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12.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí):

1.無(wú)窮小量及其性質(zhì).

2.無(wú)窮大量.

3.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量之間的關(guān)系.

12.3.1 無(wú)窮小量及其性質(zhì)

定義1 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的極限為零,即(或),則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮小).

注意:

(1)說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮小量,必須指明x的趨近過(guò)程;

(2)無(wú)窮小量是在某一過(guò)程中,以0為極限的變量,而不是絕對(duì)值很小的數(shù).

(3)0是可以作為無(wú)窮小量的唯一的數(shù).

例1 自變量x在怎樣的變化過(guò)程中,下列函數(shù)為無(wú)窮小:

 做出上述四個(gè)函數(shù)的圖像(見(jiàn)圖12-31),由圖12-31可知:

(1),所以當(dāng)x→∞時(shí)為無(wú)窮小.

(2),所以當(dāng)時(shí)(2x-1)為無(wú)窮小.

(3),所以當(dāng)x→-∞時(shí)2x為無(wú)窮小.

(4),所以當(dāng)x→+∞時(shí)為無(wú)窮小.

無(wú)窮小的性質(zhì)

在自變量的同一變換過(guò)程中:

(1)有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小.

(2)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

(3)常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.

(4)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.

圖 12-31

例2 求.

 因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/49DD8E/17180252104501606/epubprivate/OEBPS/Images/img00041003.jpg?sign=1751715242-dWfKObyEuOql1uG9TTlBmBT3Gfd80gxH-0-6cf3196a1f6fa0f4bef448288df110f7">且,即有界,所以.

12.3.2 無(wú)窮大量

引例 考察當(dāng)x從1的左右兩側(cè)趨近于1時(shí),函數(shù)的變化情況.列表(見(jiàn)表12-6)考察.

表 12-6(a)

表 12-6(b)

用圖像考察(如圖12-32).從表和圖中可知,當(dāng)x從1的左側(cè)趨近于1時(shí),可以任意小,但絕對(duì)值任意大;當(dāng)x從1的右側(cè)趨近于1時(shí),可以任意大,這時(shí)我們就稱當(dāng)x→1時(shí)為無(wú)窮大量.記為.

圖 12-32

定義2 如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí),函數(shù)f(x)的絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮大量(簡(jiǎn)稱無(wú)窮大)記為

注意

(1)說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮大量,必須指明x的趨近過(guò)程;

(2)無(wú)窮大量是在某一過(guò)程中,絕對(duì)值無(wú)限增大的變量,而不是絕對(duì)值很大的數(shù);

(3)如果 ,我們常說(shuō)當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限是無(wú)窮大,此時(shí)極限并不存在.

正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大

如果當(dāng)x→x0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0時(shí)的正無(wú)窮大,記為;如果當(dāng)x→x0,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)為負(fù)數(shù),且絕對(duì)值|f(x)|無(wú)限增大,就稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x→x0時(shí)的負(fù)無(wú)窮大,記為,如圖12-33所示.

圖 12-33

例3 自變量x在怎樣的變化過(guò)程中,下列函數(shù)為無(wú)窮大.

(1);  (2)y=ln x;  (3)y=2x.

 (1)因?yàn)?img active="true" alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/49DD8E/17180252104501606/epubprivate/OEBPS/Images/img00043002.jpg?sign=1751715242-zFGzS75fZgvVdPm2EqM0LZOLUUsFwbSC-0-a9faef8149f75d5a7ae7651596ec69b8">,即x→0時(shí)x為無(wú)窮小量,所以當(dāng)x→0時(shí),為無(wú)窮大量;

(2)由圖12-34(a)可知,當(dāng)x→0+時(shí),lnx→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí),ln x→+∞,所以當(dāng)x→0+及x→+∞時(shí),ln x均為無(wú)窮大量;

(3)由圖12-34(b)可知,當(dāng)x→+∞時(shí),2x→+∞,所以當(dāng)x→+∞時(shí),2x為無(wú)窮大量.

圖 12-34

12.3.3 無(wú)窮大與無(wú)窮小之間的關(guān)系

在自變量的同一變化過(guò)程中,如果f(x)為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;反之,如果f(x)為無(wú)窮小,且f(x)≠0,則為無(wú)窮大.

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