- 五年制高職數(shù)學(xué)(第三冊(cè))
- 張瑾 鄒秀英 趙春芳
- 1103字
- 2020-06-29 11:36:37
12.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量
本節(jié)重點(diǎn)知識(shí):
1.無(wú)窮小量及其性質(zhì).
2.無(wú)窮大量.
3.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量之間的關(guān)系.
12.3.1 無(wú)窮小量及其性質(zhì)
定義1 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的極限為零,即(或
),則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮小).
注意:
(1)說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮小量,必須指明x的趨近過(guò)程;
(2)無(wú)窮小量是在某一過(guò)程中,以0為極限的變量,而不是絕對(duì)值很小的數(shù).
(3)0是可以作為無(wú)窮小量的唯一的數(shù).
例1 自變量x在怎樣的變化過(guò)程中,下列函數(shù)為無(wú)窮小:

解 做出上述四個(gè)函數(shù)的圖像(見(jiàn)圖12-31),由圖12-31可知:
(1),所以當(dāng)x→∞時(shí)
為無(wú)窮小.
(2),所以當(dāng)
時(shí)(2x-1)為無(wú)窮小.
(3),所以當(dāng)x→-∞時(shí)2x為無(wú)窮小.
(4),所以當(dāng)x→+∞時(shí)
為無(wú)窮小.
無(wú)窮小的性質(zhì)
在自變量的同一變換過(guò)程中:
(1)有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小.
(2)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.
(3)常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.
(4)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.

圖 12-31
例2 求.
解 因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/49DD8E/17180252104501606/epubprivate/OEBPS/Images/img00041003.jpg?sign=1751715242-dWfKObyEuOql1uG9TTlBmBT3Gfd80gxH-0-6cf3196a1f6fa0f4bef448288df110f7">且,即
有界,所以
.
12.3.2 無(wú)窮大量
引例 考察當(dāng)x從1的左右兩側(cè)趨近于1時(shí),函數(shù)的變化情況.列表(見(jiàn)表12-6)考察.
表 12-6(a)

表 12-6(b)

用圖像考察(如圖12-32).從表和圖中可知,當(dāng)x從1的左側(cè)趨近于1時(shí),可以任意小,但絕對(duì)值任意大;當(dāng)x從1的右側(cè)趨近于1時(shí),
可以任意大,這時(shí)我們就稱當(dāng)x→1時(shí)
為無(wú)窮大量.記為
.

圖 12-32
定義2 如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí),函數(shù)f(x)的絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮大)記為

注意
(1)說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮大量,必須指明x的趨近過(guò)程;
(2)無(wú)窮大量是在某一過(guò)程中,絕對(duì)值無(wú)限增大的變量,而不是絕對(duì)值很大的數(shù);
(3)如果 ,我們常說(shuō)當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限是無(wú)窮大,此時(shí)極限并不存在.
正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大
如果當(dāng)x→x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0時(shí)的正無(wú)窮大,記為;如果當(dāng)x→x0,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)為負(fù)數(shù),且絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0時(shí)的負(fù)無(wú)窮大,記為
,如圖12-33所示.

圖 12-33
例3 自變量x在怎樣的變化過(guò)程中,下列函數(shù)為無(wú)窮大.
(1); (2)y=ln x; (3)y=2x.
解 (1)因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/49DD8E/17180252104501606/epubprivate/OEBPS/Images/img00043002.jpg?sign=1751715242-zFGzS75fZgvVdPm2EqM0LZOLUUsFwbSC-0-a9faef8149f75d5a7ae7651596ec69b8">,即x→0時(shí)x為無(wú)窮小量,所以當(dāng)x→0時(shí),為無(wú)窮大量;
(2)由圖12-34(a)可知,當(dāng)x→0+時(shí),lnx→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí),ln x→+∞,所以當(dāng)x→0+及x→+∞時(shí),ln x均為無(wú)窮大量;
(3)由圖12-34(b)可知,當(dāng)x→+∞時(shí),2x→+∞,所以當(dāng)x→+∞時(shí),2x為無(wú)窮大量.

圖 12-34
12.3.3 無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系
在自變量的同一變化過(guò)程中,如果f(x)為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;反之,如果f(x)為無(wú)窮小,且f(x)≠0,則
為無(wú)窮大.
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