3.3　樁—土—巖共同作用的非線性計算

3.3.1　樁—土—巖共同作用的力學模型

Seed和Reese于1957年首次提出樁身荷載傳遞函數的雙曲線模型，即樁側摩阻力或端阻力與樁身沉降呈雙曲線關系（圖3-5），其數學表達式為：

式中　s——樁土相對位移；

a、b——待定系數，其物理意義分別為1/τlim和tan θ0（曲線原點處的切線斜率）。

將式（3-14）變化，可得：

通過實測數據可獲取τ-s曲線，由線性回歸分析確定雙曲線模型中的參數a、b。

3.3.2　雙曲線模型參數a、b的取值

（1）樁土側界面

劉金礪（1996）對極限側阻的取值進行過總結。根據各表達式所用系數的不同可歸納為α，λ，β法。α，λ法一般用于計算黏性土中的樁，β法適用于黏性土和無黏性土中的樁。

α法的表達式為：

τu=αCu　　（3-16）

式中　α——黏結力系數；

Cu——樁側土層平均不排水剪切強度。

對于樁土界面土的α值，根據Randolph和Wroth（1978）等人的研究，可表示為：

式中　G0——土在小應變情況下的剪切模量；

R0——樁身橫截面半徑；

R——樁側剪應力可以忽略的徑向長度。

Baguelin和Frank（1979）建議ln（R/R0）=3～5。

根據試驗研究，τult值略大于樁土界面處的極限摩阻力fu。二者間的關系為fu=Rfτult，其中Rf為破壞比，一般取0.75～0.95。

（2）樁巖界面

樁巖界面的側剪阻宜通過試驗確定。無試驗時，亦可通過經驗類比或相關關系獲取。目前國內外學者常用的方法是將樁巖界面極限平均側阻與巖石單軸抗壓強度建立關系，其代表性公式為。

對于樁巖底界面的荷載傳遞參數，國內外諸多學者研究認為，樁端巖石的極限承載力與巖石無側限抗壓強度可表示為qu=βfrc，其中β為統計參數，根據現場試驗確定的極限端阻和巖石無側限抗壓強度統計分析獲取。Poulos和Davis（1974）提出了如下計算方法：

式中　n——和樁的嵌巖長度與樁端直徑之比（hr/d）有關的系數；

ER和υR——分別表示巖石的彈性模量和泊松比；

d——樁身直徑。

3.3.3　荷載傳遞微分方程的建立及求解

在樁頂荷載作用下，樁—土共同作用模型中取樁身任一微段，由靜力平衡條件可得到：

微元體產生的彈性壓縮量為：

將荷載傳遞雙曲線模型關系式（3-14）代入式（3-22）得：

式（3-23）即為樁身荷載傳遞微分方程。對式（3-23）積分，并考慮初始條件Q，s有：

令α2=2upEA得：

式（3-24a）和式（3-24b）中，α是與樁身材料和橫截面尺寸有關的常數，a和b是土性參數，可由試驗資料計算得到。

求解微分方程（3-22）時僅考慮其初始條件、未引入邊界條件，故式（3-23）表示的荷載—沉降關系僅為樁身任意位置處由于荷載引起的彈性壓縮量與引起該彈性壓縮量所需的樁身軸力之間的關系，未包括樁身剛性位移對樁身軸力的影響。一般地，樁的剛性位移可認為是樁端土層壓縮引起的沉降量。故樁身沉降等于樁身彈性壓縮位移se（z）與樁身剛性位移sb之和：

s（z）=se（z）+sb　　（3-25）

根據荷載傳遞函數雙曲線模型，在樁端有：

式中　σb——樁端阻力；

sb——樁端沉降量；

ab，bb——樁端土的荷載傳遞函數參數。

由式（3-26）可得出樁端總反力為：

將作用于樁頂的荷載記為Q0，樁頂沉降量為s0，樁端產生沉降量sb時，樁身摩阻力及軸力分布如圖3-6所示。圖中τ0和τb可表示成：

樁身任意截面處有：

Q（z）=Qb+Qe（z）　　（3-29）

式中　Qb——使樁端產生沉降sb所需的軸向力；

Qe——使樁身產生彈性壓縮量se所需的軸向力，即式（3-23）所表示的軸力。

將式（3-23）、式（3-28）代入式（3-29）得：

式中　se（z）——z深度以下部分樁所產生的彈性壓縮量；

as，bs——與樁側土的性質有關的荷載傳遞函數參數。

在樁頂則有：z=0，se（0）=se0。此處se0為整個樁身所產生的總彈性壓縮量。于是有：

上式即為樁頂荷載與沉降的關系式。若給定不同的sb（或se0）則可求出不同的se0（或sb），就能求出不同的s0和Q0，從而可以得到樁的荷載—沉降關系曲線Q0-s0曲線，即通常所說的P-S曲線。對于樁側土為多層土的情形不難得到：

式中　asi、bsi——與樁側第i層土的性質有關的荷載傳遞函數參數；

n——樁深范圍內的土層數。

上述計算過程可以十分方便地編成程序，用計算機來完成計算并繪出Q0-s0關系曲線。