1.5　麥克斯韋方程組與邊界條件

1.5.1　麥克斯韋方程組

麥克斯韋在引入位移電流假說的基礎上，總結前人研究成果，將揭示電磁場基本規律的幾個方程結合在一起，構成了麥克斯韋方程組。其積分形式為

相應的微分形式為：

▽·B=0　　（1.5.7）

▽·D=ρ　　（1.5.8）

這四個方程依次稱為麥克斯韋第一、二、三、四方程。

麥克斯韋方程組是經典電磁理論的基本方程，描述了宏觀電磁現象。第一方程表明，除了傳導電流外，時變的電場也會產生磁場；第二方程表明，除了電荷外，時變的磁場也產生電場。第三方程表明，穿過任意閉合曲面的磁通量恒等于0，磁場無散度源。第四方程表明，穿過任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合面內所包圍的自由電荷之和。所以，在時變條件下，電場和磁場是統一的電磁場的兩個方面，它們相互激勵，在空間形成電磁波。一旦場源激發了電磁波，即使場源不再存在，但電場和磁場仍可相互激勵，以有限速度向遠處傳播。

不同介質中，場量之間存在著某種限定關系，對于線性各向同性介質，這些關系為

D=εE　　（1.5.9）

B=μH　　（1.5.10）

J=σE　　（1.5.11）

這些方程稱為麥克斯韋方程的輔助方程。其中，ε、μ和σ分別稱為介質的介電常數、磁導率和電導率。

當場量不隨時間變化時，麥克斯韋方程可變為靜態場的基本方程。

1.5.2　電磁場的邊界條件

當電磁場越過不同介質的分界面時，由于分界面兩側介質特性發生變化，場量在界面兩側也會發生變化。把電磁場場量在介質分界面上需滿足的關系稱為電磁場的邊界條件。邊界條件可由積分形式的麥克斯韋應用于邊界上而導出。

1.H的邊界條件

設有兩種不同介質的分界面如圖1.23所示。介質1和介質2的特性參數分別為ε1、μ1、σ1和ε2、μ2、σ2。

設分界面上法向單位矢量en由介質2指向介質1，面電流密度為JS=eSJS，eS為垂直紙面向內的單位矢量。垂直于eS方向在分界面上做一小的矩形閉合回路，回路兩長邊Δl位于分界面兩側并與分界面平行，高Δh→0。令回路方向與eS方向呈右手螺旋關系，回路在介質1中的繞行方向與分界面的切線單位矢量et的方向一致，故有en×et=eS。由式（1.5.1），可得

等式左邊，由于Δh→0，環路兩側邊的線積分可忽略。又由于 為有限值，故等式右邊第二項的值也為0。于是有

H1t-H2t=JS　　（1.5.12）

表示為矢量形式為

en×（H1-H2）=JS　　（1.5.13）

可見，當H穿過存在面電流的分界面時，其切向方向是不連續的。若分界面上不存在面電流，即JS=0時，H的切向方向連續，有

H1t-H2t=0　或　en×（H1-H2）=0　　（1.5.14）

2.E的邊界條件

類似地，在介質分界面上取如圖1.23所示的矩形閉合回路，應用式（1.5.2），可得

同理，由于 為有限項，故上式右邊項等于0。

于是有

E1t-E2t=0　或　en×（E1-E2）=0　　（1.5.15）

上式說明，分界面上E的切線方向連續。

3.B的邊界條件

在兩種不同介質的分界面上取一個如圖1.24所示的貼近分界面的圓柱形閉合面，設上、下表面ΔS位于分界面兩側并平行于分界面，高Δh→0。設分界面法向單位矢量en由介質2指向介質1，則由式（1.5.3），可得

B1·enΔS-B2·enΔS=0

上式中，由于Δh→0，兩側邊面積分被忽略。于是有

B1n=B2n或en·（B1-B2）=0　　（1.5.16）

說明在分界面上B的法向分量是連續的。

4.D的邊界條件

類似地，在介質分界面上也取如圖1.24所示的圓柱形閉合面，設分界面上自由電荷面密度為ρS應用式（1.5.4），可得

D1·enΔS-D2·enΔS=ρSΔS

故有

D1n-D2n=ρS　或　（D1-D2）·en=ρS　　（1.5.17）

表明D的法向分量在有自由電荷的分界面上不連續。若分界面上無自由電荷，即ρS=0，此時D的法向分量是連續的，有

D1n-D2n=0　或　（D1-D2）·en=0　　（1.5.18）

以上由麥克斯韋方程組積分形式導出了電場和磁場的邊界條件。可以看出，方程組中各時間相關項對得出的結果沒有影響，所以得出的邊界條件在靜態和時變條件下都普遍適用。

實際應用中，經常遇到的是電導率很高的良導體和電導率很低的電介質。為了簡化電磁場的分析計算，常將它們近似看作是理想導體和理想介質。因此下面考察兩種特殊情形下的邊界條件

（1）兩種理想介質分界面上的邊界條件

因為介質1、2都為理想介質，故σ1=0，σ2=0。分界面上不存在自由電荷和面電流，即ρS=0，JS=0。因此，分界面上的邊界條件為

en×（H1-H2）=0　或　H1t-H2t=0　　（1.5.19）

en×（E1-E2）=0　或　E1t=E2t　　（1.5.20）

B1·en-B2·en=0　或　B1n=B2n　　（1.5.21）

（D1-D2）·en=0　或　D1n-D2n=0　　（1.5.22）

由式（1.5.20）和式（1.5.22），可得

E1sinθ1=E2sinθ2　和　ε1E1cosθ1=ε2E2cosθ2

故有

這是分界面上不存在自由電荷時，分界面兩側電場與法線n的夾角θ1和θ2與介質參數間的關系。

由式（1.5.19）和式（1.5.21），可得

H1sinθ1=H2sinθ2　和　μ1H1cosθ1=μ2H2cosθ2

故有

這是分界面上不存在面電流時，分界面兩側磁場與法線n的夾角θ1和θ2與介質參數間關系。

（2）理想介質與理想導體分界面上的邊界條件

設介質1為理想介質，介質2為理想導體。理想導體內，E2=0，H2=0，電荷和電流只分布于理想導體表面。因此，理想導體表面上的邊界條件為

en×H1=JS　或　H1t=JS　　（1.5.25）

en×E=0　或　E1t=0　　（1.5.26）

B1·en=0　或　B1n=0　　（1.5.27）

D1·en=ρS　或　D1n=ρS　　（1.5.28）

可看出，在理想導體表面上電場只有法向方向分量，磁場只有切向方向分量。

例1.15　同軸線內導體半徑為a，外導體是半徑為b的薄圓柱面，內、外導體間充滿參數為ε，μ0的介質，如圖1.25所示，導體間的電場強度為

試求：（1）求內、外導體間的磁場強度H；（2）計算內、外導體表面的面電流密度和面電荷密度；（3）計算內、外導體間的位移電流密度。

解　（1）采用圓柱坐標系，由，可得

（2）將內、外導體看作是理想導體，則內導體表面（r=a）處

外導體內表面（r=b）處

（3）內、外導體間位移電流密度

例1.16　兩種介質的分界面位于z=0的平面。已知z＞0空間的介質參數為ε1=2ε0、μ1=μ0、σ1=0；z＜0空間的介質參數為ε2=4ε0、μ2=μ0、σ2=0。若已知介質1中的電場為E1=ex2y-ey4x+ez（6+z）。試問能否確定介質2中的E2和D2

解　因為兩種介質均為理想介質，故分界面上ρS=0。設介質2中電場為

E2=exE2x+eyE2y+ezE2z

在分界面z=0處，由邊界條件E1t=E2t和D1n=D2n，可得

ex2y-ey4x=exE2x+eyE2y　和　2ε0×6=4ε0×E2y

于是得到

E2x=2y，E2y=-4x和E2y=3

因此，z=0處E2、D2的表達式為

E2=ex2y-ey4x+ez·3

D2=ε2E2=ε0（ex8y-ey16x+ez·12）

由于是非均勻場，故只能得到分界面處的E2和D2，介質2中其他位置處的E2和D2則不能確定。