第1講 一元二次方程及其解法

提分導練

提分點一 一元二次方程

【例1】（期中·南京）已知方程（m-2）×xm2+（m-3）x+1=0.

（1）當m為何值時，它是一元二次方程？

（2）當m為何值時，它是一元一次方程？

提示：（1）根據一元二次方程的定義列出關于m的方程、不等式；（2）根據一元一次方程的定義應滿足：①二（多）次項系數為0；②一次項系數不為0.

解答：（1）∵方程+（m-3）x+1=0為一元二次方程，

∴.

解得m=±.

∴當m為或時，方程+（m-3）x+1=0為一元二次方程；

（2）∵方程+（m-3）x+1=0為一元一次方程，

∴或.

解得m=2或m=±1.

故當m為2或±1時，方程+（m-3）x+1=0為一元一次方程．

【類題訓練】

1．（期末·上海）若關于x的方程（a+1）x2-3x-2=0是一元二次方程，則a的取值范圍是（ ）.

A．a≠0

B．a≠-1

C．a＞-1

D．a＜-1

2．（期中·西安）若關于x的一元二次方程2x2+（2k+1）x-（4k-1）=0的二次項系數、一次項系數、常數項的和是0，則k=__________.

3．（1）當a取何值時，關于x的方程（a2-1）x2-x=-ax+2是一元二次方程？（2）當a取何值時，關于x的方程（a2-1）x2-x=-ax+2是一元一次方程？

提分點二 用配方法解一元二次方程

【例2】用配方法解下列方程：

(1)3x2-5x=2;

（2）（中考·大連）x2-6x-4=0.

提示：利用配方法來求解，先將一般形式的方程化為（x±m）2=n（n≥0）的形式，然后利用開平方法求解．

解答：（1）方程兩邊同時除以3得，

配方得，

即，x=.

∴x1==2,x2==.

∴x1=2,x2=-.

(2)x2-6x-4=0,

移項得x2-6x=4，

配方得x2-6x+9=4+9，

即（x-3）2=13

∴x-3=.

∴x1=+3,x2=-+3.

【類題訓練】

4．（中考·臨沂）一元二次方程y2-y-配方后可化為（ ）.

A．

B．

C．

D．

5．（中考·益陽）規定：a?b=（a+b）×b.如：2?3=（2+3）×3=15，若2?x=3，則x=__________.

6．用配方法解下列方程：

(1)x2-2x-2=0;

(2)2x2+1=3x;

(3)-x-4=0.

提分點三 一元二次方程根的判別式

【例3】（中考·北京）關于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；

（2）若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．

提示：（1）計算判別式的值得到Δ=a2+4，則可判斷Δ＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況；

（2）利用方程有兩個相等的實數根得到Δ=b2-4a=0，設b=2，a=1，方程變形為x2+2x+1=0，然后解方程即可．

解答：（1）a≠0，Δ=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，

∵a2＞0,

∴Δ＞0.

∴方程有兩個不相等的實數根．

（2）∵方程有兩個相等的實數根，

∴Δ=b2-4a=0,

若b=2，a=1，則方程變形為x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1.

【類題訓練】

7．（中考·上海）下列對一元二次方程x2+x-3=0根的情況的判斷，正確的是（ ）.

A．有兩個不相等實數根

B．有兩個相等實數根

C．有且只有一個實數根

D．沒有實數根

8．（模考·重慶）若關于x的一元二次方程x2-2mx+2m+1=0有兩個相等的實數根，則m2-2m的值為__________.

9．（中考·成都）若關于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍．

提分點四 用公式法解一元二次方程

【例4】用公式法解下列方程：

(1)2x2+7x=4;

(2)x2-1=.

提示：把每個方程化成一般形式，確定a，b，c的值；再計算b2-4ac的值，從而確定該方程是否有根；最后代入求根公式進行計算即可．

解答：（1）方程可變形為2x2+7x-4=0.

∵a=2,b=7,c=-4,b2-4ac=72-4×2×(-4)=81＞0,

∴.

∴x1=,x2=-4.

（2）方程可變形為=0.

∵a=1,b=,c=-1,b2-4ac=-4×1×(-1)=16＞0.

∴x=.

∴x1=+2,x2=.

【類題訓練】

10．用公式法解方程：

(1)x2+x-1=0;

(2)x2-7x-18=0;

(3)2x2+7x=4;

(4)6x2+3x=(1+2x)(2+x).

提分檢測

1．（期末·青島）方程x2+mx-3x=0不含x的一次項，則m=（ ）.

A．0

B．1

C．3

D．-3

2．（期末·廣州）用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（ ）.

A．x2+8x+9=0化為（x+4）2=25

B．x2-2x-99=0化為（x-1）2=100

C．2t2-7t-4=0化為

D．3x2-4x-2=0化為

3．（中考·泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情況是（ ）.

A．無實數根

B．有一個正根，一個負根

C．有兩個正根，且都小于3

D．有兩個正根，且有一根大于3

4．（期末·青島）已知a，b，c為△ABC的三邊，關于x的一元二次方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有兩個相等的實根，則這個三角形是（ ）.

A．等邊三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．不等邊三角形

5．（中考·福建）已知關于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個相等的實數根，下列判斷正確的是（ ）.

A．1一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根

B．0一定不是關于x的方程x2+bx+a=0的根

C．1和-1都是關于x的方程x2+bx+a=0的根

D．1和-1不都是關于x的方程x2+bx+a=0的根

6．（期中·長沙）在實數范圍內定義一種運算“?”，其運算法則為a?b=a2-ab.根據這個法則，下列結論中正確的是__________.（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

①；②若a+b=0，則a?b=b?a；③（x+2）?（x+1）=0是一元二次方程；④方程（x+3）?1=1的根是x1=，x2=.

7．（期中·泰安）解下列方程：

（1）3x2+4x-1=0（用配方法）；

（2）2x（x-3）=（x-1）（x+1）（用公式法）.

8．（期末·深圳）已知關于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m-3=0總有實數根．

（1）求m的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，當m在取值范圍內取最小整數時，求原方程的解．

9．（期末·南京）定義新運算“⊕”如下：當a≥b時，a⊕b=ab-a；當a＜b時，a⊕b=ab+b.

（1）計算：（-2）⊕；

（2）若2x⊕（x+1）=8，求x的值．

高分必練

1．（中考·綿陽）已知a＞b＞0，且+，則=__________.

2．（自招·武漢）若a，b，c為△ABC的三邊，且關于x的方程：4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有兩個相等的實數根．

試證△ABC是等邊三角形．

3．（競賽·江蘇）求方程x2-|2x-1|-4=0的實根．