課題2.1　正弦交流電的表示與測試

知識點與技能要點

●　正弦量三要素的意義及交流電的有效值和平均值的概念；

●　正弦量的解析式、波形圖及相量表示；

●　相量形式的基爾霍夫定律；

●　交流電壓表（交流毫伏表、萬用表交流電壓擋）、電流表測量交流電壓及電流。

2.1.1　正弦交流電的瞬時值表示及典型交流信號的測試

知識遷移——導

將雙蹤示波器的通道之一（CH1或CH2）接到低頻函數信號發生器的輸出端，從低頻函數信號發生器輸出頻率為1kHz，信號大小約2V（實驗屏上交流毫伏表測量）的正弦波，調節示波器使得在熒光屏上出現兩個完整的波形，分別觀察頻率不同、幅度不同、計時起點不同時的波形。

問題聚焦——思

●　正弦交流電的三要素；

●　正弦交流電的瞬時值表示、解析式與波形圖；

●　同頻率正弦量的相位關系。

知識鏈接——學

1.描述正弦交流電特征的物理量

大小和方向都隨時間作周期性變化的電壓、電流、電動勢稱為周期量。在一個周期內的數學平均值等于零的周期量，稱為交流量或交流電。如果交流電的變化規律是時間的正弦函數，則稱為正弦交流電或正弦量，通常把正弦交流電簡稱為交流電。若電路中的電壓、電流等均為交流電，則稱此種電路為正弦電流電路或正弦交流電路。

從觀測到的電壓波形圖可以看出，交流電變化規律體現在描述變化的范圍、變化的快慢、方向的變化幾個特征物理量方面。

（1）周期、頻率和角頻率

交流電完成一次周期性變化所需的時間稱為交流電的周期，用符號T表示，單位是s。周期較小時的單位還有ms和μs。

交流電在單位時間內完成周期性變化的次數稱為交流電的頻率，用符號f表示，單位是Hz，簡稱赫。頻率較大的單位還有kHz和MHz。根據定義，周期和頻率互為倒數，即

頻率和周期都是反映交流電變化快慢的物理量，周期越短（頻率越高），交流電變化就越快。

交流電變化的快慢，除了用周期和頻率表示外，還可以用角頻率表示。通常交流電變化一周也可用2π來計量（為了和轉子轉動變化的幾何角區別，交流電變化的角度稱為電角度），交流電每秒所變化的角度，稱為交流電的角頻率，用符號ω表示，單位是rad/s。周期、頻率和角頻率的關系為

我國使用的交流電的頻率為50Hz，稱為工作標準頻率，簡稱工頻。國家電網的頻率為50Hz，頻率誤差的允許值為±0.2Hz。少數發達國家，如美國、日本等使用的交流電頻率為60Hz。

（2）最大值

交流電在每周變化過程中出現的最大瞬時值稱為振幅，也稱為最大值。交流電的最大值不隨時間的變化而變化。

（3）初相位

正弦交流電的產生是根據電磁感應原理，利用矩形線圈在磁場中旋轉并滿足轉子與定子間的氣隙（電樞表面）的磁場按正弦規律分布。對于不同的計時起點，線圈平面所處的位置（與磁中性面的夾角）不同，則輸出的正弦電動勢（電壓、電流）初始狀態不同。定義t=0時刻正弦量對應的角度為初相位，簡稱初相，它表示了交流電的初始狀態即初始時刻的交流電的大小、方向（正負）和變化趨勢，單位是度（°）或者弧度（rad）。顯然，初相與計時起點有關。

（4）瞬時值

交流電在某一時刻所對應的值稱為瞬時值。瞬時值隨時間的變化而變化，不同時刻，瞬時值的大小和方向均不同。交流電的瞬時值取決于它的周期、幅值和初相位。

綜上所述，最大值描述了正弦量大小的變化范圍；角頻率描述了正弦量變化的快慢；初相位描述了交流電的初始狀態。這三個物理量決定了交流電的瞬時值，因此，將最大值、角頻率和初相位稱為交流電的三要素。

2.正弦交流電的表示

約定交流電的瞬時值用小寫字母表示，如電動勢、電壓和電流的瞬時值分別用e、u和i表示。一個交流電的瞬時值，可以用函數表達式表示，稱為交流電的解析式，也可用波形圖（交流電隨時間變化的曲線）表示。下面以交流電流為例來介紹交流電的表示方法。

注意在表示交流電的瞬時值時，也要像直流電一樣，先選擇交流電的正方向，這樣瞬時值的正負才有意義。

（1）解析式

設圖2-1-1中通過電阻元件的電流i是正弦電流，其參考方向如圖2-1-1所示，則正弦電流的一般表達式為

i=Imsin（ωt+ψi）　　（2-1-3）

式中，Im、ω及ψi分別是正弦電流的最大值、角頻率及初相，且規定-180°≤ψ≤180°。類似地可寫出正弦電壓與正弦電動勢的解析式分別為

u=Umsin（ωt+ψu）

e=Emsin（ωt+ψe）

（2）波形圖

交流電隨時間變化的圖像稱為波形圖，波形圖橫坐標既可用時間t，也可用弧度ωt，如圖2-1-2所示。

當以時間作為橫軸時，可以直觀地在波形圖中找到正弦量的“三要素”（弧度作為橫軸時，角頻率無法顯示，但可以方便地顯示同頻率正弦交流電之間的相位關系，因此在正弦交流電路中一般用弧度作為橫軸畫波形圖）。

波形圖中最大值及頻率（周期）都比較容易確定，但如何確定初相？首先確定初相的正負：當初始值（t=0時刻，交流電的大小）大于零，波形圖中初始值在橫軸的上方，則初相大于零；反之，則初相小于零。初相的大小可由波形圖中離原點最近的零值點（正弦波形從負值變為正值時與橫軸的交點稱為零值點）距原點的弧度確定，當初相大于零，離原點最近的零值點在波形圖中的左方；反之，離原點最近的零值點在波形圖中的右方。如圖2-1-2所示正弦電流的初相為2π/3。

3.同頻率正弦交流電的相位差

正弦交流電的相位決定正弦量的變化進程，因而可用相位的差別定量地衡量兩個同頻率正弦量變化進程的差別。

兩個同頻率正弦量相位的差稱為相位差，習慣上規定相位差的絕對值不超過180°。以正弦量u=Umsin（ωt+ψu），i=Imsin（ωt+ψi）為例，用φui表示u與i的相位差，則

φui=（ωt+ψu）-（ωt+ψi）=ψu-ψi　　（2-1-4）

一般規定|φui|≤180°。如果|ψu-ψi|>180°，則應根據正弦函數的周期性，將其中一個的相位加上或減去360°，然后再計算相位差，以保證|φui|≤180°。

可見，兩個同頻率正弦量的相位差僅與它們的初相有關，而與時間無關，因而也與計時起點的選擇無關。

同頻率正弦量的相位關系有下列幾種情況：

當φui=ψu-ψi>0，u超前于i；當φui=ψu-ψi<0，u滯后于i；當φui=ψu-ψi=0，u與i同相。圖2-1-3所示為幾種典型相位關系示意圖。

4.正弦交流電的有效值與平均值

在工程中，人們有時往往并不關心交流電是如何變化的，而是關心交流電所產生的效果。這種效果常用有效值和平均值來表示。

（1）有效值

有效值是根據電流的熱效應來定義的。讓交流電流和直流電流分別通過具有相同阻值的電阻元件，如果在同樣的時間內所產生的熱量相等，那么就把該直流電流的大小稱為交流電的有效值，用I表示。由有效值定義得

對于周期性交流電其有效值可寫為

將正弦電流的一般式代入式（2-1-5），可得正弦量的有效值為

即正弦量的有效值等于它的最大值除以 ，類似地有

通常說照明電路的電壓是220V，就是指有效值，與其對應的交流電壓的最大值是311V。各種交流電的電氣設備上所標的額定電壓和額定電流均為有效值。另外，利用交流電流表和交流電壓表測量的交流電流和交流電壓也都是有效值。

（2）平均值

所謂平均值指的是周期量的絕對值在一個周期內的平均值。以周期電流為例，其平均值

式（2-1-7）即周期量平均值的定義式。根據定義式，計算出正弦交流電的平均值為

測量交流電壓、電流的全波整流式儀表，其指針的偏轉角與所通過電流的平均值成正比，而標尺的刻度為有效值，即是按的倍數關系來刻度的。

應用舉例——練

【例2-1-1】　已知正弦電壓和正弦電流的波形如圖2-1-4所示，頻率為50Hz，試寫出它們的解析式，并指出它們之間的相位差，說明哪個正弦量超前，超前多少度？超前多少時間？

解　ω=2πf=2×3.14×50rad/s=314rad/s

由圖2-1-4可得u、i的表達式為

u=310sin（314t+45°）V

i=2sin（314t-90°）A

φ=ψu-ψi=45°-（-90°）=135°

即u比i超前135°，超前時間為

探究實踐——做

正弦交流電信號的檢測。

參考方案：

①將示波器的幅度和掃描速度微調旋鈕旋至“校準”位置。

②通過電纜線，將信號發生器的正弦波輸出口與示波器的CH1通道相連。

③接通信號發生器的電源，選擇正弦波輸出。通過相應調節，使輸出頻率分別為50Hz、1.5kHz和20kHz（由頻率計讀出）；再使輸出幅值分別為有效值0.1V、1V、3V（由交流毫伏表讀出，交流電壓表、交流電流表的使用與直流電壓表、直流電流表的使用基本一樣，只是測交流時不需要注意極性）。調節示波器Y軸和X軸的偏轉靈敏度至合適的位置，從熒光屏上讀得幅值及周期，記入表2-1-1中。

2.1.2　正弦交流電的相量表示、相量形式的基爾霍夫定律及測試

知識遷移——導

如圖2-1-5所示電路，調整低頻信號發生器的輸出電壓U為3V，頻率為1kHz。測量RC串聯電路中電阻元件兩端電壓UR及電容元件兩端電壓UC，這時U≠UR+UC。

問題聚焦——思

●　正弦量的相量表示；

●　相量形式的基爾霍夫定律。

知識鏈接——學

正弦交流電解析式表示法和波形圖表示法，都能簡單、直觀地反映正弦交流電的三要素，直接求出任一時刻t交流電的瞬時值，但在具體運算時，如圖2-1-5所示電路中，由基爾霍夫定律可列u=uR+uC，無論用解析式表示法，還是波形圖表示法進行正弦量的加、減運算，都非常煩瑣。在電工技術中，常用間接表示法來表示正弦交流電，即相量和相量圖表示法。

1.正弦交流電的相量表示法

（1）復數的相關知識

①復數的表示形式：

a.代數形式：A=a+jb。

b.三角形式：A=rcosθ+jrsinθ。其中r為復數A的模（幅值），它恒大于零。兩種形式之間的變換：a=rcosφ，b=rsinφ，即

c.指數形式：A=rejθ（利用歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ）。

d.極坐標形式：（引入記號）。

復數也可以用復平面上的向量表示，如圖2-1-6所示。

②復數的運算：

a.加、減運算：設A=a1+ja2，B=b1+jb2，則C=B±A=（b1+jb2）±（a1+ja2）=（b1±a1）+j（b2±a2），直接用向量的平行四邊形法則或多邊形法則可進行復數的加、減運算，如圖2-1-7所示。

b.乘、除運算：進行復數的乘、除運算時，一般使用復數的極坐標形式比較簡單，只需要將復數的模相乘（除），復數的幅角相加（減）就可以了。

設，則

（2）共軛復數

設復數，則其共軛復數為。

2.正弦量的相量表示

（1）相量表示正弦量的思想

一個正弦量由三要素來確定，分別是頻率、幅值和初相。因為在同一個正弦交流電路中，電動勢、電壓和電流均為同頻率的正弦量，即頻率是已知或特定的，可以不必考慮，只需確定正弦量的幅值（或有效值）和初相位就可表示正弦量。

一個復數的四種表達方式均要用兩個量來描述，不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一個表示正弦量的復數，稱為相量，用大寫字母上面加一點表示，如。

（2）相量表示正弦量的幾何意義

如圖2-1-8所示，假設以角速度ω（等于正弦量i的角頻率）繞原點逆時針方向旋轉，旋轉的軌跡在虛軸上的投影乘以即為正弦量i，從這個意義上講，對應一個相量就能找到與之對應的正弦量，反之亦然。

可以推證，對于同頻率的正弦量，用相應的相量表示正弦量進行計算的結果與用正弦量計算的結果一致。如，則，那么相應有。

（3）相量表示正弦量的法則

正弦量相量可以用最大值相量或有效值相量表示，通常采用有效值相量表示。

正弦量與其對應的正弦量之間的關系可以用如下法則表示

如，其對應的相量為，若某電壓的相量為，則對應的正弦電壓為。

3.相量圖

將一些相同頻率的正弦量的相量畫在同一個復平面上所構成的圖形稱為相量圖。畫相量圖時，往往省略復平面坐標，以水平方向為基準，并用虛線表示。

（1）畫法

每個相量用一條有向線段表示，其長度表示相量的模（正弦量的有效值），有向線段與水平方向的夾角表示該相量的輻角（初相），同一量綱的相量采用相同的比例尺寸。

（2）作用

①能直觀地反映各正弦量的有效值和初相。

②能反映正弦量的相位關系：相量圖中任一兩相量間的夾角表示該兩正弦量相位差，逆時針方向在前的量為超前。

③將正弦量的有效值關系、相位關系的運算轉化為相量圖中相量的邊與角關系的運算。

（3）注意

①相量只表示正弦量，而不等于正弦量。

②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。

③相量的兩種表示形式：相量式、相量圖。

④只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

4.相量形式的基爾霍夫定律

基爾霍夫定律一般表達式為∑i=0及∑u=0，式中的i、u是指電流、電壓的解析式。正弦交流電路中當電源的頻率一定時，電路中各元件的電壓、電流也都具有與電源相同的頻率，由此出發，可以得出基爾霍夫定律的相量形式。

在正弦交流電路中，流過任一節點的各相量電流的代數和等于零，即

這就是基爾霍夫電流定律的相量形式。同理可得基爾霍夫電壓定律，即回路電壓定律的相量形式為

式（2-1-10）表示在正弦交流電路的任一回路中，各電壓相量的代數和等于零。

式（2-1-9）與式（2-1-10）的符號法則與直流電路相同。

在正弦交流電路中，使用相量形式的基爾霍夫定律時，除相量電壓、電流相量前的正負號確定與直流電路中討論的完全相同，還要特別注意，相量表達式中既含有有效值的關系，還含有相位的關系。在一般情況下，各正弦電壓、電流的有效值代數和不等于零。

應用舉例——練

【例2-1-2】　圖2-1-9（a）所示為電路中的一個節點，已知sin（ωt+30°）A，，求i3。

解　此題用相量法，將已知電流瞬時值用相應的相量表示，由正弦量相量表示法可得；，列KCL方程，解得

圖2-1-9（b）所示為三個電流的相量圖。從相量圖中可以看到，有效值一般情況下不滿足KCL，即I3=I1+I2不成立，除非I1和I2同相。

探究實踐——做

在面包板上按圖2-1-10所示連接電路，測試并聯電路各支路電流，思考所測得的結果。