2.3　平面機構的自由度

機構是用來傳遞運動和動力或者是改變運動形式的機械裝置。為了達到這個目的，一般都要求機構具有確定的相對運動。根據機構運動的確定性要求，在認識和分析現有機械、設計新機械的時候，首先要判斷機構是否能夠運動，在什么條件下才能實現確定的運動；其次要對機構進行結構分析，確定機構的自由度；然后還要分析機構的運動，確定機構的運動特性等。

2.3.1　運動鏈自由度的計算

1.運動鏈

將兩個以上的構件通過運動副連接而組成的系統稱為運動鏈。如果運動鏈中各構件組成首末封閉的系統，如圖2.12a所示，稱為閉式運動鏈，簡稱閉鏈，否則稱為開式運動鏈，簡稱開鏈，如圖2.12b所示。閉鏈廣泛應用于各種機構中，少數機構才采用開鏈，如機械手、液壓挖掘機等。

在運動鏈中，如果將其中的一個構件固定作為機架，另一個或少數幾個為主動件時，則當主動件按給定的運動規律作獨立運動時，其余從動件也均隨之作確定的相對運動，這種運動鏈就稱為機構。

2.運動鏈的自由度

運動鏈中各構件相對于其中某一構件的位置所需的獨立參數的數目稱為運動鏈的自由度。

如圖2.2所示，作平面運動的剛體在空間的位置需要三個獨立的參數（x，y，θ）才能唯一確定。即單個自由構件的自由度為3。當該構件與另外一個構件組成運動副之后，它的自由度的數目就會減少。不同類型的運動副所引入的約束數目也不同。

設一個平面運動鏈共有N個構件，PL個低副和PH個高副。在運動鏈的N個構件中有一個構件為機架，則構件中的活動構件數為n=N-1。在相互之間用運動副連接之前，每個活動構件具有三個自由度，因此這些活動構件的自由度總數為3n。當用運動副將各構件連接起來組成運動鏈之后，運動鏈中的全部運動副所引入的約束總數為2PL+PH，因此，活動構件的自由度總數減去運動副引入的約束總數就是整個運動鏈相對于機架的自由度，用F表示。

即

F=3n-2PL-PH　　（2.1）

式中　PL──運動鏈中的低副數；

PH──運動鏈中的高副數；

n──運動鏈中的活動構件數。

2.3.2　運動鏈成為機構的條件

機構是由構件和運動副組成的系統，是具有確定的相對運動的運動鏈。將運動鏈中的一個構件作為機架，當運動鏈中的一個或幾個主動件的運動確定時，其余從動件的運動也隨之確定，則運動鏈成為機構。運動鏈具有確定的相對運動的條件分析如下：

圖2.13a所示為五構件運動鏈，主動件數小于自由度數。若僅將構件AB作為主動件，當AB處于圖示位置時，其余構件的位置不能確定，既可處于BC、CD、DE位置，也可處于BC′、C′D′、D′E位置，表明各構件間沒有確定的相對運動，只能作無規則的運動。只有給出兩個主動件，使構件1、4都處于給定的位置，各個構件間才能有確定的相對運動，如圖2.13b所示。這說明對于自由度為2的運動鏈，任取某兩活動構件為主動件則運動鏈成為具有確定運動的機構。

圖2.14a所示為四構件運動鏈，若任取構件AB為主動件，通過幾何作圖可知，對于構件AB的任意位置，構件BC和CD均有唯一確定的位置與之對應。這說明對自由度為1的運動鏈，任取某一活動構件為主動件，其余各個構件的運動便確定了，運動鏈即成為機構。在圖2.14b中，主動件數大于自由度數，構件2既要滿足主動件1的運動，同時又要服從主動件3的給定運動，顯然這是不可能的，必將造成其中最薄弱的環節損壞。這種情況下，運動鏈不能成為機構。

如圖2.15a所示，三個構件用三個轉動副相聯，并將其中一個構件作為機架。此時，其自由度等于零，說明各個構件之間不可能產生相對運動，而成為一個靜定桁架。又如圖2.15b所示，四個構件用五個轉動副相聯，并取一個構件為機架，由式（2.1）可得自由度小于零。這說明它所受的約束過多，根本不能運動，成為超靜定桁架。

綜上所述可知：運動鏈具有確定的相對運動而成為機構的條件是：

①運動鏈的自由度必須大于零；

②主動件的數目與運動鏈的自由度必須相等。

滿足以上條件的運動鏈即為機構，因此機構的自由度也就是運動鏈相對機架的自由度，可利用式（2.1）表示的運動鏈自由度的計算公式來進行計算。

2.3.3　計算機構自由度時的注意事項

在應用式（2.1）計算機構的自由度時，還應注意以下幾種特殊情況，否則將得不到正確的結果。

1.復合鉸鏈

若兩個以上的構件在同一軸線上用轉動副相連接所組成的運動副，稱為復合鉸鏈。三個構件在A點組成的復合鉸鏈如圖2.16所示，其中圖2.16a表示的是轉動副的軸線垂直于紙面，圖2.16b表示的是轉動副的軸線平行于紙面。由圖2.16b可以看出，這三個構件沿同一個軸線共組成兩個轉動副。

在計算機構的自由度時，應注意識別出復合鉸鏈并確定其實際包含的轉動副數目，在統計轉動副數目時應特別注意這種情況，以免遺漏。

識別復合鉸鏈的關鍵在于要分辨出在同一處形成轉動副的構件。圖2.17列舉了一些較難識別的情況。

圖2.17a所示的是構件1、構件2分別與機架3組成兩個轉動副；圖2.17b所示的是構件1、構件2分別與滑塊3形成兩個轉動副；圖2.17c所示的是構件1、滑塊2分別與機架3組成兩個轉動副；而圖2.17d所示的是構件1與滑塊2之間、滑塊2與滑塊3之間各形成一個轉動副。

復合鉸鏈的處理方法是：若由K個構件在同一處組成復合鉸鏈，則其轉動副的數目應為（K-1）個。

2.局部自由度

局部自由度是指機構中某些構件的局部獨立運動，它并不影響其他構件的運動。

一般情況下，機械中常常有局部自由度存在，如滾子、滾動軸承等。局部自由度并不影響機構的主要運動，但它可以改善機構的工作狀況，即可使高副接觸處的滑動摩擦變成滾動摩擦，并減少磨損。

在計算機構的自由度時，局部自由度的處理方法是采用固聯的方法予以排除，所謂固聯就是將滾子和從動件視為一體，使它們之間沒有相對轉動。

例2.2　計算圖2.18a所示的凸輪機構的自由度。

解：在圖2.18a所示的凸輪機構中，凸輪1是主動件，滾子從動件2是輸出構件。當凸輪轉動時，通過滾子4驅使從動件2以一定運動規律在機架3中往復移動。凸輪機構的自由度為

F=3n-2PL-PH

=3×3-2×3-1

=2

而機構中只有一個主動件，顯然與機構的自由度數不相等。這與前面討論的機構具有確定運動的條件相矛盾。

在這個機構中，滾子繞其軸線自由轉動，無論滾子4繞其自身幾何軸線C是否轉動或轉動的快與慢，都不影響輸出構件2的輸出運動。因此滾子繞其中心的這種轉動是一個局部自由度。在計算機構的自由度時，應排除這個局部自由度。具體做法是采用固聯的方法，即將滾子和從動件看成是一個構件，滾子與從動件之間的轉動副C也隨之消失，使得它們之間沒有相對運動，如圖2.18b所示。此時，活動構件數n由3變為2，低副數PL由3變為2，高副數PH不變，則機構的自由度為

F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1

這樣，機構的自由度與主動件數目相等。因此以凸輪作為主動件，機構具有確定的運動。這里采用滾子結構的目的是用滾動摩擦代替滑動摩擦，以減少磨損。

3.虛約束

在機構中與其他約束作用重復而對機構運動不起獨立限制作用的約束，稱為虛約束。

在工程實際中，雖然虛約束不影響機構的運動，但它卻可以保證機構順利運動，或增加機構的剛性，改善機構的受力情況，所以虛約束的應用十分廣泛。

虛約束是在特定的幾何條件下形成的，計算機構的自由度時，應將其除去不計。如果幾何條件不能滿足，虛約束將成為約束，從而對機構的運動起限制作用，所以此類機構對工藝精度有較高的要求。

平面機構中的虛約束常出現在以下幾種情況：

（1）重復運動副　當兩個構件之間在多處接觸組成的相同的運動副時，就會引入虛約束。

如圖2.19a所示，安裝齒輪1的軸與支承軸的兩個軸承2之間組成了兩個相同的且其軸線重合的轉動副A和A′。從運動的角度來看，這兩個轉動副中只有一個轉動副起約束作用，而另一個轉動副為虛約束。因此，計算機構的自由度時，應只考慮一個轉動副。

在圖2.19b所示的凸輪機構中，從動件2與機架3之間組成了兩個相同的，且導路重合的移動副B和B′。此時，只有一個移動副起約束作用，其余為虛約束。

在圖2.19c所示的機構中，構件2與構件3之間組成的兩個高副B和B′，這兩個高副接觸點處的公法線重合，只考慮一個高副所引入的約束，其余為虛約束。

（2）重復軌跡　在機構的運動過程中，如果兩個構件上的兩點之間的距離始終不變，則用一構件和兩個轉動副將這兩點連接起來，就會引入虛約束。在圖2.20a所示的機車車輪聯動機構中，各個構件之間存在著特殊的幾何關系，AB∥CD∥EF，且AB=CD=EF，BC=AD。由于ABCD為一個平行四邊形，所以一般稱這種機構為平行四邊形機構，其機構運動簡圖如圖2.20b所示。

當主動件1運動時，構件5與機架4始終保持平行并作平動。因此，構件5上各個點的運動軌跡完全相同。構件5上任一點E的軌跡為半徑等于AB，圓心位于機架AD上F點的圓。用構件2分別與構件5和機架4在E點和F點進行連接，組成了兩個轉動副E和F。構件2是一個具有兩個運動副元素的構件，由前面的分析可知，將該構件加入到機構中之后，機構將增加一個約束。這個約束使得構件2上E點的軌跡為以F點為圓心、AB長度為半徑的圓。因此，構件5上E點的軌跡與構件2上E點的軌跡相重合。從運動的角度來看，構件2對機構的約束是重復的，它并不影響機構的運動，故為虛約束。因此，計算機構的自由度時，應去掉這個虛約束，即將構件2及其帶入的兩個運動副E和F一起去掉，如圖2.20c所示。

（3）對稱結構　機構中對傳遞運動不起獨立約束作用的對稱結構中，只有一個起到約束作用，其他的對稱部分都是虛約束。在圖2.21所示的輪系中，中心輪1經過2和2′驅動內齒輪3。從傳遞運動的要求來看，在兩個對稱布置的小齒輪中，只需要一個小齒輪即可；而另一個小齒輪是虛約束。在計算機構的自由度時，只考慮一個小齒輪。

例2.3　計算圖2.11所示液壓挖掘機機構的自由度。

解：（1）判斷機構中是否存在特殊情況　機構中G處為復合鉸鏈。G處的三個構件共組成了兩個轉動副，因此，在計算機構的自由度時，鉸鏈G處表示轉動副的一個小圓圈“°”實際上代表了兩個轉動副。

（2）確定活動構件數和各類運動副數　由圖2.11可知，機構中構件2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12為活動構件，因此活動構件數n=11。

機構中運動副的情況是：鉸鏈A、B、D、E、F、H、I、J和K處各有一個轉動副，鉸鏈G為復合鉸鏈，此處有兩個轉動副；液壓油缸3和活塞桿4、液壓油缸5和活塞桿6、液壓油缸8和活塞桿9之間各有一個移動副，所以機構中的低副PL=15；機構中沒有高副，PH=0。

（3）計算機構的自由度　由式（2.1）得

F=3n-2PL-PH=3×11-2×15-0=3

此機構自由度等于3，機構中有三個主動件，主動件數與機構的自由度相等，因此該機構具有確定的運動。

例2.4　計算圖2.22所示發動機配氣機構的自由度。

解：此機構中，G、F為導路重合的兩移動副，其中一個是虛約束；P處的滾子為局部自由度。除去虛約束及局部自由度后，該機構則有n=6；PL=8；PH=1。其自由度為

F=3n-2PL-PH=3×6-2×8-1=1

此機構自由度等于1，機構中有一個主動件，主動件數與機構的自由度相等，因此該機構具有確定的運動。