第2講 數軸、相反數和絕對值

提分導練

提分點一 數軸上的點與數的對應關系

【例1】畫出數軸，并用數軸上的點表示下列各數：

-2,0,1,-0.5,.

分析：如下表：

解：如圖2-1所示.

【類題訓練】

1．（期末·濟南）如圖2-2所示，點A表示的數可能是（　）.

A.-0.8

B.-1.2

C.-2.2

D.-2.8

2．如圖2-3所示，在數軸上有四個點A，B，C，D，其中表示有理數-2.5的點是（　）.

A.A點

B.B點

C.C點

D.D點

提分點二 利用數軸解決實際問題

【例2】利用數軸解答：有一座三層樓房不幸起火，一位消防員搭梯子爬往三樓去救人.當他爬到梯子正中一級時，二樓窗口噴出火來，他就往下退了3級，等到火過去了，他又爬了7級，這時屋頂有磚掉下，他又往后退了2級，幸好沒事，他又爬8級，這時他距離梯子最高層還有1級.問這個梯子共有幾級？

分析：利用數軸，設梯子正中一級為原點，爬上為正，后退為負，在數軸上畫出消防員的實際行走路線，E點即為消防員最后到達位置，而此時離梯子最高層還有一級，說明梯子從正中間一級開始向上為11級，向下也為11級，所以共有23級.

解：如圖2-4所示，

設梯子正中一級為原點，爬上為正，后退為負，那么消防員的實際行走路線為A→B→C→D→E，而E點對應為10，說明梯子從正中往上為11級，往下也為11級，加上正中一級，總共為23級.

【類題訓練】

3．在一條筆直的東西走向的馬路上，有少年宮、學校、超市、醫院四家公共場所.已知少年宮在學校東300m，超市在學校西200m，醫院在學校東500m.

（1）你能利用所學過的數軸知識描述它們的位置嗎？

（2）小明放學后要去醫院看望生病住院的奶奶，他從學校出發向西走了200m，又向東走了700m，你說他能到醫院嗎？

提分點三 利用絕對值解決實際問題

【例3】檢測足球時，超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數.從輕重的角度看，在下面各球中最接近標準的球是（　）.

分析：絕對值最小的即為最接近標準的足球.|-0.8|＜|+0.9|＜|+2.5|＜|-3.6|.故選C.

【類題訓練】

4．檢測4個排球，其中超過標準質量的克數記為正數，低于標準質量的克數記為負數.從輕重的角度來看，在下面各球中最接近標準的球是（　）.

提分點四 相反數，絕對值與數軸相結合的問題

【例4】如圖2-5所示，圖中數軸的單位長度為1.請回答下列問題：

（1）如果點A，B表示的數是互為相反數，那么點C表示的數是多少？

（2）如果點D，B表示的數是互為相反數，那么點C表示的數是正數還是負數？圖中表示的5個點中，哪一個點表示的數的絕對值最小，最小的絕對值是多少？

分析：根據相反數的概念，互為相反數的兩個數到原點的距離相等，確定原點求解即可.

解：（1）因為點A，B表示的數是互為相反數，原點就應該是線段AB的中點，即在C點右邊一格，C點表示數“-1”；（2）如果點D，B表示的數是互為相反數，那么原點在線段BD的中點，即C點左邊半格，點C表示的數是正數；點C表示的數的絕對值最小，最小的絕對值是0.5.

【類題訓練】

5．（期末·滄州）如圖2-6所示，在數軸上有四個點A，B，C，D，其中表示-2的相反數的點是（　）.

A.點A

B.點B

C.點C

D.點D

6．如圖2-7所示，單位長度為1，如果點A，C表示的數的絕對值相等，則點B表示的數是（　）.

A.1

B.-1

C.2

D.-2

7．如圖2-8所示，單位長度為1，點A， B表示的數是互為相反數，則點C所表示的數為（　）.

A.2

B.-4

C.-1

D.0

提分點五 比較有理數的大小

【例4】（期中·泰安）如圖2-9所示，數軸上的點A，B，C，D表示的數分別是：-1.5，-3，2，3.5.

（1）將點A，B，C，D表示的數按從小到大的順序用“＜”號連接起來；

（2）若將原點改在點C，則點A，B，C， D所對應的數分別為多少？將這些數按從小到大的順序用“＜”號連接起來；

（3）改變原點位置后，點A，B，C，D所表示的數大小順序改變了嗎？這說明了數軸的什么性質？

分析：（1）將點A，B，C，D表示的數按左小右大的順序，用“＜”號連接起來即可；（2）將原點改在C點時，各點對應的數都小2，由此找出點A，B，C， D所對應的數，用“＜”號連接起來即可；（3）根據（2）易得出答案.

解：（1）-3＜-1.5＜2＜3.5；

(2)-3.5,-5,0,1.5;

-5＜-3.5＜0＜1.5;

（3）沒有改變；這說明了數軸上的點所表示的數，右邊的數總比左邊的數大.

【類題訓練】

8．比較-3，1，-2的大小，下列判斷正確的是（　）.

A.-3＜-2＜1

B.-2＜-3＜1

C.1＜-2＜-3

D.1＜-3＜-2

9．畫一條數軸，然后在數軸上畫出表示下列各數的點，并比較大小.

,2,3,-2.7,,-3,0.

提分檢測

1．（期中·大連）如圖2-10所示，在數軸上四個點所表示的有理數中，比小的數的點是（　）.

A.點A

B.點B

C.點C

D.點D

2．下列各對數中，互為相反數的是（　）.

A.-（-3）和+3

B.+（-5）和-（+5）

C.-（-6）和+（+6）

D.2和+（-2）

3．（中考·婁底）已知點M，N，P，Q在數軸上的位置如圖2-11所示，則其中對應的數的絕對值最大的點是（　）.

A.M

B.N

C.P

D.Q

4．（中考·福州）A，B是數軸上的兩點，在下列四個選項中，點A，B所表示的數互為相反數的是（　）.

5．（期末·北京）圖2-12是地鐵昌平線路圖.在圖中，以正東為正方向建立數軸，有如下四個結論：

①當表示昌平東關站的點對應的數為0，表示昌平站的點對應的數為-1.5時，表示北邵洼站的點對應的數為1.2；

②當表示昌平東關站的點對應的數為0，表示昌平站的點對應的數為-15時，表示北邵洼站的點對應的數為12；

③當表示昌平東關站的點對應的數為1，表示昌平站的點對應的數為-14時，表示北邵洼站的點對應的數為13；

④當表示昌平東關站的點對應的數為2，表示昌平站的點對應的數為-28時，表示北邵洼站的點對應的數為26.

在上述結論中，所有正確結論的序號是（　）.

A.①②③

B.②③④

C.①④

D.①②③④

6．（期中·廈門）數軸上表示整數的點稱為“整點”.某數軸的單位長度是1cm，若在這個數軸上隨意畫出一條長為2019cm的線段AB，則線段AB蓋住的整點的個數是（　）.

A.2017或2018

B.2018或2019

C.2019或2020

D.2020或2021

7．（模考·黃岡）如圖2-13所示，有一個半徑為個單位長度的圓片，將圓片上的點A放在原點，并把圓片沿數軸逆時針滾動一周，點A到達點A′的位置，則點A′表示的數是________；若點B表示的數是-3.14，則點B在點A′的________（填“左邊”“右邊”或“重合”）.

8．李老師不小心把墨水灑在了如圖2-14所示的數軸上.請同學們幫助他把這條數軸補充完整，并在補好的數軸上標出你喜歡的一個正整數，一個負整數，一個負分數.

9．如圖2-15所示，數軸的單位長度為1，且數軸上各相鄰點之間的距離均為1.

（1）如果點B與點F表示的數互為相反數，那么點D表示的數是什么？

（2）如果點D與點H表示的數互為相反數，那么點C表示的數是什么？

10．如圖2-16所示，在數軸上有三個點A，B，C，請回答：

（1）將點B向左移動3個單位后，三個點所表示的數誰最小？是多少？

（2）將點A向右移動4個單位后，三個點所表示的數誰最小？是多少？

（3）將點C向左移動6個單位后，這時點B表示的數比點C表示的數大多少？

（4）怎樣移動點A，B，C中的兩個點，才能使三個點表示的數相同？有幾種移動的方法？

高分必練

1．（競賽·希望杯）如圖2-17所示，在數軸上的六個點滿足AB=BC=CD=DE=EF，則在點B，C，D，E對應的數中，最接近-10的點是（　）.

A.點B

B.點C

C.點D

D.點E

2．（自招·蕪湖）小明做題時，畫了一個數軸，在數軸上原有一個點A，其表示的數是-3，由于粗心，小明把數軸的原點標錯了位置，使點A正好落在了-3的相反數的位置.想想，要把數軸畫正確，原點要向哪個方向移動幾個單位長度？（　）.

A.向右移6個單位長度

B.向右移3個單位長度

C.向左移6個單位長度

D.向左移3個單位長度

3．（自招·臨汾）已知數軸上有A，B兩點，它們的距離為2，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離和等于________.

4．如圖2-18所示，在數軸上有兩個點A， B，回答下列問題：

（1）將點A向左平移個單位后，表示的數是多少？

（2）將點B向右平移3個單位后，表示的數是多少？

（3）點B做怎樣的平移得到的數與點A表示的數互為相反數？

（4）如果把上圖中的數軸的原點移到點B，那么在新的數軸中，點A表示的數是多少？

（5）怎樣移動才能使點A表示的數永遠都大于點B表示的數？