3.3 直線與平面、平面與平面的相對位置

直線與平面、平面與平面的相對位置分別有3種情況，即平行、相交和垂直。

3.3.1 平行問題

直線與平面平行的幾何條件：如果平面外一直線和這個平面內(nèi)的一直線平行，則此直線與該平面平行。反之，如果在一平面內(nèi)能找出一直線平行于平面外一直線，則此平面與該直線平行。如圖3-29a所示，AB平行于P面內(nèi)的CD，故AB平行于P面。

兩平面互相平行的幾何條件是：如果一平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行于另一平面內(nèi)的相交二直線，則這兩個平面互相平行，如圖3-29b所示。圖中AB∥DE，BC∥EF，故Q∥R。

[例3-7] 過K點作一正平線KL與△ABC平面平行，如圖3-30a所示。

解 在空間過已知點K可作無數(shù)條與已知平面平行的直線，但其中與V面平行的只有一條。根據(jù)直線與平面平行的幾何條件，先在△ABC平面內(nèi)取一條正平線CD，作cd∥OX，得c′d′，再過k′作e′f′∥c′d′，過k作ef∥cd，則EF是平行于△ABC的正平線。圖3-30b為作圖過程。

[例3-8] 判別已知直線MN是否平行于已知平面△ABC，如圖3-31所示。

解 如果能在△ABC中找出一直線與MN平行，則MN∥△ABC，否則就不平行。先在△ABC內(nèi)取CD，令cd∥mn，再求出c′d′，可以看出c′d′不平行于m′n′，因此MN不平行于△ABC。

[例3-9] 過點K作一平面平行于△ABC，如圖3-32a所示。

解 根據(jù)兩平面互相平行的幾何條件，過點K作一對相交直線分別對應(yīng)地平行△ABC內(nèi)的任意一對相交直線，即為所求。為作圖簡便，過點K作KM∥AC，KN∥BC。在投影圖中，先過k′作k′m′∥a′c′、k′n′∥b′c′；再過k作km∥ac、kn∥bc，則由KM和KN相交二直線所確定的平面必平行△ABC，如圖3-32b所示。

3.3.2 相交問題

直線與平面相交，必有一個交點，交點是直線與平面的共有點。兩平面相交，必有一條交線，交線是兩面的共有線，由兩平面上的一系列共有點組成。

研究相交問題，即在投影圖上確定交點、交線的投影，并判別直線、平面投影的可見性。交點是線面投影后可見性的分界點，交線是面面投影后可見性的分界線。

當(dāng)相交兩幾何要素之一與投影面處于特殊位置時，可利用投影的積聚性及交點、交線的共有性，在投影圖上確定交點、交線的投影。

[例3-10] 求直線AB與△CDE的交點K，如圖3-33所示。

解 △CDE是正垂面，正面投影有積聚性。交點K是△CDE和AB的共有點，所以其正面投影必在△CDE和AB正面投影的相交處；其水平投影也應(yīng)在AB的水平投影上，作圖過程如圖3-33a所示，K（k′、k）即為所求交點。

水平投影中，ab有一部分被△cde遮擋，需判別其可見性。可依據(jù)重影點判別，除k點外，ab與△cde重疊部分均為重影點的投影。可任取其中一對重影點，圖中取AB上的Ⅰ點（1′、1）和CD上的Ⅱ點（2′、2），顯然Ⅰ點的z坐標(biāo)大于Ⅱ點的z坐標(biāo)。因此，對水平投影來說，AK在CD的上方，也就是在△CDE的上方，是可見的。而KB是不可見的，用虛線表示。

[例3-11] 求直線AB與△CDE的交點K，如圖3-34所示。

解 直線為鉛垂線，其水平投影積聚為一點。交點K的水平投影必與該點重合，K也是△CDE內(nèi)一點，可用平面上取點的方法求其正面投影。

可見性的判別可根據(jù)上例類推，在正面投影中取一對重影點Ⅰ、Ⅱ（Ⅰ在CD上，Ⅱ在AB上），結(jié)果如圖3-34所示。

[例3-12] 求四邊形ABCD與△EFG的交線MN，如圖3-35所示。

解 求兩平面的交線，只要求得兩個共有點即可。現(xiàn)四邊形平面為鉛垂面，△EFG的邊EF、EG為一般位置直線，求出該兩直線與平面的交點，其連線即為兩平面的交線。分別由水平投影的m、n確定m′、n′，則MN（m′n′、mn）即為所求。

可見性判別結(jié)果如圖3-35所示。

3.3.3 垂直問題

垂直問題包括直線與平面垂直、兩平面垂直，這里僅研究特殊情況下的線、面垂直和面、面垂直。

[例3-13] 過L點作一直線LK，使LK⊥△ABC平面，如圖3-36所示。

解 圖3-36a為空間狀況，由于△ABC為鉛垂面，則垂直于該平面的直線LK必為水平線。水平投影中lk⊥abc，正面投影l′k′平行于投影軸。其作圖過程如圖3-36b所示，過l作lk⊥abc，過l′作l′k′平行于投影軸，由k得k′，則LK（l′k′、lk）即為所求。其中水平投影lk反映空間點L到△ABC的真實距離。

如果已知平面△ABC為正垂面或側(cè)垂面，則其垂線LK是什么位置直線？應(yīng)如何作圖？請讀者自行分析。

[例3-14] 過L點作一平面垂直于△ABC平面，如圖3-37所示。

解 由圖3-37a可知，若直線MN垂直P面，則包含MN的任意平面Q、R等都垂直于P面。其投影圖如圖3-37b所示。由于△ABC為鉛垂面，可按[例3-13]的方法過L點作該平面的垂線，再過L點任引一直線，則相交兩直線LK與LD所確定的平面即為所求。