12.3　無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)：

1.無(wú)窮小量及其性質(zhì).

2.無(wú)窮大量.

3.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量之間的關(guān)系.

12.3.1　無(wú)窮小量及其性質(zhì)

定義1　如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的極限為零，即（或），則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮小）.

注意：

（1）說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮小量，必須指明x的趨近過(guò)程；

（2）無(wú)窮小量是在某一過(guò)程中，以0為極限的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù).

（3）0是可以作為無(wú)窮小量的唯一的數(shù).

例1　自變量x在怎樣的變化過(guò)程中，下列函數(shù)為無(wú)窮小：

解　做出上述四個(gè)函數(shù)的圖像（見(jiàn)圖12-31），由圖12-31可知：

（1），所以當(dāng)x→∞時(shí)為無(wú)窮小.

（2），所以當(dāng)時(shí)（2x-1）為無(wú)窮小.

（3），所以當(dāng)x→-∞時(shí)2x為無(wú)窮小.

（4），所以當(dāng)x→+∞時(shí)為無(wú)窮小.

無(wú)窮小的性質(zhì)

在自變量的同一變換過(guò)程中：

（1）有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小.

（2）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

（3）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

（4）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.

例2　求.

解　因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/49DD8E/17180252104501606/epubprivate/OEBPS/Images/img00041003.jpg?sign=1751715242-dWfKObyEuOql1uG9TTlBmBT3Gfd80gxH-0-6cf3196a1f6fa0f4bef448288df110f7">且，即有界，所以.

12.3.2　無(wú)窮大量

引例　考察當(dāng)x從1的左右兩側(cè)趨近于1時(shí)，函數(shù)的變化情況.列表（見(jiàn)表12-6）考察.

用圖像考察（如圖12-32）.從表和圖中可知，當(dāng)x從1的左側(cè)趨近于1時(shí)，可以任意小，但絕對(duì)值任意大；當(dāng)x從1的右側(cè)趨近于1時(shí)，可以任意大，這時(shí)我們就稱當(dāng)x→1時(shí)為無(wú)窮大量.記為.

定義2　如果當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的絕對(duì)值|f（x）|無(wú)限增大，就稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大）記為

注意

（1）說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮大量，必須指明x的趨近過(guò)程；

（2）無(wú)窮大量是在某一過(guò)程中，絕對(duì)值無(wú)限增大的變量，而不是絕對(duì)值很大的數(shù)；

（3）如果 ，我們常說(shuō)當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限是無(wú)窮大，此時(shí)極限并不存在.

正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大

如果當(dāng)x→x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）無(wú)限增大，就稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0時(shí)的正無(wú)窮大，記為；如果當(dāng)x→x0，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）為負(fù)數(shù)，且絕對(duì)值|f（x）|無(wú)限增大，就稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0時(shí)的負(fù)無(wú)窮大，記為，如圖12-33所示.

例3　自變量x在怎樣的變化過(guò)程中，下列函數(shù)為無(wú)窮大.

（1）；　　（2）y=ln x；　　（3）y=2x.

解　（1）因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/49DD8E/17180252104501606/epubprivate/OEBPS/Images/img00043002.jpg?sign=1751715242-zFGzS75fZgvVdPm2EqM0LZOLUUsFwbSC-0-a9faef8149f75d5a7ae7651596ec69b8">，即x→0時(shí)x為無(wú)窮小量，所以當(dāng)x→0時(shí)，為無(wú)窮大量；

（2）由圖12-34（a）可知，當(dāng)x→0+時(shí)，lnx→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，ln x→+∞，所以當(dāng)x→0+及x→+∞時(shí)，ln x均為無(wú)窮大量；

（3）由圖12-34（b）可知，當(dāng)x→+∞時(shí)，2x→+∞，所以當(dāng)x→+∞時(shí)，2x為無(wú)窮大量.

12.3.3　無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系

在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f（x）為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小；反之，如果f（x）為無(wú)窮小，且f（x）≠0，則為無(wú)窮大.