7.2　等差數列及其通項公式

本節重點知識

1.等差數列.

2.等差數列通項公式.

3.等差中項.

4.等差數列前n項和.

7.2.1　等差數列

觀察下面數列排列次序的特點：

（1）4，5，6，7，8，9，10，…；

（2）10，9，8，7，6，5，4，…

我們可以發現，從第2項起數列（1）的每一項都比它的前一項多1；數列（2）的每一項都比它的前一項少1；也就是說數列（1）和（2）從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數.

定義　如果一個數列a1，a2，a3，…，an，…，從它的第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數d，即

a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，

則這個數列稱做等差數列，這個常數稱做等差數列的公差，公差通常用字母d來表示.例如，數列2，4，6，8，…，2n，…就是等差數列，它的公差d=2.

練習

1.上面數列（1）和（2）都是等差數列，它們的公差分別是_________和_________.

2.列舉兩個公差是零的數列，并說出它們的特點.

3.如果等差數列a1，a2，a3，…，an的公差是d，那么等差數列an，an-1，…，a2，a1的公差是多少？

4.說出下列等差數列的公差：

（1）2，3，4，5，…；　　（2）9，7，5，3，…；

（3）2，5，8，11，…；　?。?）-3，-7，-11，-15，…；

（5）8，7，6，5，…；　　（6）-10，-7，-4，-1，…

7.2.2　等差數列通項公式

已知一個數列a1，a2，a3，…，an，…是等差數列，它的公差是d，如何算出它的任意項an呢？

由等差數列定義可知，

a2=a1+d，

a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，

a5=a4+d=（a1+3d）+d=a1+4d，

……

由此可知，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式是

an=a1+（n-1）d

例如，一個等差數列{an}的首項是3，公差是-2，那么將它們代入上面的公式就得到這個數列的通項公式

an=3+（n-1）·（-2）

即an=5-2n.

在等差數列通項公式中，有a1，an，d和n四個變量，知道其中三個，就可以求出第四個.

例1　指出下面數列中的等差數列，并求出公差和通項公式：

（1）1，5，9，13，17，…；

（2）1，4，16，64，256，…；

（3）-1，-1，-1，-1，-1，…；

分析　如果一個數列是等差數列，必須滿足等差數列的定義，即從第2項起，每一項與它的前一項的差等同于同一個常數，經驗算（1），（3），（6）是等差數列.

解　（1）因為公差d=4，所以通項公式an=1+（n-1）·4，

即an=4n-3；

（3）因為公差d=0，所以通項公式an=-1；

（6）因為公差所以通項公式

例2　求等差數列8，5，2，…的第20項.

分析　因為等差數列的a1，a2，a3是已知的，又因為公差d=a2-a1，知道了a1，d和n，所以利用通項公式an=a1+（n-1）d就可以求出這個等差數列的第20項.

解　a1=8，d=5-8=-3，n=20，

所以a20=8+（20-1）×（-3）=-49.

例3　等差數列-5，-8，-11，…的第幾項是-302？

分析　仿照例1可先求出公差d，由于a1，d和an是已知的，利用通項公式求n.

解　因為a1=-5，d=-8-（-5）=-3，an=-302，

所以an=a1+（n-1）d

　　　=-5+（n-1）×（-3）

　　　=-3n-2

即-302=-3n-2.

解得n=100.

所以這個數列的第100項是-302.

例4　已知一個等差數列的第3項是8，第6項是17，求它的第11項.

分析　本題應首先求出這個等差數列，才能求第11項，即應先求出a1和d.可以采用列方程組的方法求出，但這需要兩個獨立條件，而a3=8，a6=17恰好是兩個獨立的條件.

解　設等差數列的首項為a1，公差為d，根據題意，有

整理，得

解得

因此a11=2+（11-1）×3=32.

所以第11項是32.

練一練

在等差數列中，根據下列條件，求公差d：

（1）a3=6，a7=14；

（2）a7=-10，a20=3；

（4）a10=30，a30=10；

（5）a6=11，a1=1；

（6）b20=20，b30=30.

例5　已知三個數成等差數列，它們的和為15，它們的積為80，求這三個數.

分析　如果已知三個數成等差數列，并且知道它們的和，可將這三個數表示為a-d，a，a+d，其中d是公差，運算時容易簡化.這是一個重要的方法，本題就可以采用這種方法設置未知數.

解　由于三個數成等差數列，則可設這三個數為a-d，a，a+d（公差為d）.

因為（a-d）+a+（a+d）=15，

所以a=5.

由此可知所求的三個數為5-d，5，5+d.

又因為（5-d）×5×（5+d）=80，

所以d=±3.

因此所求的三個數為2，5，8或8，5，2.

練一練

已知三個數成等差數列，和是36，且第一個數與第三個數的乘積是108，求這三個數.

解　根據三個數成等差數列，且和是36，則可設這三個數為_________①.

因為_________②=36.

所以a=_________③.

即所求的三個數為__________________④.

又因為_________⑤=108，

所以d=_________⑥.

因此所求的三個數為_________⑦.

答案　①a-d，a，a+d（d是公差）；②a-d+a+a+d；

③12；④12-d，12，12+d；⑤（12-d）·（12+d）；

⑥d=±6；⑦6，12，18或18，12，6.

練習

1.填空題（求下列各等差數列的公差）：

（1）11，7，3，…，則d=_________；

（2）1，0，…，則d=_________；

2.在等差數列{an}中：

（1）a7=8，求a1；

（2）a1=10，d=-2，求a20；

（3）a1=12，a6=27，求d.

3.題組訓練：

在等差數列{an}中，計算：

（1）a3=5，a8=20，求a25；

（2）a3=15，a6=9，求a9；

（3）a4=7，a7=4，求a11；

（4）a5=12，a12=5，求a17.

7.2.3　等差中項

一般地，如果在a與b之間插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A稱做a與b的等差中項.

如果A是a與b的等差中項，則

A-a=b-A，

所以

這就表明兩個數的等差中項就是它們的算數平均值.

在等差數列a1，a2，a3，…，an，…中，

這就是說，在等差數列中，從第2項起，每一項（有限等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項.

例1　在3與7之間插入一個數，使它與這兩個數成等差數列，求插入的這個數.

分析　本題所求的數就是已知數3與7的等差中項，用等差中項公式可以求出.

解　設插入的數是A，則A-3=7-A，即2A=3+7，

所以插入的數是5.

例2　在6和30之間插入三個數，使它們與這兩個數成等差數列，求這三個數.

分析　本題可考慮使用兩種方法求解.解法1，因為在6和30之間插入三個數共五項，第三項可看成首末兩項的等差中項，第二項是第一、第三的等差中項，第四項是第三、五項的等差中項，通過使用等差中項公式可求出這三個數.解法2，是把6看成a1，由于插入了三個數，把30看成a5，于是能求出公差d，然后再分別求這個等差數列的第二、第三、第四項，便可求出這三個數.

解法1　設插入的三個數為x，y，z，則6，x，y，z，30成等差數列，顯然，y是6，30的等差中項，所以同樣x是6，18的等差中項，z是18，30的等差中項.

因此所求的三個數為12，18，24.

解法2　設插入的三個數為x，y，z，則6，x，y，z，30成等差數列.顯然有

a1=6，a5=30.

所以a5=6+4d（d是公差）

x=6+6=12，y=12+6=18，z=18+6=24，

因此所求的三個數為12，18，24.

想一想

（1）在等差數列中，從第2項起，每一項（有窮等差數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的_________.

（2）在等差數列{an}中，a7是不是a4與a10的等差中項？

練習

1.求下列各組數的等差中項：

（1）732與-136；

2.若和x的等差中項是5，又x和3y+2的等差中項是7，求x，y.

3.在-1和7之間插入三個數，使它們與這兩個數成等差數列，求這三個數.

7.2.4　等差數列前n項和

要計算形狀如圖7-1所示的一堆鋼管總數，也就是求下面6個數：5，6，7，8，9，10的和.當然依次相加可以算出它的結果，但是，如果層數很多，這樣求和就非常麻煩.現在我們設想在這堆鋼管的旁邊倒放著同樣一堆鋼管，如圖7-2所示.

從圖7-2中可以看出每層的鋼管數都相等，即

5+10=6+9=7+8=…=10+5=15.

由于共有6層，兩堆鋼管的總數是（5+10）×6，因此所求的鋼管總數是

通過上面的具體例子，我們從分析等差數列的公差出發，利用“消去中間項”的基本思想，找出求和的簡單方法.

一般地，設等差數列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n項和是Sn，

即Sn=a1+a2+a3+…+an.

根據等差數列{an}的通項公式，上式可以寫成

Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d].　?。?）

把（1）式中項的次序反過來，Sn又可以寫成

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an-（n-1）d].　　（2）

把（1），（2）兩式的兩邊分別相加，得

由此得到等差數列{an}的前n項和公式

由于an=a1+（n-1）d，所以Sn又可以用a1，d，n表示成

上面兩個求和公式給出了等差數列的a1，an，d，n，Sn之間的關系.并且知道其中的三個量就可以通過前n項和公式及通項公式求出另外兩個量.

想一想

前n項和公式第一種形式與我們學過的梯形面積公式有什么相似之處？

例1　在等差數列{an}中：

（1）已知a1=5，a10=95，求S10；

（2）已知a1=3，求S10.

分析　（1）由已知條件知，應選擇公式求解.

（2）由已知條件知，應選擇公式求解.

解　（1）因為a1=5，a10=95，n=10，

（2）因為a1=3，n=10，

例2　在等差數列{an}中，d=2，an=1，Sn=-8，求n.

分析　根據已知條件可知，不能單獨使用通項公式或前n項和公式求n，因此需采用列方程組的方法求解.

解　把d=2，an=1，Sn=-8分別代入等差數列的通項公式和前n項和公式，

由（3）式得a1=3-2n.　?。?）

把（5）式代入（4）式，并化簡，得n2-2n-8=0.

所以n=4，n=-2.

由于項數不能是負整數，應把n=-2舍去，所以n=4.

說明　上述解法是用an=a1+（n-1）d和組成方程組求解.另外也可以用an=a1+（n-1）d和或和組成方程組求解.后兩種方法請同學們自己完成.

練一練

求下列等差數列的和：

（1）1+4+7+…+28；　（2）2+5+8+…+29；?。?）3+6+9+…+30.

練習

1.填空題（根據下列等差數列{an}的條件，寫出相應的Sn）：

（1）a1=1，a10=10，S10=_________；

（2）a1=50，d=-2，S25=_________；

（3）a1=4，d=-3，S16=_________.

2.填空題：

（1）正整數列中前n個數的和，Sn=_________；

（2）正整數列中前n個偶數的和，Sn=_________；

（3）正整數列中前n個奇數的和，Sn=_________.

3.題組訓練：

（1）已知等差數列an=5n-2，則a5+a8=_________，a3+a10=_________，a9+a4=_________.

（2）已知等差數列an=6n+3，則a1+a2+a3=_________，a4+a5+a6=_________，a7+a8+a9=_________.

（3）在等差數列{an}中，已知三個量，將未知的量填入空格中：