第4講 一元二次方程的綜合應用

提分導練

提分點一 一元二次方程的解法

【例1】（期中·廣州）解下列方程：

（1）2（x-3）2=8（直接開平方法）；

（2）4x2-6x-3=0（運用公式法）；

（3）（2x-3）2=5（2x-3）（運用因式分解法）；

（4）（x+8）（x+1）=-12（運用適當的方法）.

提示：由于要求非常具體，按照要求的方法求解即可：

（1）先將方程化為（x-3）2=4的形式，然后開平方即可；

（2）先正確確定a，b，c的值，然后代入公式計算；

（3）先移項，再應用提取公因式法分解因式求解；

（4）先對左邊的部分進行乘法計算，然后再用因式分解法解方程．

解答：（1）（x-3）2=4，x-3=2或x-3=-2，解得x1=1或x2=5.

(2)a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,

x=,

∴x1=,x2=.

（3）移項得（2x-3）2-5（2x-3）=0：因式分解得（2x-3）（2x-3-5）=0.

∴x1=,x2=4.

（4）化簡得x2+9x+20=0.因式分解得（x+4）（x+5）=0.

解得x1=-4，x2=-5.

【類題訓練】

1．（模考·太原）用配方法解下列方程時，配方正確的是（ ）.

A．x2-6x-5=0，可化為（x-3）2=4

B．y2-y-2018=0，可化為（y-1）2=2018

C．a2+8a+9=0，可化為（a+4）2=25

D．2x2-6x-7=0，可化為

2．（月考·濟南）已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的較小的根，則下面對a的估計正確的是（ ）.

A．-2＜a＜-1

B．2＜a＜3

C．-3＜a＜-4

D．4＜a＜5

3．（期末·濟南）解方程：

(1)x2-10x+24=0;

(2)9(x-2)2-121=0;

(3)x2+8x-2=0;

(4)2(x-3)2=x(x-3);

(5)2x2-5x+1=0.

提分點二 一元二次方程的應用

【例2】（模考·北京）為滿足市場的需求，新生活超市在端午節前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%，請你利用所學知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元．

提示：設每個粽子的定價為x元，由于每天的利潤為800元，根據利潤=（定價-進價）×銷售量，列出方程求解即可．

解答：設每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元．

根據題意得

解得x1=7，x2=5.

∵售價不能超過進價的200%，∴x≤3×200%.即x≤6.∴x=5.

答：每個粽子的定價為5元時，每天的利潤為800元．

【類題訓練】

4．（中考·安徽）一種藥品原價每盒25元，經過兩次降價后每盒16元．設兩次降價的百分率都為x，則x滿足（ ）.

A．16(1+2x)=25

B．25(1-2x)=16

C．16(1+x)2=25

D．25(1-x)2=16

5．（模考·蘭州）商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺．為了促銷，商場決定采取適當的降價措施，調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺，商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使消費者得到更多實惠，每臺冰箱應降價（ ）.

A．100元

B．200元

C．300元

D．400元

6．（期末·深圳）青年旅行社為吸引游客組團去“黃果樹——龍宮——織金洞”一線旅游，推出了如下收費標準（如圖4-1所示）：

某單位組織員工去“黃果樹——龍宮——織金洞”一線旅游，共支付給旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少名員工去“黃果樹——龍宮——織金洞”一線旅游？

提分點三 一元二次方程“根的判別式”及“根與系數的關系”

【例3】（模考·北京）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的兩個不相等的實數根，且滿足x1+x2=m2，求m的值．

提示：由根與系數的關系，可得x1+x2=2m+3，x1·x2=m2，又由x1+x2=m2，即可求得m的值．

解答：∵關于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的兩個不相等的實數根，

∴Δ=(2m+3)2-4m2=12m+9＞0,

∴m＞-,

∵x1+x2=2m+3,x1·x2=m2,

又∵x1+x2=m2，

∴2m+3=m2,

解得m=-1或m=3，

∵m＞,

∴m=3.

【類題訓練】

7．（模考·天津）已知x=2是一元二次方程x2+x+m=0的一個根，則方程的另一個根是（ ）.

A．-3

B．-6

C．0

D．-1

8．（中考·綿陽）關于x的方程2x2+mx+n=0的兩個根是-2和1，則nm的值為（ ）.

A．-8

B．8

C．16

D．-16

9．（期末·泉州）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+3x+k-3=0的兩個實數根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若x21+2x1+x2+k=3，試求k的值．

提分檢測

1．（期末·西安）一元二次方程x2-6x-11=0配方后是（ ）.

A．(x-3)2=2

B．(x-3)2=20

C．(x+3)2=2

D．(x+3)2=20

2．（模考·天津）關于x的一元二次方程（m≠0）有兩個相等的實數根，則的值為（ ）.

A．4

B．-4

C．

D．

3．若a-b+c=0，a≠0，則方程ax2+bx+c=0必有一個根是（ ）.

A．1

B．0

C．-1

D．不能確定

4．（中考·瀘州）已知m，n是關于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的兩實數根，則（m+2）（n+2）的最小值是（ ）.

A．7

B．11

C．12

D．16

5．（模考·濟南）已知m是關于x的方程x2-2x-7=0的一個根，則2（m2-2m）=__________.

6．（模考·天津）已知a2+2a+b2-4b+5=0，則a+b=__________.

7．（期中·青島）小明在解方程x4-13x2+36=0時，注意到x4=（x2）2，于是引入輔助未知數t=x2，把原方程化為t2-13t+36=0，解得t=4或t=9，即x2=4或x2=9，進一步解得原方程的解為x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3.像這種把某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，從而使問題得到簡化的方法叫換元法．

請仿照上述方法解方程：x4-3x2-4=0.

8．（期末·景德鎮）已知關于x的方程x2-（k+1）+1=0有兩個實數根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若方程的兩實數根分別為x1，x2，且=6x1x2-15，求k的值．

9．如圖4-2所示，某市區南北走向的北京路與東西走向的喀什路相交于點O處，甲沿喀什路以4m/s的速度勻速由西向東走，乙沿著北京路以3m/s的速度由南向北走．當乙走到O點以北50m處時，甲恰好到點O處．若兩人繼續向前行走，求兩個人相距85m時各自的位置．

高分必練

1．設方程（x-a）（x-b）-x=0的兩根是c，d，則方程（x-c）（x-d）+x=0的根是（ ）.

A．a,b

B．-a,-b

C．c,d

D．-c,-d

2．（競賽·山東）方程（x2+x-1）x+3=1的所有整數解的個數是（ ）.

A．2

B．3

C．4

D．5

3．（競賽·四川）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的兩個實數根，且（3x1-x2）（x1-3x2）=-80，求實數a的所有可能值．