第2講 一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關(guān)系

提分導(dǎo)練

提分點一 用因式分解法解一元二次方程

【例1】用因式分解法解下列方程：

(1)y2+7y+6=0;

(2)t(2t-1)=3(2t-1);

(3)(2x-1)(x-1)=1.

提示：（1）方程左邊可分解為（y+6）（y+1）；（2）移項使方程右邊為0，方程左邊可提取公因式（2t-1）；（3）移項使方程右邊為0，方程左邊先化簡然后再因式分解．

解答：（1）方程可變形為（y+1）（y+6）=0，y+1=0或y+6=0，∴y1=-1，y2=-6.

（2）方程可變形為t（2t-1）-3（2t-1）=0，（2t-1）（t-3）=0，2t-1=0或t-3=0，∴t1=，t2=3.

（3）方程可變形為2x2-3x=0，x（2x-3）=0，x=0或2x-3=0，

∴x1=0,x2=.

【類題訓(xùn)練】

1．用因式分解法解方程，下列解法正確的是（ ）.

A．（2x-2）（3x-4）=0 ∴2x-2=0或3x-4=0

B．（x+3）（x-1）=1 ∴x+3=0或x-1=1

C．（x-2）（x-3）=2×3 ∴x-2=2或x-3=3

D．x(x+2)=0 ∴x+2=0

2．用因式分解法解下列方程：

(1)(x+1)2=(2x-1)2;

(2)2y2+4y=y+2.

3．（中考·湘潭）由多項式乘法：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.如：

因式分解：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）

（1）嘗試：

因式分解：x2+6x+8=（x+__________）（x+__________）；

（2）應(yīng)用：請用上述方法解方程：x2-3x-4=0.

提分點二 選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

【例2】用適當(dāng)方法解下列方程：

(1);

(2)x2-6x-19=0;

(3)3x2=4x+1;

(4)y2-15=2y;

(5)5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0;

提示：方程（1）用直接開平方法，方程（2）用配方法，方程（3）用公式法，方程（4）化成一般式后用因式分解法，而方程（5）不用化成一般式，直接用因式分解法就可以了．

解答：（1）（1-x）2=，（x-1）2=3，x-1=，∴x1=1+，x2=1-.

（2）移項得x2-6x=19，配方得x2-6x+（-3）2=19+（-3）2，（x-3）2=28，x-3=，

∴x1=3+,x2=3-.

（3）移項得3x2-4x-1=0，

∵a=3,b=-4,c=-1,

則b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=

28＞0,x=,

∴x1=.

（4）移項得y2-2y-15=0，把方程左邊因式分解得（y-5）（y+3）=0；

∴y-5=0或y+3=0，

∴y1=5,y2=-3.

（5）將方程左邊因式分解得（x-3）×[5x-（x+1）]=0，（x-3）（4x-1）=0，

∴x-3=0或4x-1=0，

∴x1=3,x2=.

【類題訓(xùn)練】

4．解方程：①9（x-3）2=25；②6x2-x=1；③x2+4x-3596=0；④x（x-1）=1，較簡便的方法依次是（ ）.

A．開平方法、因式分解法、公式法、配方法

B．因式分解法、公式法、公式法、配方法

C．配方法、因式分解法、配方法、公式法

D．開平方法、因式分解法、配方法、公式法

5．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)3(x+2)2=;

（2）（中考·安徽）x2-2x=4；

(3)5x2-4x=0.

提分點三 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【例3】（期中·廣州）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實數(shù)解是x1和x2.

（1）求k的取值范圍；

（2）如果x1+x2-x1x2＜-1且k為整數(shù)，求k的值．

提示：（1）方程有兩個實數(shù)根，必須滿足Δ=b2-4ac≥0，從而求出實數(shù)k的取值范圍；

（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2，x1x2=k+1.再代入不等式x1+x2-x1x2＜-1，即可求得k的取值范圍，然后根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值．

解答：（1）∵方程有實數(shù)根，

∴Δ=22-4(k+1)≥0.

解得k≤0.

故k的取值范圍是k≤0.

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2，x1x2=k+1，

∴x1+x2-x1x2=-2-(k+1).

由已知得-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2.

又由（1）知k≤0，

∴-2＜k≤0.

∵k為整數(shù)，

∴k的值為-1和0.

【類題訓(xùn)練】

6．已知x1，x2是方程x2+3x-1=0的兩個實數(shù)根，那么下列結(jié)論正確的是（ ）.

A．x1+x2=-1

B．x1+x2=-3

C．x1+x2=1

D．x1+x2=3

7．（中考·恩施）已知一元二次方程2x2-5x+1=0的兩根為m，n，則m2+n2=__________.

8．（中考·孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有兩個實數(shù)根x1，x2.

（1）求m的取值范圍；

（2）當(dāng)x21+x22=6x1·x2時，求m的值．

提分檢測

1．（中考·黃岡）已知方程3x2-4x-4=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2.則x1+x2=（ ）.

A．-3

B．3

C．

D．

2．方程x（x-1）=2的兩根為（ ）.

A．x1=0,x2=1

B．x1=0,x2=-1

C．x1=1,x2=-2

D．x1=-1,x2=2

3．（中考·濰坊）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m+2）x+=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2.若=4m，則m的值是（ ）.

A．2

B．-1

C．2或-1

D．不存在

4．（中考·濱州）方程x（x-2）=x的根是__________.

5．（中考·南京）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-mx-6=0的兩個根，且x1+x2=1，則x1=__________，x2=__________.

6．已知a，b是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式（a-b）（a+b-2）+ab的值．

7．用因式分解法解下列一元二次方程：

(1)6y2-3y=0;

(2)(2x+3)2=x2-2x+1.

8．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)x2-4x+2=0;

（2）（中考·山西）2（x-3）2=x2-9.

9．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不等實根x1，x2.

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）若方程兩實根x1，x2滿足x1+x2=-x1x2，求k的值．

高分必練

1．（競賽·全國）已知三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一個公共實數(shù)根，則的值為（ ）.

A．0

B．1

C．2

D．3

2．（競賽·“新知杯”上海）已知關(guān)于x的兩個方程x2-x+3m=0，x2+x+m=0，若前一個方程中有一個根是后一個方程中某個根的3倍，求實數(shù)m的值．

3．（競賽·江蘇）設(shè)x1，x2是方程x2+x-4=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式-5×+10的值．