3.2 點、直線和平面的投影

立體是由不同的組成表面圍成的，而面是由不同控制框架線定型的，線可以看做是無數的點的集合，點、線、面的投影是學習立體投影的基礎。

3.2.1 點的投影

1.點在兩投影面體系中的投影

（1）兩投影面體系的建立

由投影的概念可知：空間點在一個投影面上的投影是唯一確定的，但僅知點的一個投影，卻不能唯一確定該點的空間位置。為了解決這一問題，建立了兩投影面體系。

空間互相垂直相交的兩個平面，即構成一個兩投影面體系，如圖3-2a所示。其中一個平面水平放置，稱為水平投影面H；另一平面稱為正立投影面V。H與V面的交線OX稱為投影軸。

空間點A在兩投影面體系中的投影，如圖3-2a所示。過點A向H面作垂線，其垂足a即為點A的水平投影。過點A向V面作垂線，其垂足a′即為點A的正面投影。本書標記規定：空間點用大寫字母表示，如A、B、C等；水平投影用對應的小寫字母表示，如a、b、c等；正面投影用對應的小寫字母加一撇表示，如a′、b′、c′等。

空間點A的兩面投影圖，如圖3-2b所示。它是在圖3-2a的基礎上，規定V面不動，H面向下旋轉90°與V面成一平面，如圖3-2b所示。由于投影面是無限大的，故投影圖不畫出投影面的范圍，如圖3-2c所示。

（2）點在兩投影面體系中的投影規律

1）點的正面投影和水平投影的連線垂直于投影軸。如圖3-2b和3-2c中，即a′a⊥OX。

2）點的正面投影到OX軸的距離等于該點到H面的距離，即a′a_x=Aa；點的水平投影到OX軸的距離等于該點到V面的距離，即aa_x=Aa′。

2.點在三投影面體系中的投影

（1）三投影面體系的建立

由前述內容可知，根據一個點的兩面投影就可以確定該點的空間位置。但為了研究立體的投影，還需要建立三投影面體系。

三投影面體系是在兩投影面體系的基礎上，再增加一個與H面和V面均垂直的側立投影面W，如圖3-3a所示。V、H和W三個投影面互相垂直相交，產生三個投影軸：H、V面的交線為OX軸；H、W面的交線為OY軸；V、W面的交線為OZ軸。三個投影軸的交點O稱為原點。

空間點A在三投影面體系中有三個投影，即a、a′和a″，其中a″稱側面投影。

為了把點在空間三投影面的投影畫在同一個平面上，如圖3-3b所示，規定V面不動，H面繞OX軸向下旋轉90°，W面繞OZ軸向后旋轉90°，都與V面重合。OY軸一分為二：隨H面旋轉的用OY_H標記，隨W面旋轉的用OY_W標記。去掉限制投影面大小的邊框，就得到了點A的三面投影圖。

（2）點在三投影面體系中的投影規律

由圖3-3可以得出點在三投影面體系中的投影規律：

1）點A的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸，即a′a⊥OX。

2）點A的正面投影和側面投影的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ。

3）點A的水平投影到OX軸的距離等于點A的側面投影到OZ軸的距離，即aa_X=a″a_Z。

3.點的投影與直角坐標的關系

若把三投影面體系看作空間直角坐標系，H、V、W面為坐標面，OX、OY、OZ軸為坐標軸，O為坐標原點，則點A的直角坐標（x_A，y_A，z_A）分別是點A至W、V、H面的距離，即

點A至W面的距離（A→W）=x_A

點A至V面的距離（A→V）=y_A

點A至H面的距離（A→H）=z_A

點的每一個投影由其中的兩個坐標決定：V面投影a′由x_A和z_A確定，H面投影a由x_A和y_A確定，W面投影a″由y_A和z_A確定。

由上述可知，空間一點到三個投影面的距離與該點的三個坐標有確定的對應關系。不論已知空間點到投影面的距離，還是已知空間點的三個坐標，均可以畫出其三面投影圖。反之，已知點的三面投影或兩面投影，可以完全確定點的空間位置。

[例3-1] 已知空間點A（18，13，15），點B（10，20，6），試作A、B兩點的三面投影圖。

解 根據點的直角坐標和投影規律作圖，如圖3-4a所示。先畫出投影軸OX、OY、OZ，再作點A的三面投影：由原點O向左沿OX軸量取Oa_X=18，過a_X作投影連線⊥OX，在投影連線上自a_X向下量取13，得水平投影a；自a_X向上量取15，得正面投影a′；根據a和a′分別作垂直于OY和OZ的投影連線，利用45°輔助線，作出側面投影a″。

利用同樣的方法可以求得點B的三面投影圖。A、B兩點的空間情況，如圖3-4b所示。

4.兩點的相對位置

兩點的相對位置是指以某一點為基準，判別另外一點在該點的上下、左右和前后的位置關系，如圖3-4中箭頭所示。具體位置由兩點的坐標差確定。[例3-1]中，若以點A為基準，則點B在點A的右方8（x_A-x_B=18-10），下方9（z_A-z_B=15-6），前方7（y_A-y_B=13-20）。

5.重影點及可見性的判別

當空間兩點位于某一投影面的同一條投射線上時，則兩點在該投影面上的投影必然重合，這兩點就稱為對該投影面的重影點。圖3-5a中，A、B兩點為H面的重影點，C、D兩點為V面重影點，B、D兩點為W面重影點。

對重影點要判別可見性。因為重影點必有兩個坐標相等，一個坐標不等，所以其可見性可以由兩點不等的坐標來確定，坐標值大的為可見。如A、B兩點的水平投影重合，因z_A>z_B，所以點A的水平投影為可見，點B的水平投影為不可見，記作（b），如圖3-5b所示。

3.2.2 直線的投影

1.基本投影特性

（1）直線的投影一般仍為直線，特殊情況下積聚為一點

在圖3-6a中，直線AB在H面的投影為ab。直線AB向H面投影是直線AB上無數個點的投射線所構成的平面與H面的交線，兩個平面的交線必為直線。在圖3-6b中，直線AB垂直于H面，因此其在H面的投影積聚成一點，為a（b）。直線的這種投影特性稱為積聚性。

因為兩點可確定一條直線，因此可作出直線上的兩點（一般取線段的兩個端點）的三面投影，并將同面投影相連，即得到直線的三面投影，如圖3-7所示。

（2）直線上的點具有從屬性和定比性

1）從屬性：點在直線上，則點的投影必在直線的同面投影上。如圖3-8所示，C點在直線AB上，則c在ab上，c′在a′b′上，c″在a″b″上。

2）定比性：直線段上的點分割線段成定比，投影后保持不變，如圖3-8中：

AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″

[例3-2] 已知點C在直線AB上并知其正面投影c′，求其水平投影c，如圖3-9a所示。

解 根據直線上的點具有從屬性和定比性，有兩種作圖方法。

方法1：利用從屬性，先求出直線AB的側面投影a″b″，再按圖中箭頭方向，求出點C的水平投影c，如圖3-9b所示。

方法2：利用定比性，過a任意引一條傾斜于ab的直線ab₁，并取ab₁=a′b′。在直線ab₁上取ac₁=a′c′，過c₁作c₁c∥b₁b，則c₁c與ab的交點c即為所求，如圖3-9c所示。

2.直線對投影面的相對位置

直線對投影面的相對位置有如下3種情況。

?一般位置直線——與三投影面都傾斜的直線。

?投影面平行線——平行于一個投影面，傾斜于另外兩個投影面的直線。

?投影面垂直線——垂直于一個投影面，必然平行于另外兩個投影面的直線。

后兩類直線又稱為特殊位置直線。

直線對H、V、W面的傾角分別用α、β、γ表示。

（1）一般位置直線

一般位置直線如圖3-10所示，其投影特性為：3個投影長度均比實長短；3個投影都傾斜于投影軸，但與投影軸的夾角并不反映α、β、γ。

（2）投影面平行線

投影面平行線有3種：平行于H面的水平線；平行于V面的正平線；平行于W面的側平線。

3種投影面平行線的空間狀況及投影特性見表3-1。

由表3-1可知，投影面平行線的投影特性為：直線在所平行的投影面上的投影反映空間線段的實長；該投影與相應投影軸的夾角反映空間直線段與相應投影面的夾角；另外兩個投影長度小于空間線段的實長。

（3）投影面垂直線

投影面垂直線有3種：垂直于H面的鉛垂線；垂直于V面的正垂線；垂直于W面的側垂線。

3種投影面垂直線的空間狀況及投影特性見表3-2。

由表3-2可知，投影面垂直線的投影特性為：直線在所垂直的投影面上的投影有積聚性；另外兩個投影反映空間線段的實長，并垂直于相應的投影軸。

3.兩直線的相對位置

空間兩直線的相對位置有3種情況，即平行、相交和交叉。其中交叉兩直線既不平行也不相交，又稱為異面直線。下面分別分析它們的投影特性。

（1）平行兩直線

平行直線的所有同面投影必互相平行，如圖3-11b所示。因為AB與CD兩直線平行，它們向投影面投影時，投影線組成的兩個平面互相平行，即平面ABba∥CDdc。所以，該兩平面與投影面的交線，即AB與CD的投影必平行。故有ab∥cd，a′b′∥c′d′，如圖3-11a所示。

（2）相交兩直線

相交直線的所有同面投影必相交，且交點的連線必垂直于相應的投影軸，如圖3-12b所示。因為點K是AB與CD直線的共有點，所以兩直線的各面投影必相交。又因各面投影相交點是空間同一個點K的投影，所以必然符合點的投影規律，如圖3-12a所示。

（3）交叉兩直線

交叉兩直線的投影特性既不符合平行兩直線的投影特性，又不符合相交兩直線的投影特性。如圖3-13b所示，雖然同面投影都相交，但交點的連線并不垂直于相應的投影軸。AB與CD兩線段的投影相交處，并不是兩直線共有點的投影，而是兩直線上點的投影的重合，如圖3-13a所示。

交叉兩直線投影相交處是重影點的投影，通過投影圖判別其可見性，可確定兩直線在空間的位置關系。具體判別方法及標記，參見前述重影點及可見性的判別內容。

根據上述兩直線的相對位置的投影特性，可在投影圖上解決作圖和判別問題。在投影圖上判別兩直線的相對位置時，一般情況下任意選擇兩面投影即可判斷。若兩直線為特殊位置直線或其中之一為特殊位置時，必須有該直線所平行的投影面上的投影才能判斷。例如，在圖3-14a中，AB與CD為側平線；在圖3-14b中，AB為側平線，CD為一般位置直線，均需有其側面投影后，才能最后判斷為交叉兩直線。

4.直角投影定理

空間兩直線垂直，若其中有一條直線平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上的投影成直角。反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線必垂直。

上述定理可由圖3-15得到證明。圖3-15a中，已知AB⊥BC，BC∥H面。因BC⊥Bb，所以BC⊥四邊形ABba。又因BC∥bc，則bc⊥ABba，bc⊥ab。其投影圖如圖3-15b所示。

[例3-3] 過點A作一直線AB，令AB與正平線CD垂直相交，如圖3-16a所示。

解 已知CD為正平線，所作直線與其垂直相交，根據直角投影定理，兩直線的正面投影必垂直相交。作圖步驟如下。

1）過a′作a′b′⊥c′d′，交c′d′于b′。

2）由b′向下作投影連線，交cd于b。

3）連接ab，則ab與a′b′是所求直線AB的兩面投影，如圖3-16b所示。

3.2.3 平面的投影

1.平面的表示法

初等幾何中，可以用一組幾何要素來確定平面，通常有5種情況：不在一條直線上的3個點，一直線和直線外一點，平行兩直線，相交兩直線和任意平面幾何圖形。如圖3-17所示是用上述各幾何要素所表示的平面的投影圖。

2.平面對投影面的相對位置

平面對投影面的相對位置有3種情況：

?一般位置平面——與三投影面都傾斜的平面。

?投影面垂直面——垂直于某一投影面，傾斜于另外兩個投影面的平面。

?投影面平行面——平行于一個投影面，必然垂直于另外兩個投影面的平面。

后兩類平面又稱為特殊位置平面。平面對H、V、W面的傾角分別用α、β、γ表示。下面分別介紹各種平面的投影特性。

（1）一般位置平面

一般位置平面如圖3-18所示，其投影特性為：三面投影均為縮小的類似形。

（2）投影面垂直面

投影面垂直面有3種：垂直于H面的鉛垂面；垂直于V面的正垂面；垂直于W面的側垂面。

三種投影面垂直面的空間狀況及投影特性見表3-3。

由表3-3可知，投影面垂直面的投影特性為：當平面垂直于某一投影面時，平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，即平面內任何幾何要素的投影都重合在該直線上，這種特性稱為平面的積聚性。該積聚性投影與相應投影軸的夾角，反映空間平面與另外兩個投影面的傾角。平面的另外兩個投影均為縮小的類似形。

（3）投影面平行面

投影面平行面有3種：平行于H面的水平面；平行于V面的正平面；平行于W面的側平面。

三種投影面平行面的空間狀況及投影特性見表3-4。

由表3-4可知，投影面平行面的投影特性為：平面在所平行的投影面上的投影反映空間平面的實形；另外兩面投影積聚為直線，且平行于相應的投影軸。

3.用跡線表示特殊位置平面

平面與投影面的交線稱為平面的跡線，如圖3-19所示，空間平面P與H、V和W面的交線稱為P平面的三面跡線，分別記作P_H、P_V和P_W。

跡線是平面與投影面的共有線，其一面投影與跡線本身重合，另外兩面投影必與相應的投影軸重合。例如圖3-19中的跡線P_V，其正面投影與P_V重合，水平投影與OX軸重合，側面投影與OZ軸重合。

一般在投影圖上只用與跡線本身重合的那一面投影來表示跡線。特殊位置平面必有一面或兩面投影積聚為直線，該直線也是平面的相應跡線所處的位置。所以對特殊位置平面就用有積聚性的投影表示該平面，并標記相應的符號。其具體表示方法如圖3-20和圖3-21所示，即用細實線畫出平面有積聚性的投影，并在線段的一端注上相應的跡線符號。圖3-20是用跡線表示正垂面R、鉛垂面P和側垂面Q的投影圖。圖3-21是用跡線表示水平面P、正平面Q和側平面S的投影圖。這些投影圖可以完全確定相應的特殊位置平面的空間位置。

4.平面內的點和直線

（1）平面內取點和取直線

在投影圖上取屬于空間平面內的點和直線，必須滿足下列幾何條件：

1）在平面內取點，必須取自屬于該平面的已知直線上。

圖3-22a中，平面P由相交二直線AB和BC確定。若在AB上取點M，在BC上取點N，M、N兩點均取自屬于P平面的已知直線上，則M、N兩點必在P平面內。圖3-22b表示在投影圖中的作圖情況。

2）在平面內取直線，必須過平面內兩已知點或過平面內一已知點且平行于該平面內的另一已知直線。

圖3-23a中，平面P由相交二直線AB和BC確定。M、N為該平面內的兩已知點，過M、N兩點的直線必在P平面內。圖3-23b中，平面P由相交二直線AB和BC確定。點L屬于AB，是P平面上的已知點。過L作LK∥BC，則LK必在P平面內。圖3-23c表示根據上述條件在投影圖中的作圖情況。

由上述可知，在平面內取點，必先取直線；而平面內取直線，又必先取點，即必須遵循點、線互相利用的原則。

[例3-4] 已知由平行兩直線AB與CD所確定的平面內一點K的正面投影k′，求其水平投影k，如圖3-24a所示。

解 點K屬于平面，則K點必在平面內的一條已知直線上。其作圖過程如圖3-24b所示。先過K（k′）任作直線ⅠⅡ（1′2′）與AB（a′b′）、CD（c′d′）相交，再由1′、2′向下確定1、2，連接1、2，則直線ⅠⅡ必在平面內，k必在12上。

[例3-5] 已知△ABC和點D的兩面投影，判別D是否在該平面內（如圖3-25所示）。

解 點D若在△ABC內，必在屬于該平面的直線上，否則點D就不在平面內。作圖時先在平面內取輔助線AⅠ，令a′1′通過d′，再求出a1，看是否也通過d，如圖3-25所示，d不在a1上，故D不在△ABC內。

[例3-6] 試在一般位置平面△ABC內取水平線和正平線，如圖3-26所示。

解 在圖3-26a中，一般位置平面△ABC內的直線AD∥H面，則稱AD為該平面內的水平線，BE∥V面，則稱BE為該平面內的正平線。

平面內投影面的平行線，是平面內的特殊位置直線，既屬于平面，又具有投影面平行線的投影特性。在投影圖上的作圖過程如圖3-26b所示。過△ABC上任意一點例如點A，作水平線時，則應過a′作a′d′∥OX軸，再由d′得d，連接ad，則直線AD（a′d′、ad）即為△ABC內的水平線。用類似的方法，可在△ABC內取正平線BE（be、b′e′）。顯然，同一平面內可取無數條水平線、正平線，它們互相平行。

（2）過已知點或直線作平面

過空間已知點A可作無數個平面。如圖3-27a所示，在點A外任取一直線BC，則A和BC就確定了一個平面。

若過空間點A作投影面垂直面，也可以作無數個。圖3-27b為過點A作的鉛垂面△ABC；圖3-27c為過點A作鉛垂面P，用跡線P_H表示。其空間作圖情況如圖3-27d所示。

過空間已知點A作投影面平行面，則只能作一個。

過空間已知直線，可作無數個平面，只要在線外任取一點，即可構成。

過空間已知直線AB作投影面垂直面，總可以作出一個，一般用跡線表示。圖3-28為過AB作正垂面P（圖3-28a）和鉛垂面Q（圖3-28b）的空間情況及投影圖。