第3講 實際問題與一元二次方程

提分導練

提分點一 增長率、降低率問題

【例1】為進一步發展基礎教育，自2016年以來，某縣加大了教育經費的投入，2016年該縣投入教育經費6000萬元．2018年投入教育經費8640萬元．假設該縣這兩年投入教育經費的年平均增長率相同．

（1）求這兩年該縣投入教育經費的年平均增長率；

（2）若該縣教育經費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你算出2019年該縣投入的教育經費．

提示：（1）本題的等量關系：2016年教育經費×（1+年平均增長率）2=2018年教育經費；（2）本問涉及的數量關系：2018年的教育經費×（1+增長率）=2019年的教育經費．

解答：（1）設該縣投入教育經費的年平均增長率為x.則有

6000(1+x)2=8640.

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意舍去）.

答：該縣投入教育經費的年平均增長率為20%.

（2）因為2018年該縣投入教育經費為8640萬元，且增長率為20%，所以2019年該縣投入教育經費為8640×（1+0.2）=10368（萬元）.

【類題訓練】

1．（模考·成都）某樓盤準備以每平方米15000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，為了加快資金周轉，房地產開發商對價格經過連續兩次下調后，最終以每平方米12150元的均價銷售，則平均每次下調的百分率是（ ）.

A．8%

B．9%

C．10%

D．11%

2．（中考·大同）某商品經過連續兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為__________.

3．2016年某市出口貿易總值為22.52億美元，至2018年出口貿易總值達到50.67億美元，反映了兩年來某市出口貿易的高速增長．

（1）求這兩年某市出口貿易的年平均增長率；

（2）按這樣的速度增長，請你預測2019年某市的出口貿易總值．

提分點二 利潤問題

【例2】暖心花店將進貨價為20元/盒的百合，在市場參考價28～38元的范圍內定價為36元/盒，這樣平均每天可售出40盒．經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每盒下調1元錢，平均每天就能多銷售10盒，要使每天的利潤達到750元，應將每盒的售價下調多少元？

提示：本題的等量關系是“每盒的利潤×銷售盒數=750元”.

解答：設每盒的售價下調x元，則每盒利潤為（36-20-x）元，依題意列方程得

(36-20-x)(40+10x)=750.

解得x1=1，x2=11.

∵市場參考價為28至38元，

∴x=11不合題意，舍去．∴x=1.

答：要使每天的利潤達到750元，每盒的售價應下調1元．

【類題訓練】

4．（中考·泰安）某種花卉每盆的盈利與每盆的株數有一定的關系．每盆植3株時，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元．要使每盆的盈利達到15元，每盆應多植多少株？設每盆多植x株，則可以列出方程是（ ）.

A．(3+x)(4-0.5x)=15

B．(x+3)(4+0.5x)=15

C．(x+4)(3-0.5x)=15

D．(x+1)(4-0.5x)=15

5．某商店準備進一批季節性小家電，單價40元，經市場預測，售價為52元時，可售出180個．售價每增加1元，銷售量凈減少10個；售價每減少1元，銷售量凈增加10個．因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個．商店若將準備獲利2000元，則應進貨多少個？售價多少元？6.某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間．據預測，當每間的年租金定為10萬元時，可全部租出．每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間．該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元．

（1）當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出多少間？

（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時，該公司的年收益（收益=租金-各種費用）為275萬元？

提分點三 幾何圖形問題

【例3】（模考·長沙）長沙市計劃聘請甲、乙兩個工程隊對桂花公園進行綠化．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊的2倍；若兩隊分別各完成300m2的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．

（1）求甲、乙兩工程隊每天能完成的綠化的面積；

（2）該項綠化工程中有一塊長20m、寬8m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖3-1所示），問人行通道的寬度是多少米？

提示：（1）利用若兩隊分別各完成300m2的綠化時，甲隊比乙隊少用3天這一等量關系列出分式方程求解即可；

（2）根據矩形的面積和為56m2列出一元二次方程求解即可．

解答：（1）設乙隊每天綠化xm2，則甲每天綠化2xm2，根據題意得

=3,

解得x=50.

經檢驗x=50是原方程的根，

所以2x=100.

答：甲隊每天綠化100m2，乙隊每天綠化50m2；

（2）設人行道的寬度為am，根據題意得

(20-3a)(8-2a)=56,

解得a=2或＞8（不合題意，舍去）.

答：人行道的寬為2m.

【類題訓練】

7．（中考·衡陽）綠苑小區在規劃設計時，準備在兩幢樓房之間，設置一塊面積為900m2的矩形綠地，并且長比寬多10m.設綠地的寬為xm，根據題意，可列方程為（ ）.

A．x(x-10)=900

B．x(x+10)=900

C．10(x+10)=900

D．2[x+(x+10)]=900

8．（月考·武漢）某中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30m的籬笆圍成，已知墻長為18m（如圖3-2所示），設這個苗圃垂直于墻的一邊的長為xm.若苗圃的面積為72m2，則x為（ ）m.

A．12

B．10

C．15

D．8

9．某村計劃建造如圖3-3所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2∶1，在溫室內沿前側內墻保留3m寬的空地，其他三側內墻各保留1m寬的通道．當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區域的面積是288m2？

提分檢測

1．（中考·天津）要組織一次排球邀請賽，參賽的每個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽．設比賽組織者應邀請x個隊參賽，則x滿足的關系式為（ ）.

A．=28

B．=28

C．x(x+1)=28

D．x(x-1)=28

2．（中考·日照）某縣大力推進義務教育均衡發展，加強學校標準化建設，計劃用三年時間對全縣學校的設施和設備進行全面改造，2016年縣政府已投資5億元人民幣，若每年投資的增長率相同，預計2018年投資7.2億元人民幣，那么每年投資的增長率為（ ）.

A．20%

B．40%

C．-220%

D．30%

3．（中考·佛山）如圖3-4所示，將一塊正方形空地劃出部分區域進行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是（ ）.

A．7m

B．8m

C．9m

D．10m

4．（期末·自貢）某商店現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，在顧客得較大實惠的前提下，商家還想獲得6080元利潤，應將銷售單價定為（ ）.

A．56元

B．57元

C．59元

D．57元或59元

5．（中考·宿遷）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是__________m.

6．（期末·秦皇島）如圖3-5所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，點P從點A開始出發向點C以2cm/s速度移動，點Q從B點出發向點C以1cm/s速度移動．若P，Q同時出發，設運動時間為t，當四邊形APQB的面積是16cm2時，則t=__________s.

7．（模考·南京）某地區2016年投入教育經費2500萬元，2018年投入教育經費3025萬元，求2016年至2018年該地區投入教育經費的年平均增長率．

8．（月考·上海浦東）某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤為120元，為了擴大銷量，盡快減少庫存，超市準備適當降價，據測算，若每箱降價2元，則每天可多售出4箱．

（1）如果要使每天銷售該飲料獲利14000元，則每箱應降價多少元？

（2）每天銷售該飲料獲利能達到14500元嗎？若能，則每箱應降價多少？若不能，請說明理由．

9．（月考·重慶）華為手機與蘋果手機深受消費者喜愛，某商戶每周都用25000元購進250張華為手機殼和150張蘋果手機殼．

（1）商戶在第一周銷售時，每張華為手機殼的售價比每張蘋果手機殼的售價的2倍少10元，且兩種手機殼在一周之內全部售完，總盈利為5000元，商戶銷售蘋果手機殼的價格每張多少元？

（2）商戶在第二周銷售時，受到各種因素的影響，每張華為手機殼的售價比第一周增加了，但華為手機殼的銷售量比第一周華為手機殼的銷售量下降了a%；每張蘋果手機殼的售價比第一周下降了a%，但蘋果手機殼銷售量與第一周蘋果手機殼銷售量相同，結果第二周的總銷售額為30000元，求a（a＞0）的值．

高分必練

1．有甲、乙兩容積均為20L的容器，甲容器內裝滿純酒精，而乙為空容器．自甲內倒出若干酒精到乙內，再將乙其余部分注滿水，將此混合溶液注滿甲容器，最后自甲容器回注乙容器，則兩容器內所含純酒精量相等，問第一次自甲容器倒出多少升酒精？

2．為了節約用水，某水廠規定：某單元居民如果一個月的用水量不超過xt，那么這個月該單元居民只交10元水費．如果超過xt，則這個月除了仍要交10元水費外，超過那部分按每噸元交費．

（1）該單元居民8月份用水80t，超過了規__________元定的xt，則超過部分應交水費（用含x的式子表示）.

（2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況：

根據上表的數據，求該水廠規定的xt是多少？

3．（自招·重慶）巴蜀中學在夏天到來之際，因為很多學生需要更換夏季校服，所以欲購買校服T恤．男生的T恤每件價格50元，女生的T恤每件價格45元，第一批共購買600件．

（1）第一批購買的校服的總費用不超過28000元，求女生T恤最少購買多少件？

（2）第二批購買校服，男生、女生購買校服的件數比為3∶2，價格與第一批的價格保持不變；第三批購買男生校服的價格在第一批購買的價格上每件減少了元，女生校服的價格比第一批購買的價格上每件增加了元，男生T恤的數量比第二批增加了m%，女生T恤的數量比第二批減少了m%，第二批與第三批購買校服的總費用相同，求m的值．