第5講 二次函數的圖像與性質（1）

提分導練

提分點一 根據實際問題列二次函數表達式

【例1】如圖5-1所示，為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住．若設綠化帶的BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2.求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

提示：因為綠化帶的BC邊長為xm，所以AB或CD的邊長為m.根據“綠化帶的面積=長×寬”列函數關系式并整理即可．由題意，自變量x的取值最大為25m.

解答：，即y=+20x，所以y與x之間的函數關系式是y=+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25（m）.

【類題訓練】

1．（模考·深圳）某暢銷書的售價為每本30元，每星期可賣出200本，書城準備開展“讀書節活動”，決定降價促銷．經調研，如果調整書籍的售價，每降價2元，每星期可多賣出40本．設每件商品降價x元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為y元，則y與x之間的函數關系為（ ）.

A．y=(30-x)(200+40x)

B．y=(30-x)(200+20x)

C．y=(30-x)(200-40x)

D．y=(30-x)(200-20x)

2．（期末·淄博）中國“一帶一路”倡議給沿線國家和地區帶來很大的經濟效益，沿線某地區居民2017年年人均收入300美元，預計2019年年人均收入將達到y美元．設2017年到2019年該地區居民年人均收入平均增長率為x，那么y與x的函數關系式是__________.

3．（月考·嘉興）如圖5-2所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，動點P從點A開始沿邊AB向終點B以每秒2個單位長度的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC以每秒4個單位長度的速度向終點C移動，如果點P、Q同時出發，那么△PBQ的面積S隨出發時間t（s）如何變化？寫出函數關系式及t的取值范圍．

提分點二 二次函數y=a（x-h）2+k的圖像與性質

【例2】對于拋物線y=-（x+1）2+3，下列結論：

①拋物線的開口向下；

②對稱軸為直線x=1；

③頂點坐標為（-1，3）；

④x＞1時，y隨x的增大而減小．

其中正確結論的個數為（ ）.

A．1

B．2

C．3

D．4

提示：根據二次函數的性質對各小題分析判斷．①∵a=-1＜0，∴拋物線的開口向下，正確；②對稱軸為直線x=-1，故錯誤；③頂點坐標為（-1，3），正確；④∵x＞-1時，y隨x的增大而減小，∴x＞1時，y隨x的增大而減小一定正確．綜上所述，結論正確的是①③④，共3個．

答案：C

【類題訓練】

4．（中考·湘潭）拋物線y=2（x-3）2+1的頂點坐標是（ ）.

A．(3,1)

B．(3,-1)

C．(-3,1)

D．(-3,-1)

5．（模考·樂清）關于拋物線（x+2）2+3，下列說法正確的是（ ）.

A．對稱軸是直線x=2，y有最小值是3

B．對稱軸是直線x=-2，y有最大值是3

C．對稱軸是直線x=2，y有最大值是3

D．對稱軸是直線x=-2，y有最小值是3

6．（期末·江陰）關于二次函數y=（x-1）2+2，下列說法正確的是（ ）.

A．圖像與y軸的交點坐標為（0，2）

B．圖像的對稱軸在y軸的左側

C．y的最大值為2

D．當x＞1時，y的值隨x值的增大而增大

提分點三 二次函數圖像的平移

【例3】（中考·舟山）把拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的表達式是__________.

提示：拋物線y=x2先向右平移2個單位得y=（x-2）2；再將拋物線y=（x-2）2向上平移3個單位得y=（x-2）2+3.

答案：y=（x-2）2+3

【類題訓練】

7．將拋物線C1：y=x2先向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度得到拋物線C2對應的函數

解析式是（ ）

A．y=(x-2)2-3

B．y=(x+2)2-3

C．y=(x-2)2+3

D．y=(x+2)2+3

8．將拋物線y=3（x-4）2+2向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，平移后的拋物線的解析式是__________.

9．試分別說明將拋物線：（1）y=（x+1）2；（2）y=（x-1）2；（3）y=x2+1；（4）y=x2-1的圖像通過怎樣的平移得到y=x2的圖像．

提分檢測

1．（模考·安陽）把拋物線y=2x2-1向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得新的拋物線解析式為（ ）.

A．y=2(x+2)2+3

B．y=2(x+2)2-3

C．y=2(x-2)2+3

D．y=2(x-2)2-3

2．已知二次函數，在其圖像對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，則a的值為（ ）.

A．

B．

C．

D．0

3．（模考·杭州）某農產品市場經銷一種銷售成本為40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500kg；銷售單價每漲一元，月銷售量就減少10kg.設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數關系式為（ ）.

A．y=(x-40)(500-10x)

B．y=(x-40)(10x-500)

C．y=(x-40)[500-10(x-50)]

D．y=(x-40)[500-10(50-x)]

4．在同一直角坐標系中，函數y=kx2-k和y=kx+k（k≠0）的圖像大致是（ ）.

5．若二次函數y=（x-m）2-1，當x≤3時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）.

A．m=3

B．m＞3

C．m≥3

D．m≤3

6．（期末·青島）如圖5-3所示，正方形OABC的邊長為2，OA與x軸負半軸的夾角為15°，點B在拋物線y=ax2（a＜0）的圖像上，則a的值為（ ）.

A．

B．

C．-2

D．

7．（模考·合肥）如圖5-4所示，拋物線的頂點為P（-2，2），與y軸交于點A（0，3）.若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，-2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區域（陰影部分）的面積為__________.

8．把二次函數y=a（x-h）2+k的圖像先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數（x+1）2-1的圖像．

（1）試確定a，h，k的值；

（2）指出二次函數y=a（x-h）2+k的開口方向、對稱軸和頂點坐標．

9．（期中·泰安）如圖5-5所示，拋物線y=x2與直線y=2x在第一象限內有一個交點A.

（1）求A點坐標；

（2）在x軸上是否存在一點P，使△AOP是以OP為底的等腰三角形？若存在，請你求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

高分必練

1．已知2≤|x|≤3，則函數y=（x-1）2的取值范圍是（ ）.

A．1≤y≤4和9≤y≤16

B．9≤y≤16

C．4≤y≤9

D．1≤y≤9

2．已知函數y=，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（ ）.

A．0

B．1

C．2

D．3

3．如圖5-6所示，四邊形ABCO為矩形，點B的坐標為（-1，2），將此矩形繞點O順時針旋轉90°得矩形DEFO，拋物線y=-x2+bx+c過B，E兩點．

（1）求此拋物線的函數關系式．

（2）將矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此拋物線上，求平移距離．

（3）將矩形DEFO向上平移距離d，并且使此拋物線的頂點在此矩形的邊上，則d的值是__________.