2.3 雙質(zhì)量車身車輪振動

2.3.1 雙質(zhì)量系統(tǒng)振動微分方程

對于雙軸汽車四個自由度的振動模型，當(dāng)懸架質(zhì)量分配系數(shù)ε=ρ²_y/ab的數(shù)值接近1時，前后懸架系統(tǒng)的垂直振動幾乎是獨立的，于是汽車可以簡化為1/4汽車雙質(zhì)量二自由度系統(tǒng)振動模型，如圖2-11所示。

雙質(zhì)量系統(tǒng)振動模型，不僅可以反映的車身部分的動態(tài)特性，還能反映車輪部分在10～15Hz范圍產(chǎn)生高頻共振時的動態(tài)特性，它對平順性和車輪的接地性有較大影響，比單質(zhì)量系統(tǒng)更接近汽車懸架系統(tǒng)的實際情況。設(shè)車輪與車身垂直位移坐標(biāo)為z₁、z₂，坐標(biāo)原點選在各自的平衡位置，則振動微分方程為

式中，m₂為懸架質(zhì)量（簧上質(zhì)量，包括車身等）；m₁為非懸架質(zhì)量（簧下質(zhì)量，包括車輪、車軸等）；k、k_t分別為懸架和輪胎剛度；c為懸架阻尼系數(shù)。

圖2-11 單輪雙質(zhì)量二自由度模型

2.3.2 雙質(zhì)量無阻尼系統(tǒng)的自由振動

當(dāng)系統(tǒng)可以不計阻尼時，則雙質(zhì)量系統(tǒng)的自由振動微分方程變?yōu)?/p>

由運動方程可以看出，m₂與m₁的振動是相互耦合的。若m₁不動（z₁=0），則有

這相當(dāng)于只有車身質(zhì)量m₂的單質(zhì)量無阻尼自由振動。其固有圓頻率為

同樣，若m₂不動（z₂=0），相當(dāng)于車輪質(zhì)量m₁作單自由度無阻尼自由振動，于是可得

車輪部分固有圓頻率為

固有圓頻率p₀與p_t是只有單獨一個質(zhì)量（車身質(zhì)量或車輛質(zhì)量）振動時的部分頻率，稱為偏頻。

在無阻尼自由振動時，車身質(zhì)量和車輪質(zhì)量將以相同的圓頻率ω和相角φ作簡諧振動，設(shè)車輪和車身的振幅分別為z₁₀和z₂₀，則它們的振動響應(yīng)分別為

將式（2-54）和式（2-55）代入振動微分方程組（2-51），可得

將k/m₂=p²₀、（k+k_t）/m₁=p²_t代入式（2-56），可得

此方程組有非零解的條件是z₂₀、z₁₀的系數(shù)行列式為零，即

得系統(tǒng)的特征方程為

方程（2-58）的兩個根為二自由度系統(tǒng)的兩個主頻率ω₁和ω₂的平方

將ω₁和ω₂代入式（2-57）中的任何一式，可得一階主振型和二階主振型，即

一階主振型：

二階主振型：

例如，某汽車車身固有圓頻率p₀=2πrad/s，質(zhì)量比r_m=m₂/m₁=10，剛度比r_k=k_t/k=9，求系統(tǒng)的主頻率和主振型。

由式（2-53）可得車輪的固有頻率為

由式（2-59）可得系統(tǒng)兩個主頻率分別為

ω₁=0.95p₀，ω₂=10.01p₀

由此可見，低的主頻率ω₁與車身固有圓頻率p₀接近，高的主頻率ω₂與車輪固有圓頻率p_t接近，且有ω₁＜p₀＜p_t＜ω₂。

將兩個主頻率ω₁和ω₂分別代入式（2-60）和式（2-61），可確定兩個主振型為一階主振型：

二階主振型：

車身與車輪兩個自由度系統(tǒng)的主振型如圖2-12所示。在強迫振動情況下，激振頻率ω接近系統(tǒng)主頻率ω₁時將產(chǎn)生低頻共振，按一階主振型振動，車身質(zhì)量m₂的振幅比車輪質(zhì)量m₁的振幅大將近10倍，所以主要是車身質(zhì)量m₂在振動，故稱為車身型振動。

當(dāng)激振頻率ω接近系統(tǒng)主頻率ω₂時，產(chǎn)生高頻共振，按二階主振型振動，此時車輪質(zhì)量m₁的振幅比車身質(zhì)量m₂的振幅大將近100倍（實際由于阻尼存在而不會相差這樣多），故稱為車輪振型振動。

圖2-12 二自由度系統(tǒng)的主振型

圖2-12所示為二自由度系統(tǒng)的車輪振型振動，由于車身基本不動，所以可簡化為圖2-13所示的車輪部分的單質(zhì)量系統(tǒng)，下面來分析車輪部分在高頻共振區(qū)的振動。由圖2-13可知，車輪質(zhì)量m₁的運動方程為

利用對單自由度系統(tǒng)的一般解法，可求得車輪位移z₁對路面激勵q的頻率響應(yīng)函數(shù)為

將上式分子、分母除以k+k_t，并把車輪部分固有頻率p_t、車輪部分阻尼比以及λ_t=ω/p_t代入，可得

圖2-13 車輪部分單質(zhì)量系統(tǒng)

其幅頻特性為

在高頻共振ω=p_t時，車輪的加速度均方根值譜正比于車輪響應(yīng)加速度對路面激勵速度的幅頻特性，即

由式（2-64）可見，降低輪胎剛度k_t能使車輪固有圓頻率p_t下降，使簧下質(zhì)量系統(tǒng)的阻尼比ξ_t加大，這是減小車輪部分高頻共振時加速度的有效方法。降低非懸架質(zhì)量m₁，會使p_t和ξ_t都加大，車輪部分高頻共振時的加速度基本不變，但車輪部分動載下降，車輪相對動載F_d/G降低，有利于提高車輛行駛安全性。

2.3.3 雙質(zhì)量振動系統(tǒng)的傳遞特性

先求雙質(zhì)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，將有關(guān)復(fù)振幅代入方程式（2-50），可得

由式（2-65）的第1式可得，車身響應(yīng)z₂對車輪響應(yīng)z₁的頻率響應(yīng)函數(shù)為

式中，A₁=jωc+k=k（1+2jξλ）；A₂=k-ω²m₂+jωc=k（1-λ²+2jξλ）；λ為頻率比，λ=ω/p₀；ξ為阻尼比，。

由式（2-66）可知，雙質(zhì)量系統(tǒng)的車身響應(yīng)z₂對車輪響應(yīng)z₁的幅頻特性與單質(zhì)量系統(tǒng)幅頻特性H（jω）z～q完全一樣，即

將式（2-66）代入方程組（2-65），可得車輪響應(yīng)z₁對路面激勵q的頻率響應(yīng)函數(shù)

式中，N=A₃A₂-A²₁，其中A₃=k+k_t-ω²m₁+jωc。

由式（2-68）可得車輪響應(yīng)z₁對路面激勵q的幅頻特性，即

式中，；λ為頻率比，λ=ω/p₀；r_k為剛度比，r_k=k_t/k；r_m為質(zhì)量比，r_m=m₂/m₁。

由式（2-66）及式（2-68）兩個環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)函數(shù)相乘，便可得到車身振動位移響應(yīng)z₂對路面激勵位移q的頻率響應(yīng)函數(shù)，即

即

因此，車身振動位移響應(yīng)z₂對路面激勵位移q的幅頻特性就為兩個環(huán)節(jié)幅頻特性相乘，即

即

圖2-14和圖2-15分別為式（2-69）和式（2-71）對應(yīng)的幅頻特性曲線。

圖2-14 z₁對q的幅頻特性曲線

圖2-15 z₂對q的幅頻特性曲線

從曲線可以看出，對于這個車身車輪二自由度模型，當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)一階固有頻率ω₁和二階固有頻率ω₂時，都會發(fā)生共振。車身位移z₂對q的幅頻特性和車輪位移z₁對q的幅頻特性，都有低頻和高頻兩個共振峰。