1.4　電磁感應定律和位移電流

前面我們討論了靜態場，即不隨時間變化的電磁場。靜態場中，電場和磁場相互獨立，可以單獨分析和討論。本節將討論時變場，即隨時間變化的電磁場。時變場中，電場和磁場不再相互獨立，而是相互激勵和轉化，形成不可分割的統一的電磁場。

1.4.1　法拉第電磁感應定律

英國物理學家法拉第最早通過實驗探索揭示了電磁感應現象。實驗表明，當穿過導體回路所圍面積的磁通量發生變化時，回路中會出現感應電動勢，從而產生感應電流。若規定感應電動勢的正方向與穿過回路的磁感應線的正方向滿足右手螺旋定則，則感應電動勢的數學表達式為

式（1.4.1）是法拉第電磁感應定律。式中，εin為回路中的感應電動勢，Φ為穿過導體回路所圍面積S的磁通量。“-”號說明了感應電動勢的方向。當dΦ/dt＞0，即磁通隨時間的變化率大于0，則εin＜0，說明εin的方向與規定的正方向相反；若dΦ/dt＜0，則εin＞0，說明εin的方向與規定的正方向相同；這表明回路中產生的感應電動勢總是力圖阻止回路原磁通量的變化。

電動勢是非保守電場沿閉合路徑的積分，回路中出現了感應電動勢，就必然存在感應電場，感應電動勢可表示為感應電場的圍線積分，即

將式（1.4.1）代入，可得

式（1.4.2）說明，隨時間變化的磁場產生感應電場，感應電場是有旋場，其渦旋源是-?B/?t。同時也可看出，感應電場的產生是磁場變化的結果，與構成回路的導體性質無關，感應電場可存在于導體中，也可存在于非導體的空間中。因此，式（1.4.2）適合于任意回路。

如果空間中同時還存在著靜電場或者恒定電場Ec，則總電場為E=Ein+Ec。由于Ec為保守電場，滿足，故有

式（1.3.3）為推廣的法拉第電磁感應定律的積分形式。由式可看出，穿過回路c的磁通變化是產生感應電動勢的唯一條件。磁通變化可以是磁場隨時間變化引起的，也可以是回路運動，或兩者的結合引起的。下面分情形對式（1.4.3）展開討論。

（1）回路是靜止的

若回路靜止，磁場B隨時間變化，此時生成的電動勢稱為感生電動勢。式（1.4.3）可寫為

利用斯托克斯定理，上式可寫為

上式因對任意回路所圍面積S都成立，故有

（2）回路在恒定磁場中運動

若回路是運動的，則無論磁場是否恒定，都有可能在回路中產生感應電動勢，此時的電動勢稱為動生電動勢。若回路以速度v在恒定磁場中運動，則產生的感應電動勢為

利用斯托克斯定理，上式同樣可表示為

▽×E=▽×（v×B）　　（1.4.7）

（3）回路在時變磁場中運動

當回路在時變磁場中運動時，可視為上述兩種情形的結合。有

對應的微分形式為

例1.13　一矩形回路中有磁場B=ezB0sinωt垂直通過，回路一邊ab段以勻速v=exv0沿x軸正方向滑動，如圖1.21所示。求此回路中的感應電動勢。

解　該回路中的感應電動勢由兩部分組成。一部分是由于磁場的變化產生的，另一部分則是由于ab段運動而生成的。由式（1.4.8），可得

也可直接由磁通變化計算

可看出，兩種算法計算的結果一致。

1.4.2　位移電流

法拉第電磁感應定律揭示了隨時間變化的磁場會產生電場，將靜電場中的環路定律在時變條件下進行了擴展。那么隨時間變化的電場是否也能產生磁場？靜態電磁場的基本定律在時變條件下是否還能適用？本單元將討論恒定磁場中的安培環路定理直接應用于時變場時的局限性，以及它在時變場中的推廣。

設有一電容器充放電電路如圖1.22所示，電路中有一時變電壓源U（t），它在回路中產生時變的傳導電流i，并由此在空間建立時變磁場。選取一閉合路徑c及c所限定的與導線相交的曲面S1，由安培環路定律可得。由于c所限定的曲面可以是任意的，故另選取一個c所限定的不與導線相交的曲面S2，因穿過曲面S2的電流為0，所以。這表明，同一磁場強度H沿同一閉合路徑c的環流出現了不同的結果，說明恒定磁場中推導出來的安培環路定律應用于時變場時產生了矛盾。

上述矛盾主要源于靜態場中，安培環路定律為▽×H=J，有

▽·（▽×H）=▽·J=0

而時變場中，電流連續性方程為

因而出現了矛盾。為了克服安培環路定律應用于時變場的局限性，麥克斯韋提出了位移電流假設。他認為在電容器兩極板之間存在著另外一種形式的電流，稱之為位移電流，其大小與回路中的傳導電流相等。

為了求出位移電流密度表達式，將靜電場中的高斯定理▽·D=ρ推廣至時變場，則式（1.4.10）變為

即

式（1.5.11）表明，時變場中雖然▽·J≠0，但。若將代替安培環路定律中的J，則可得

滿足

且靜態場中， ，式（1.4.12）就變為恒定磁場中的安培環路定律，這就克服了電流連續性方程在靜態和時變條件下的矛盾。稱式（1.4.12）為推廣的安培環路定律微分形式，此式表明，隨時間變化的電場產生磁場。

式（1.4.12）中的作用相當于電流密度函數，故定義

為位移電流密度，單位為安/米2（A/m2）。

對式（1.4.12）兩邊取面積分，并應用斯托克斯定理，可得

式（1.4.14）為推廣的安培環路定律的積分形式。

需說明的是，位移電流概念最初只是麥克斯韋提出的一種假設，但在此假設基礎上建立起的麥克斯韋方程組所闡述的宏觀電磁規律，都得到了實驗驗證，從而證明了這種假設的正確性。

例1.14　自由空間中磁場強度H=eyH0sin（ωt-kz），其中H0、ω和k均為常數。試求：（1）位移電流密度；（2）電場強度。

解　自由空間中傳導電流密度為0，由式（1.4.12），可得

所以，位移電流密度為

而

故自由空間中的電場強度為