gè)多邊形是（　）.

A. 四邊形

B. 六邊形

C. 八邊形

D. 十邊形

4. 一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變?yōu)槭呅危瑒t原來(lái)的多邊形的邊數(shù)為（　）.

A. 15或17

B. 16或17

C. 16或18

D. 15或16或17

5. 如果一個(gè)凸多邊形，除了一個(gè)內(nèi)角以外，其他內(nèi)角的和為2570°，則這個(gè)沒(méi)有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)_______.

6. 在四邊形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，則∠A，∠B，∠C的大小分別為_(kāi)_______.

7. 如果一個(gè)多邊形共有27條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________.

8. （1）一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是60°，這個(gè)多邊形是________邊形，它的內(nèi)角和為_(kāi)_______度，外角和為_(kāi)_______度；

（2）多邊形邊數(shù)每增加一條，它的內(nèi)角和會(huì)增加________，外角和為_(kāi)_______.

9. 如圖11-3-4所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，則∠DAB＝________.

10. 若多邊形所有內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和為600°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和.

中考真題

真題1. （北京）正十邊形的每個(gè)外角等于（　）.

A. 18°

B. 36°

C. 54°

D. 60°

真題2. （廣東湛江）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個(gè)多邊形是（　）.

A. 四邊形

B. 五邊形

C. 六邊形

D. 七邊形