4.1 節流閥片在均布壓力下的變形量解析計算

4.1.1 閥片變形量曲面微分方程及其解

汽車減振器節流閥片為圓環形彈性閥片，內半徑r_a是固定約束，外半徑r_b是自由約束，節流閥片在載荷p作用下將產生變形。根據閥片的結構和受力特點，所建立的閥片力學模型如圖4-1所示。

為了討論方便，在以下的討論中用r及θ分別替代第2章中的ρ及φ，用f代替w。

節流閥片的結構和受力均是對稱的，因此，可以節流閥片圓心為極點建立極坐標系。邊界是繞z軸對稱的，這樣載荷和變形量只是半徑r的函數。由于減振器開閥壓力比較小，節流閥片大多時間處于小撓度變形狀態，根據第3章中式（3-26），可建立節流閥片變形曲面微分方程為

圖4-1 節流閥片力學模型

式中，常數；r為極半徑，r∈[r_a，r_b]；f為閥片在半徑r處的變形量，它是位置半徑r的函數；h為閥片厚度；E為閥片彈性模量；μ為閥片材料泊松比。

對于厚度為h、彈性模量為E、泊松比為_μ的給定閥片，D為常數。根據式（3-28），微分方程[式（4-1）]的通解可表示為

f_r=C₁lnr+C₂r²lnr+C₃r²+C₄+f^* （4-2）

式中，f^*為方程特解，C₁、C₂、C₃和C₄為方程解的常數，由閥片邊界條件決定。

由于微分方程中的D和p均與半徑r無關，因此設微分方程的特解為f^*=Br⁴，并將其代入常微分方程，得，因此，。當然，f^*也可以根據第3章中式（3-29）求得。

閥片內圓是固定約束，外圓是自由約束，環形閥片邊界條件可表示為

內圓：

外圓：

利用上述閥片4個邊界條件，可確定方程解中4個待定常數C₁、C₂、C₃和C₄。將所求微分方程解的常數C₁、C₂、C₃和C₄代入閥片變形微分方程的通解，便可以得到節流閥片在半徑r處的變形量解析表達式，即

式（4-3）即節流閥片的變形曲面方程。利用此方程可以求得在給定壓力下，閥片在任意位置半徑r∈[r_a，r_b]處的變形量。

需要說明的是，在軸對稱彎曲情況下，根據第3章中式（3-25）可知，橫向剪力F_Sθ=0，且M_rθ=M_θr=0，因此，在建立邊界條件及連續性條件時不再利用它們建立方程。

4.1.2 閥片變形系數Gr

由上述對節流閥片變形量的分析計算可知，利用所求得的閥片變形方程，可以求得在位置半徑r處的變形量。但是由于方程解的解析表達式非常復雜，并且還是一個關于半徑r的函數表達式，故很難滿足閥片設計要求。

在對減振器節流閥片設計時，閥片的內半徑r_a、外半徑r_b、閥口半徑r_k和材料彈性模量E是確定的，需要設計的主要參數是閥片厚度h。

對閥片變形方程的通解分析發現，解的各項常數都含有一個公因子p/h³。對通解進行恒等變換，將各項都化為關于p/h³的表達式，而將閥片的內徑r_a、外徑r_b、彈性模量E和泊松比_μ以及變形位置半徑r都歸到一個系數G_r。

根據上述分析，對節流閥片變形方程通解進行恒等變換，則閥片在位置半徑r處的變形表達式（4-3）可表示為

令G_r=K_C1lnr+K_C2r²lnr+K_C3r²+K_C4+K_Br⁴，則式（4-4）可簡潔地表示為

式中，G_r為所定義的閥片在半徑r處的變形系數，即閥片變形“長城”系數（是由周長城教授用自己的名字命名的）。

由式（4-4）可知，閥片變形“長城”系數G_r中的各項系數K_C1、K_C2、K_C3、K_C4和K_B是分別由變形方程解的常數C₁、C₂、C₃、C₄和B，在不考慮公因子p/h³的情況下計算求得的。例如，某減振器節流閥片的變形“長城系數”隨半徑變化的曲線，如圖4-2所示。

由圖4-2可知，閥片變形“長城”系數G_r與閥片厚度無關，只與閥片的內半徑、外半徑以及閥片材料的物理特性有關。因此，閥片彎曲變形系數的物理意義是單位閥片厚度h，在單位壓力p作用下，在半徑r處的彎曲變形能力，其單位為m⁶/N或mm⁶/N。

圖4-2 閥片變形系數G_r隨半徑r變換曲線

4.1.3 閥片變形解析計算實例與仿真驗證

1.計算實例

因此，在給定壓力下可求得閥片在任意半徑r處彎曲變形量f_r，可利用式（4-5）進行解析計算。例如，某節流閥片的內半徑r_a=5.0mm，外半徑r_b=8.5mm，厚度h=0.3mm，彈性模型E=200GPa，泊松比μ=0.3，在均布壓力p=3.0MPa作用下，閥片變形解析計算的結果如圖4-3所示。其中，閥片最大變形量解析計算值為0.1248mm。

2.ANSYS驗證

對上述閥片利用ANSYS進行建模，網格劃分單位為0.1mm，在施加相同壓力情況下，節流閥片變形的仿真結果如圖4-4所示。其中，閥片最大變形量仿真值為0.126mm。

圖4-3 閥片彎曲變形曲線

由ANSYS仿真結果可知，解析計算方法與ANSYS的相對偏差僅為0.9524%，接近于有限元分析軟件的數值仿真結果，并且比有限元分析軟件（ANSYS）還要精確，這表明所建立的減振器節流閥片變形量解析計算公式是正確的。

圖4-4 節流閥片變形ANSYS仿真結果