2.2 單質量車身振動及特性

2.2.1 單質量車身振動微分方程

圖2-6所示為分析車身振動的單質量系統模型，該模型由車身質量m₂和彈簧剛度為k、減振器阻尼系數為c的懸架組成，q為路面不平度函數，它是以沿路前進方向的坐標x為參數的隨機過程。

取車身垂直位移坐標z的原點在靜力平衡位置，可得到系統運動的微分方程為

即

這是單自由度系統隨機基礎位移激勵問題，系統的響應是由兩部分組成的，即由系統自由振動響應和強迫振動響應疊加組合而成，也就是說，系統振動響應是振動微分方程的齊次方程的解和非齊次方程特解之和。

圖2-6 單質量車身振動模型

2.2.2 單質量系統的自由振動響應

令，，當激勵q=0時，則由式（2-8）可得單質量系統的自由振動微分方程為

式中，p為系統的固有圓頻率；而阻尼對系統的影響，取決于n與p的比值ξ，稱ξ為阻尼比，即

汽車懸架系統阻尼比ξ通常在0.25左右，屬于小阻尼。因此，振動系統的齊次微分方程的解，也就是車身自由衰減的振動響應為

式中，A是由初始條件所決定的常數，；φ是由初始條件決定的初相角，。

由式（2-11）可知，有阻尼的自由衰減振動，車身質量m₂以有阻尼的固有頻率振動，而振幅卻按Ae^-ξpt規律衰減，如圖2-7所示。

由上述可知，阻尼對自由振動有如下兩方面的影響。

圖2-7 自由衰減振動曲線

1.阻尼使固有頻率降低

如果無阻尼自由振動系統原固有頻率為，則弱阻尼懸架系統的固有頻率p′為

因此，可知小阻尼懸架系統的固有頻率p′隨阻尼比ξ的增大而降低。

由于汽車懸架系統的阻尼比ξ約為0.25，因此，阻尼是懸架系統的固有頻率僅下降了3%左右，可以忽略不計，所以，工程上小阻尼振動系統的固有圓頻率p′，可以近似地認為等于無阻尼振動系統的固有圓頻率p，即p′≈p。因此，車身振動的固有圓頻率和固有頻率，分別為

2.阻尼決定振幅的衰減程度

設相鄰兩振幅分別為A_i和A_i+1（圖2-7），它們的比值η稱為減幅系數

式中，n為衰減系數。n越大表示阻尼越大，振幅衰減也就越大。令為對數衰減率，因此可得

所以，由式（2-16）可得振動系統的阻尼比為

若ξ?1，則由式（2-16）得，lnη≈2πξ，因此由式（2-17）可知，小阻尼車輛懸架系統的阻尼比可近似表示為

2.2.3 單質量系統在簡諧激振力下的響應

由于阻尼會使自由振動逐漸衰減，最后達到完全停止。工程上一些能持續下去的振動必定有外加能源，以彌補阻尼所消耗的能量，使系統的振動不會衰減。因此，工程上多采用強迫振動的響應。

若簡諧激振力f（t）=F₀sinωt，則根據牛頓第二定律，可得單質量振動系統在簡諧激振力f（t）=F₀sinωt作用下的振動微分方程，可表示為

式（2-19）可寫為

式中，，；。

振動微分方程式（2-20）的解包括兩部分：齊次方程的通解z₁和方程的特解z₂，即

z=z₁+z₂

由2.2.2節可知，在弱阻尼（ξ＜1）的情況下，有阻尼自由振動齊次方程的解z₁為

式（2-21）代表的是一種衰減振動，只在振動開始的一段時間內才有意義，故為瞬態振動。在一般情況下實際工程意義不大，可以不予考慮。

振動微分方程式（2-20）的特解z₂，代表系統在簡諧激振下所產生的強迫振動，它是一種持續的等幅振動，故為穩態振動。設特解z₂為

z₂=Zsin（ωt-ψ） （2-22）

式中，Z為振動響應的幅值；ω為激振力圓頻率，也是振動響應的圓頻率；ψ為響應滯后于激勵的相位差。

又因為

將式（2-22）～式（2-24）代入微分方程（2-20），可得

-ω²Zsin（ωt-ψ）+2ξpωZcos（ωt-ψ）+p²Zsin（ωt-ψ）=Fsin ωt（2-25）

利用三角函數關系得

Fsin ωt=Fsin[（ωt-ψ）+ψ]=Fcos ψsin（ωt-ψ）+Fsin ψcos（ωt-ψ）（2-26）

比較式（2-26）和式（2-25），由于對任何瞬時t都成立，故sin（ωt-ψ）和cos（ωt-ψ）前的系數必須分別相等，即

（p²-ω²）Z=Fcos ψ

2ξpωZ=Fsin ψ

因此，可得

式中，為頻率比；，為系統的最大靜位移。

因此，強迫振動的穩態解為

由上述強迫振動解可見：在簡諧激振力作用下，強迫振動響應為也簡諧振動，其頻率與激振頻率ω相同，但相位角滯后ψ，這是由于阻尼存在的關系。振幅Z與相位差ψ都只與系統固有特性及激振力的性質有關，而與初始條件無關。

由式（2-29）可得Z與Z₀之比β，β稱為放大因子，為

放大因子β代表穩態振幅X與激振力幅F₀作用于彈簧上的靜位移Z₀之比。β值不僅隨λ而變，而且還隨ξ值而變。

在不同的阻尼比ξ的情況下，放大因子β與頻率比λ的關系以及相位角ψ與λ的關系，如圖2-8和圖2-9所示。其中，圖2-8所示為幅頻響應曲線，而圖2-9所示為相頻響應曲線。

圖2-8 幅頻響應曲線

圖2-9 相頻響應曲線

1）當λ?1，即激振頻率ω遠小于系統的固有頻率p時，無論阻尼大小如何，β接近于1，即振幅近似等于激振力幅值F₀作用下的靜變形X₀。故在低頻區內，振幅X主要由彈簧剛度控制。此時，相位差ψ≈0，即位移與激振力接近于同相位。

2）當λ?1，即激振頻率ω遠大于系統的固有頻率p時，β趨近于0。因為激振力方向改變太快，振動物體由于慣性來不及跟隨，幾乎停止不動。故在高頻區內，振幅X主要決定于系統的慣性。這一特性正是隔振和慣性傳感器的理論依據。相位差ψ≈π，即在高頻范圍內位移與激振力接近于反相位。

3）當λ≈1時，即ω接近p，振幅Z急劇增加，β趨向β_max，這種現象稱為共振。嚴格地講，β_max發生在處，但通常ξ²?1，故ω=p時系統發生共振。由式（2-18）可以看出，振幅Z達到最大值時，由式（2-28）得。

可見在共振時，振幅最大值Z_max與阻尼比ξ的值有關，ξ越小，則Z_max將越大；在ξ→0時，Z_max可達到無窮大。但共振時的ψ值與阻尼比ξ的值無關，不論ξ為何值，共振時的ψ總是，這是共振的一個重要特征。從分析幅頻響應與相頻響應所引出的共振現象，是傳統的共振試驗法測定系統固有頻率的理論基礎。

2.2.4 單質量系統在單位諧波函數激勵下的響應

單位諧波函數激勵為復數形式的單位幅值簡諧激振力，即f_c（t）=eⁱωt=cosωt+isinωt，則單質量系統的振動微分方程為

單質量系統在單位諧波函數激勵下的復數形式的響應為z_c（t）。由于復數激振力和復數響應既是t的函數，又是ω的函數，故可令復數響應與復數激振力之比為H（ω），即

H（ω）被稱為頻率響應函數。它是一個由系統特性參數所確定的，表示系統在單位幅值的簡諧激振力f_c（t）=eⁱωt作用下所產生的振幅。對于簡諧激勵，若知道系統的頻率響應函數，便可由式（2-32）可求得振動系統的輸出響應，即

z_c（t）=H（ω）f_c（t）（2-33）

根據式（2-31），可得單位簡諧激振力作用下的響應為

將上述三式代入式（2-32），兩邊消去eⁱωt，即得頻率響應函數為

式中，λ為頻率比，ξ為阻尼比。

頻率響應函數的模為，稱為幅頻特性。

頻率響應函數的相位差角為，稱為相頻特性。

將復數形式的簡諧激振力F₀eⁱωt代入式（2-33），則復數形式的響應為

z_c=H（ω）e^-iψF₀eⁱωt=F₀H（ω）eⁱ（ωt-ψ） （2-35）

若實際激振力為正弦函數F₀sin ωt，則實際響應取復數形式響應的虛部，得實際解為

若實際激勵為余弦函數F₀cos ωt，則取復數形式響應的實部，得實際解為

2.2.5 單質量系統振動響應的傅里葉積分法

激勵函數f（t）的傅里葉積分形式為

式（2-37）右端的積分運算稱為激勵f（t）的傅里葉變換，式（2-36）相應地稱為傅里葉逆變換。由式（2-36）和式（2-37）所聯系的兩個量f（t）和F（ω）稱為一個傅里葉變換對。

通常響應函數z（t）可以用傅里葉積分式（2-36）表示為

式中，

，是響應z（t）的傅里葉變換。

可以把非周期函數看成是由無數個復振幅為的諧波分量所組成，于是，根據式（2-35）求出對應于每個諧波分量的響應后，再根據線性系統的疊加原理，就可求得系統的響應

比較式（2-38）和式（2-39），得

X（ω）=H（ω）F（ω） （2-40）

它表示輸出和輸入傅里葉變換之比，等于頻率響應函數H（ω），簡稱頻響函數。這與在簡諧激振力作用下的輸出與輸入關系式相同。這說明頻率響應函數能表示系統的動態特性。在簡諧激振力的作用下，線性單質量系統的頻率響應函數為

它的模，它的虛部與實部之比為相位角，分別確定系統的幅頻特性和相頻特性，能全面反映系統的傳遞特性。

2.2.6 單質量車身在路面激勵下的振動響應

對式（2-8），通常關心其穩態隨機響應，它取決于路面不平度函數隨機激勵q（x）和系統的頻率響應特性函數H（ω）。由上可知，系統頻率響應函數H（ω）z_-q為系統的振動響應z的傅里葉變換與激勵q的傅里葉變換之比，即

式中，Z（ω）為響應z（t）的傅里葉變換；Q（ω）為激勵q（t）的傅里葉變換。

對式（2-8）進行傅里葉變換，可得單質量車身在路面激勵下響應的頻響函數為

式中，為阻尼比；λ為頻率比，；ω為路面激勵的圓頻率；為系統固有圓頻率。

由式（2-43）得為單質量車身在路面激勵下的幅頻特性和相頻特性。

幅頻特性為

相頻特性為

汽車在具有一定幅值的正弦波路面上行駛，即路面激勵為

q（t）=asin ωt

則單質量車身在路面激勵下的響應為

路面激勵q（t）=asin ωt為正弦，所以系統的實際響應為

式中，為幅值Z，即路面激勵響應的幅值為

如果路面激勵以速度=bsin ωt來表達，用上面同樣的推導方法可得

若以加速度來表達，則有

由H（ω）z_-q可以得到單質量系統的幅頻特性曲線，如圖2-10所示。

由頻響函數式（2-44）和圖2-10可知

1）當頻率比λ=1時，系統出現共振，幅頻特性達到最大，即共振時的幅值

2）在低頻段（0≤λ≤0.75），H（ω）z_-q略大于1，不呈現明顯的動態特性，阻尼比對低頻段的影響不大。

圖2-10 單質量系統的幅頻特性曲線

3）在共振段（0.75＜λ＜），H（ω）z_-q出現峰值，將輸入激勵放大，增大阻尼比ξ，可使共振峰值明顯降低。

4）在高頻段（），當時，

H（ω）z_-q=1，系統響應與阻尼比ξ無關；當時，H（ω）z_-q＜1，對輸入位移有衰減作用，且阻尼比減小對減振有利。