3.1 基本概念和計算假定

3.1.1 基本概念

在彈性力學中，兩個平行平面和垂直于兩平行平面的柱面或棱柱面所圍成的物體稱為平板，如圖3-1所示。這兩個平行面稱為板面，而這個柱面或棱柱面稱為側面或板邊。兩個板面之間的距離δ稱為板的厚度，而平分厚度δ的平面稱為板的中間平面，或簡稱為中面；如果板的厚度δ遠小于中面的最小尺寸b，這個板就稱為薄板，否則就稱為厚板。

對于薄板的彎曲問題，已經引用一些計算假定而建立了一套完整的理論，可以用來計算工程上的問題。對于厚板，雖然也有這樣或那樣的計算方案被提出來，但還不便應用于工程實際問題。

圖3-1 平板的結構

當薄板受有一般荷載時，總可以把每個荷載分解為兩個分荷載，一個是平行于中面的縱向荷載，另一個是垂直于中面的橫向荷載。對于縱向荷載，可以認為它們沿薄板厚度均勻分布，因而它們所引起的應力、形變和位移，可以按平面應力問題進行計算。橫向荷載將使薄板彎曲，它們所引起的應力、形變和位移，可以按薄板彎曲問題進行計算。

當薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板彈性曲面；而中面內各點在垂直于中面方向的位移，稱為撓度。

本章只講述薄板的小撓度彎曲理論，也就是只討論這樣的薄板：它雖然很薄，但仍然具有相當的彎曲剛度，因而它的撓度遠小于它的厚度（因此，位移和形變是微小的，基本假定仍然符合）。如果薄板的彎曲剛度較小，以致撓度與厚度屬于同階大小，則須另行建立所謂大撓度理論；如果薄板的彎曲剛度很小，以致撓度遠大于厚度，則薄板成為薄膜。

3.1.2 計算假定

薄板彎曲問題屬于空間問題。為了建立薄板的小撓度彎曲理論，除了引用彈性力學的5個基本假定外，還補充提出了3個計算假定，用來簡化空間問題的基本方程（這些計算假定已被大量的實驗證實是合理的）。取薄板的中面為xy面，如圖3-1所示，薄板的計算假定可以陳述如下：

1）垂直于中面方向的線應變（ε_z）可以忽略不計。取ε_z=0，則由幾何方程[式（2-38）]中的第三式得，從而得

w=w（x，y）

這就是說，橫向位移w只是x和y的函數，不隨z而變。因此，在中面的任意一根法線上各點都具有相同的橫向位移，也就是撓度。

2）應力分量τ_xz、τ_yz和σ_z遠小于其余3個應力分量，因而是次要的，它們所引起的形變可以忽略不計（注意：這3個次要應力分量本身都是維持平衡所必需的，不能不計）。

這是因為，薄板彎曲問題與梁的彎曲問題相似，由各應力分量的數量級大小可知，彎應力σ_x、σ_y和扭應力τ_xy為主要應力，橫向的切應力τ_xz、τ_yz為次要應力，而擠壓應力σ_z為更次要應力。因此，上述假定中認為τ_xz、τ_yz和σ_z是次要的，它們引起的形變可以忽略不計。

因為不計τ_xz及τ_yz所引起的形變，所以有

γ_zx=0，γ_yz=0

于是由幾何方程[式（2-38）]的第四式和第五式可得

從而有

由于ε_z=0，γ_xz=0，γ_yz=0，可見中面的法線在薄板彎曲時保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。

還應注意，在上述計算假定中雖然采用了ε_z=0，γ_zx=0，γ_yz=0，但在以后考慮平衡條件時，仍然必須計入3個次要的應力分量τ_xz、τ_yz和σ_z。因此，在薄板的小撓度彎曲理論中，放棄了關于ε_z、γ_xz和γ_yz的物理方程，即式（2-38）中的第二、第四和第五方程。

因為不計σ_z所引起的形變，所以薄板的物理方程成為

這就是說，薄板小撓度彎問題中的物理方程和薄板平面應力問題中的物理方程是相同的（以后可見，這兩種問題中的應力分量和形變分量沿板厚度方向的分量是不同的）。

3）薄板中面內的各點都沒有平行于中面的位移，即

（u）_z=0=0，（v）_z=0=0 （3-3）

因為，，，所以由式（3-3）得出中面內的形變分量均為零，即

（ε_x）_z=0=0，（ε_y）_z=0=0，（γ_xy）_z=0=0

這就是說，中面的任意一部分，雖然彎曲成為彈性曲面的一部分，但它在xy面上的投影卻保持不變。

在材料力學里分析直梁的彎曲問題時，也采用了與以上相似的計算假定，只是在這里，薄板的中面代替了直梁的軸線，薄板的彈性曲面代替了直梁的彈性曲線，薄板的雙向彎曲（實際是連彎帶扭）代替了直梁的單向彎曲。