3.2 彈性彎曲的基本方程

薄板的小撓度彎曲問題是按位移求解的，只取w=w（x，y）作為基本未知函數。下面根據空間問題的基本方程和邊界條件，以及上述的三個計算假定，將其他未知函數——縱向位移u、v，主要應變分量ε_x、ε_y和γ_xy，主要應力分量σ_x、σ_y和扭應力τ_xy，次要應力分量τ_xz、τ_yz及更次要的應力分量σ_z，分別都用撓度w表示，并導出求解撓度的方程。

3.2.1 其他分量的撓度表示

1）將縱向位移u和v用w表示。第3.1節中已應用計算假定和幾何方程[式（2-38）]的第四式和第五式得出式（3-1），把此式對z積分，并注意w只是x、y的函數，即得

應用計算假定式（3-3），得f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0。于是，縱向位移表示為

2）將主要應變分量ε_x、ε_y和γ_xy用w表示。把上式的u和v代入幾何方程[式（2-38）]中的第一、第二及第六式，得到

3）將主要應力分量σ_x、σ_y和τ_xy用w表示。由薄板的物理方程[式（3-2）]求解應力分量得

把式（3-4a）代入式（3-4b），得

由于w只是x，y的函數，不隨z而變，可見這三個主要應力分量都和z成正比，與材料力學中梁的彎應力相似。

4）將次要應力分量τ_xz和τ_yz用w表示。由于次要應力分量τ_xz和τ_yz引起的形變可略去不計，故相應的物理方程也已放棄。為了求出τ_xz和τ_yz，可以應用平衡微分方程[式（2-34）]的前兩式，并由于不存在縱向荷載，體力分量f_x=0，f_y=0，由此得

把σ_x、σ_b和τ_xy的表達式(3-5)代人，得

式中，。

將上式對z積分，得

其中，待定函數F₁（x，y）和F₂（x，y）可以根據薄板上、下面的邊界條件來求出，即

（τ_zx）_z=±δ/2=0，（τ_zy）_z=±δ/2=0

應用上述兩個邊界條件求得

即可得τ_zx和τ_yz的表達式

這兩個切應力沿橫向為拋物線分布，與材料力學中梁的切應力相似。

5）將更次要的應力分量σ_z用w表示。應用平衡微分方程[式（2-35）]的第三式，并取體力分量f_z=0，得

如果體力分量f_z≠0，則可以把薄板的單位面積內的體力和面力都歸入到板上面的面力中去，一并用q表示，即

這只會對最次要的應力分量σ_z引起誤差，對其他的應力分量則沒有影響。這種處理方式和材料力學中對梁的處理方式相同。

注意τ_xz=τ_zx，τ_yz=τ_zy，將這兩個應力分量的表達式（3-6）代入式（3-7），可得

將式（3-9）對z積分，得

其中，待定系數F₃（x，y）可以由薄板的下板面的邊界條件來確定，即（σ_z）_z=δ/2=0。

將式（3-10）代入，求出F₃（x，y），再代回式（3-10），即得σ_z的表達式

3.2.2 彈性彎曲微分方程

現在來導出w的微分方程。由薄板的上板面的邊界條件

（σ_z）_z=-δ/2=-q （3-12）

其中，q是薄板單位面積內的橫向荷載，包括橫向面力和橫向體力，如式（3-9）所示。將σ_z的表達式（3-11）代入式（3-12），可得

令（稱為薄板的彎曲剛度），則式（3-13）化為

DΔ⁴w=q （3-14）

式（3-14）稱為薄板的彈性曲面微分方程或撓曲面微分方程。

現在對以上的分析作進一步說明：①如果w=w（x，y）滿足DΔ⁴w=q，則等價于滿足薄板的6個幾何方程、3個物理方程、3個平衡微分方程及板的上下面邊界條件，故稱DΔ⁴w=q為薄板彎曲問題的基本方程。在求解時只需選擇w=w（x，y）滿足DΔ⁴w=q及板邊的邊界條件即可。②如果體力分量不為零，則將薄板單位面積內的體力歸入薄板上板面的面力中。③應力分量很難精確滿足板邊邊界條件，常用圣維南靜力等效邊界條件，因此必須確定薄板橫截面上的內力。