課題2.2　典型單相正弦交流電路分析與測試

知識點與技能要點

●　正弦交流電通過單一參數(shù)電路電壓與電流關(guān)系及功率；

●　正弦交流電通過典型多參數(shù)組合簡單電路電壓與電流關(guān)系；

●　單相正弦交流電路的功率及功率因數(shù)的提高；

●　使用交流毫伏表、交流電流表及功率表測量正弦交流電路電壓、電流及功率。

2.2.1　單一參數(shù)的正弦交流電路的分析與測試

知識遷移——導(dǎo)

1.定性觀察電阻、電感、電容元件的阻抗頻率特性

如圖2-2-1（a）所示，r為30Ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻，R=1kΩ，C=1μF，L≈10mH，通過電纜線將低頻信號發(fā)生器輸出的正弦信號接至如圖2-2-1（a）所示的電路，作為激勵源u，并用交流毫伏表測量，使激勵電壓的有效值為U=3V，保持不變。

使信號源的輸出頻率從200Hz逐漸增至5kHz（用頻率計測量），并使開關(guān)S分別接通R、L、C三個元件，用交流毫伏表測量Ur，觀察Ur大小的變化，即電流IR、IL和IC（等于Ur/r）隨頻率的變化，記錄在表2-2-1中。

注意：在接通C測試時，信號源的頻率應(yīng)控制在200～2500Hz之間。

2.定性觀察電阻、電感、電容元件端電壓與電流波形關(guān)系

在圖2-2-1（b）所示電路中，調(diào)節(jié)正弦交流信號源輸出頻率為1kHz，輸出電壓為3V，并保持不變，將雙蹤示波器CH1分別接到R、L、C兩端，CH2接到r兩端（將CH2INV鍵按下），調(diào)節(jié)雙蹤示波器，得到穩(wěn)定的波形，并記錄在表2-2-2中。

問題聚焦——思

●　電阻、電感、電容元件在交流電路中對電流的阻礙作用；

●　正弦交流電通過電阻、電感、電容元件電壓與電流的關(guān)系；

●　正弦交流電通過電阻、電感、電容元件的功率。

知識鏈接——學(xué)

為了便于對照，加強理解與記憶，下面以表2-2-3的形式討論正弦交流電通過電阻、電感、電容元件三個單一元件電壓與電流關(guān)系等相關(guān)知識。

續(xù)表

應(yīng)用舉例——練

【例2-2-1】　220V、50Hz的電壓分別加在電阻、電感和電容元件負載上，此時它們的電阻值、感抗值、容抗值均為22Ω，試分別求出三個元件中的電流，寫出各電流的瞬時值表達式，并以電壓為參考相量畫出相量圖。若電壓的有效值不變，頻率由50Hz變到500Hz，重新回答以上問題。

當(dāng)f=500Hz時，

相量圖如圖2-2-2所示。

探究實踐——做

定量測試正弦交流電通過單一參數(shù)電路的阻抗頻率特性及電壓與電流的相位關(guān)系。

參考方案：

按圖2-2-1所示及實驗做法，自擬表格進行測試。

2.2.2　多參數(shù)組合簡單正弦交流電路的分析與測試

知識遷移——導(dǎo)

典型串聯(lián)電路測試電路如圖2-2-3所示。利用圖2-2-3（a）分別測試RL串聯(lián)電路、RC串聯(lián)電路、RLC串聯(lián)電路總電壓與各分電壓的關(guān)系（R=200Ω，C=0.1μF，L≈30mH，f=500Hz，信號輸出Ui=3V），并利用圖2-2-3（b）所示電路觀察對應(yīng)狀態(tài)電路的總電壓與總電流的相位關(guān)系，特別是RLC串聯(lián)電路，在改變電源的頻率時找到UR出現(xiàn)最大值及其前后的波形變化。

問題聚焦——思

●　多參數(shù)組合電路電壓、電流的關(guān)系分析方法；

●　復(fù)阻抗的概念及相量形式的歐姆定律；

●　電路參數(shù)與電路性質(zhì)的關(guān)系。

知識鏈接——學(xué)

下面采用表格的形式（見表2-2-4）以RI串聯(lián)、RC串聯(lián)、RLC串聯(lián)電路為例，由基本元件的相量關(guān)系及基爾霍夫定律分析簡單正弦交流電路端電壓與端電流有效值關(guān)系及相位關(guān)系，并引入復(fù)阻抗的概念及相量形式的歐姆定律。

續(xù)表

續(xù)表

應(yīng)用舉例——練

【例2-2-2】　在電子技術(shù)中，常利用RC串聯(lián)電路作移相電路，如圖2-2-4（a）所示。已知輸入電壓，電容C=0.01μF，現(xiàn)要使輸出電壓在相位上前移60°，試問：

①應(yīng)配多大的電阻R？

②此時輸出電壓的有效值uo等于多大？（作出相量圖分析計算）

解　在此介紹通過作相量圖求解簡單電路的步驟：

①選擇參考相量。參考相量原則上可以任選某一電壓或電流（往往選已知的電壓或電流），但為解題方便通常會進行如下的選擇：a.串聯(lián)電路選電流；b.并聯(lián)電路選電壓；c.混聯(lián)電路選并聯(lián)部分兩端的電壓。

②列相量方程。根據(jù)KVL、KCL列出所需要的相量方程。

③畫相量圖。根據(jù)基本元件及典型電路的電壓、電流相位關(guān)系，由相量方程按矢量的合成畫出由相關(guān)相量組成的相量圖。

④根據(jù)相量圖中邊、角的幾何關(guān)系得到相關(guān)正弦量的有效值、相位的關(guān)系，求出待求量。

按照相量圖解題步驟，此題作答如下：

令，由KVL得

根據(jù)電容、電阻元件的電壓、電流相位關(guān)系，以及相量方程，作出相量圖，如圖2-2-4（b）所示。

由相量圖得到由組成的電壓三角形，并由已知條件知相量滯后，即端電壓、端電流的相位關(guān)系為φui=-60°。

得　　R=XCcot60°=15.92×0.577kΩ≈9.2kΩ

由電壓三角形可知

Uo=UR=Uicos60°=1×0.5V=0.5V

【例2-2-3】　把一個電感線圈接到電壓為20V的直流電流上，測得通過線圈的電流為0.4A，當(dāng)把該線圈接到電壓有效值為65V的工頻交流電源上時，測得通過線圈的電流為0.5A。試求該電感線圈的參數(shù)R和L。

解　因為電感線圈接到直流電源上時感抗等于零，所以

接到工頻交流電源上時，電路阻抗為

探究實踐——做

探究RLC串聯(lián)諧振電路。

參考方案：

①按圖2-2-5組成監(jiān)視、測量電路。先選用C=0.01μF，R=200Ω，L≈30mH的元件，用交流毫伏表測電壓，用示波器監(jiān)視信號源輸出。令信號源輸出電壓Ui=4VP-P，并保持不變。

②找出電路的諧振頻率f0。方法是，將交流毫伏表接在R（200Ω）兩端，令信號源的頻率由小逐漸變大（注意要維持信號源的輸出幅度不變），當(dāng)Uo的讀數(shù)為最大時，讀得頻率計上的頻率值即為電路的諧振頻率f0，并測量UC與UL的值（注意及時更換交流毫伏表的量限）。

③在諧振點兩側(cè)，按頻率遞增或遞減500Hz或1kHz，依次各取五個測量點，逐點測出Uo，UL，UC之值，自擬表格記入數(shù)據(jù)。

2.2.3　單相正弦交流電路的功率及測試

知識遷移——導(dǎo)

如圖2-2-6所示，D為“25W，220V”的白熾燈，用萬用表測量其電阻R；L為鐵芯線圈，C=4.7μF。按圖2-2-6所示接好電路，特別要注意功率表的接法，按下電源按鈕，慢慢調(diào)節(jié)自耦調(diào)壓器，使輸出電壓為220V。觀察開關(guān)S斷開與閉合時，各電表的讀數(shù)。

問題聚焦——思

●　交流電路功率的概念；

●　感性負載并聯(lián)電容元件后對電路的影響。

知識鏈接——學(xué)

1.正弦交流電路的功率

（1）瞬時功率

圖2-2-7（a）所示為電路中一個二端網(wǎng)絡(luò)，選擇電壓與電流參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向，設(shè)電流為參考正弦量，即設(shè)，其中，φ為電壓u超前于電流i的相位差，若為無源二端網(wǎng)絡(luò)，φ為該網(wǎng)絡(luò)的阻抗角。

網(wǎng)絡(luò)在任一瞬間吸收的功率即瞬時功率為

p=ui=2UIsin（ωt+φ）sinωt

化簡得

p=UIcosφ（1-cos2ωt）+UIsinφsin2ωt　　（2-2-1）

其波形圖如圖2-2-7（b）所示。

瞬時功率有時為正值，有時為負值，表示網(wǎng)絡(luò)有時從外部接受能量，有時向外部發(fā)出能量。如果所考慮的二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)不含獨立源，這種能量交換的現(xiàn)象就是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲能元件所引起的。

（2）有功功率

將瞬時功率的表達式（2-2-1）代入有功功率的定義式

可得網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率為

P=UIcosφ　　（2-2-2）

若二端網(wǎng)絡(luò)為線性無源二端網(wǎng)絡(luò)（以下討論均為線性無源二端網(wǎng)絡(luò)），則有功功率為

P=UIcosφ=URI=PR

即電路的有功功率為電阻元件消耗的功率。可以證明，對于任意無源二端網(wǎng)絡(luò)，其有功功率等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電阻元件的有功功率之和，也等于各電源輸出的有功功率之和。

（3）無功功率

由于儲能元件的存在，網(wǎng)絡(luò)與外部一般會有能量的交換，能量交換的規(guī)模可由無功功率來衡量，其定義為

Q=UIsinφ　　（2-2-3）

可以證明，對于任意線性無源二端網(wǎng)絡(luò)，其無功功率等于該網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有電感元件和電容元件的無功功率之和，也等于各電源輸出的無功功率之和。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)為感性時，阻抗角φ>0，無功功率Q>0；當(dāng)網(wǎng)絡(luò)為容性時，阻抗角φ<0，無功功率Q<0。

Q=UIsinφ=∑（QL+QC）

式中，QL（=ULI）與QC（=-UCI）為單個儲能元件的無功功率。

需要指出的是：

①無功功率的正負只說明網(wǎng)絡(luò)是感性還是容性，絕對值|Q|才體現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)對外交換能量的規(guī)模。電感元件和電容元件無功功率的符號相反，標(biāo)志它們在能量吞吐方面的互補作用。它們互相補償，可以限制網(wǎng)絡(luò)對外交換能量的規(guī)模。

②許多電氣設(shè)備，如電動機、電焊機、變壓器、熒光燈鎮(zhèn)流器等，都具有電感線圈，為了建立磁場，發(fā)電廠必須向它們提供一定的無功功率，無功功率供給不足，很多電氣設(shè)備就不能正常工作，甚至遭到損壞。

（4）視在功率

由于網(wǎng)絡(luò)對外有能量的交換，因此，使網(wǎng)絡(luò)的有功功率小于電壓、電流有效值的乘積，即P=UIcosφ<UI，此時乘積UI雖不是已經(jīng)實現(xiàn)的有功功率，卻是一個有可能達到的“目標(biāo)”（有可能實現(xiàn)的最大有功功率），故稱電壓有效值與電流有效值的積為網(wǎng)絡(luò)的視在功率，用S表示，即

S=UI　　（2-2-4）

視在功率單位為伏·安（V·A）。視在功率表征電源提供的總功率，也用來表示交流電源的容量。發(fā)電機、變壓器等電源容量就是用視在功率來描述的，它等于額定電壓與額定電流的乘積。有功功率和無功功率可分別用視在功率，表示為

由式（2-2-4）及式（2-2-5）可以看出，視在功率S、有功功率P與無功功率Q構(gòu)成一個直角三角形，稱為功率三角形。由功率三角形可得

實際上，功率三角形也可以由電壓三角形各邊乘以I得到。所以電壓三角形、阻抗三角形、功率三角形均為相似三角形。為了便于記憶，將三個“三角形”畫在一起，如圖2-2-8所示。

2.功率因數(shù)

為了表征電源功率被利用的程度，把有功功率與視在功率的比值稱為網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)，用λ表示，即

即無源二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)λ等于該網(wǎng)絡(luò)阻抗角（或電壓超前于電流的相位差角）的余弦值，φ角又稱功率因數(shù)角。在無源電路中，，故0≤cosφ≤1，又因cosφ只決定于電路的參數(shù)和頻率，而與電壓和電流無關(guān)，所以視在功率一定的電源，向電路輸出的有功功率不由電源本身決定，而決定于全部電路的參數(shù)。

3.功率因數(shù)的提高

（1）提高功率因數(shù)的意義

①充分利用能源。P=Scosφ，其中S為發(fā)電設(shè)備可以提供的最大有功功率，但是供電系統(tǒng)中的感性負載（發(fā)電機、變壓器、鎮(zhèn)流器、電動機等）常常會使cosφ減小，從而造成P下降，能量不能充分利用。

②降低線路與發(fā)電機繞組的功率損耗。由于P=UIcosφ，所以，即在輸電功率與輸電電壓一定的情況下，cosφ越小，輸電電流越大。而當(dāng)輸電線路電阻為r時，輸電損耗Δp=I2r，因此提高cosφ，可以二次方地降低輸電損耗。這對于節(jié)能及保護用電設(shè)備有重大的意義。

（2）提高感性負載電路的功率因數(shù)

①條件。在不改變感性負載的有功功率及工作狀態(tài)的前提下，提高負載所在電路的功率因數(shù)。

②方法。在感性負載兩端并聯(lián)一定大小的電容元件。

③實質(zhì)。減少電源供給感性負載用于能量互換的部分，使得更多的電源能量消耗在負載上，轉(zhuǎn)化為其他形式的能量（機械能、光能、熱能等）。

④相量分析。圖2-2-9（a）所示為一感性負載的電路模型，由R與L串聯(lián)組成。

設(shè)感性負載的功率因數(shù)λ1=cosφ1，未并聯(lián)C時，；并聯(lián)C后，功率因數(shù)λ2=cosφ2，這時，如圖2-2-9（b）所示。由相量圖可以看到，感性負載的電壓、電流、有功功率均未變化，但是線路電流有改變。

而

所以

式（2-2-8）就是將λ1=cosφ1提高到λ2=cosφ2時所應(yīng)當(dāng)并聯(lián)的電容值的計算公式。

應(yīng)用舉例——練

【例2-2-4】　標(biāo)有“220V，40W”的熒光燈接于220V的工頻交流電源上。現(xiàn)要使其功率因數(shù)由0.5提高到0.9，試問應(yīng)并聯(lián)多大的電容？

解　由cosφ1=0.5，得tanφ1=1.732；

由cosφ2=0.9，得tanφ2=0.484。

探究實踐——做

熒光燈電路及功率因數(shù)的提高測試。

參考方案：

（1）在實驗電路板上進行熒光燈電路的接線

按照圖2-2-10所示電路，利用“30W熒光燈實驗器件”及主屏上的電流插座，進行正確接線，注意調(diào)壓器手柄調(diào)到零位。

（2）熒光燈電路的測試

①串聯(lián)電路測試。電容箱的電容元件全部斷開，調(diào)節(jié)自耦調(diào)壓器的輸出，使其輸出電壓緩慢增大，直到熒光燈剛啟輝點亮為止，記下三表的指示值，其中電流表通過專用電流插座引入，圖2-2-10中標(biāo)記“電流插座”處即為插入位置。然后將電壓調(diào)至220V，測量功率P，電流I，電壓U（電路輸出電壓）、UL（鎮(zhèn)流器兩端的電壓）、UR（熒光燈管兩端電壓）等值，驗證電壓相量關(guān)系，即（R、XL通過“三表法”測量計算），將數(shù)據(jù)填入表2-2-5中。

②并聯(lián)電容元件測試。將電容箱連入電路，改變電容值，進行三次重復(fù)測量，驗證電流相量關(guān)系，即，將數(shù)據(jù)填入表2-2-6中。