3.3 薄板橫截面上的內(nèi)力

薄板橫截面上的內(nèi)力稱為薄板內(nèi)力，是指薄板橫截面的單位寬度上，由應(yīng)力合成的主矢量和主矩。由于薄板是按照內(nèi)力來(lái)設(shè)計(jì)的，因此要求出內(nèi)力。由于在板的側(cè)面上，通常很難使應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件，但板的側(cè)面是板的次要邊界條件，故可應(yīng)用圣維南原理，用內(nèi)力的邊界條件來(lái)代替應(yīng)力的邊界條件。

圖3-2 薄板所取的平行六面體

為了求出薄板橫截面上的內(nèi)力，從薄板內(nèi)取出一個(gè)平行六面體，它的三邊分別是dx、dy和板的厚度δ，如圖3-2所示。

3.3.1 x為常量橫截面上的內(nèi)力

在x為常量的橫截面上，作用有σ_x、τ_xy和τ_xz。由式（3-5）知σ_x及τ_xy都和z成正比，且在中面上為零，所以它們?cè)诒“迦穸壬系闹魇噶慷嫉扔诹悖鼈冎豢赡芎铣蓮澗睾团ぞ亍?/p>

在該橫截面的單位寬度上，應(yīng)力分量σ_x對(duì)中面合成為彎矩

將式（3-5）中的第一式代入式（3-15），對(duì)z積分，得

與此類似，應(yīng)力分量τ_xy將合成為橫截面內(nèi)的扭矩

將式（3-5）中的第三式代入式（3-16），對(duì)z積分，得

應(yīng)力分量τ_xz只可能合成為橫向剪力，在單位寬度上為

將式（3-6）中的第一式代入式（3-17），對(duì)z積分，得

3.3.2 y為常量橫截面上的內(nèi)力

同理，在y為常量的橫截面上，單位寬度內(nèi)的σ_y、τ_yx和τ_zy也分別合成如下的彎矩、扭矩和橫向剪力。

3.3.3 橫截面上的內(nèi)力

綜上可得，薄板橫截面上的內(nèi)力可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

薄板內(nèi)力正負(fù)方向的規(guī)定是從應(yīng)力正負(fù)方向的規(guī)定得出的：正的應(yīng)力合成的主矢量為正，正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負(fù)。所有薄板內(nèi)力的正方向如圖3-3所示。

圖3-3 薄板所受內(nèi)力的正方向

3.3.4 應(yīng)力分量與內(nèi)力的關(guān)系

利用式（3-18）從式（3-5）和式（3-6）中消去w，并利用式（3-14）從式（3-11）中消去w，可以得出各應(yīng)力分量與彎矩、扭矩、橫向剪力或載荷之間的關(guān)系為

3.3.5 應(yīng)力分量的最大值

沿著薄板的厚度，應(yīng)力分量σ_x、σ_y和τ_xy的最大值發(fā)生在板面，τ_xz及τ_yz的最大值發(fā)生在板的上面，各個(gè)最大值為

正應(yīng)力σ_x及σ_y分別與彎矩M_x和M_y成正比，因而稱為彎應(yīng)力；切應(yīng)力τ_xy與扭矩M_xy成正比，因而成為扭應(yīng)力；切應(yīng)力τ_xz及τ_yz分別與橫向剪力F_Sx及F_Sy成正比，因而稱為橫向切應(yīng)力；正應(yīng)力σ_z與載荷q成正比，稱為擠壓應(yīng)力。

上面已經(jīng)說(shuō)明：在薄板彎曲問(wèn)題中，彎應(yīng)力和扭應(yīng)力在數(shù)值上最大，因而是主要的應(yīng)力；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較小，是次要的應(yīng)力；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上更小，是更次要的應(yīng)力。因此，在計(jì)算薄板的內(nèi)力時(shí)，主要是計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般都無(wú)需計(jì)算。