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書名：車輛懸架彈性力學解析計算理論
作者名：周長城
本章字數： 5669字
更新時間： 2020-06-04 12:37:41

2.3 空間問題的基本理論

在一般空間問題中，包含有15個未知函數，即6個應力分量、6個形變分量和3個位移分量，而且它們都是x、y、z坐標變量的函數。如果空間問題在彈性體區域內部，仍然要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程；并在給定約束或面力的邊界上，建立位移邊界條件或應力邊界條件。然后在邊界條件下求解這些方程，得應力分量、形變分量和位移分量。

2.3.1 空間問題的基本方程與邊界條件

1.平面問題的基本方程

現在，我們考慮靜力學、幾何學和物理學三方面的條件，分別建立三套方程。

（1）平衡微分方程及應力狀態下面，我們首先考慮空間問題的靜力學方面，在彈性體內任一點取出一個微分體，根據平衡條件來導出應力分量和體力分量之間的關系式，也就是空間問題的平衡微分方程，并對物體內一點的應力狀態進行分析。

如圖2-12所示，在物體內任意一點P，取圖示微小平行六面體，它的六面垂直于坐標軸，且棱邊的長度PA=dx，PB=dy，PC=dz。微小平行六面體各面上的應力分量如圖2-12所示。

若以連接六面體前后兩面中心的直線為ab為軸距，列出力矩的平衡方程ΣM_ab=0，可得

圖2-12 微小平行六面體各面上的應力分量

化簡并略去高階微量，得

τ_yz=τ_zy

同理可得

τ_zx=τ_xz，τ_xy=τ_yx

這又一次證明了空間一般情況下切應力的互等關系。

分別以x軸、y軸及z軸為投影軸，列出投影的平衡方程ΣF_x=0、ΣF_y=0及ΣF_z=0，得

將上述三個方程化簡，可得

這就是空間問題的平衡微分方程。

現在繼續研究空間問題的靜力學方面。假定任一點P的六坐標面上的應力分量σ_x、σ_y、σ_z，τ_xy=τ_yx，τ_yz=τ_zy，τ_zx=τ_xz，求經過該點任意斜截面上的應力。為此，如圖2-13所示，在點P附近取一個平面ABC，它平行于上述斜面，并與經過點P而平行坐標面的三個平面行程一個微小的四面體PABC。當四面體PABC與點P無限接近時，平面ABC上的平均應力就成為上述斜截面上的應力。

圖2-13 四面體斜截面上的應力

令平面ABC的外法線為n′，則方向余弦為

cos（n′，x）=l，cos（n′，y）=m，cos（n′，z）=n

設△ABC的面積為dS，則△PBC、△CPA、△APB的面積分別為ldS、mdS和ndS。四面體PABC的體積用dV代表。△ABC上的全應力p在坐標軸上的投影分別為p_x、p_y和p_z。根據四面體的平衡條件，并用px和p_y分別代表斜面AB上的全應力p在x軸及y軸上的投影。設斜面AB的長度為ds，則PB面及PA面的長度分別為lds和mds，則PAB的面積為ldsmds/2。將垂直于圖平面的尺寸取為1，由平衡條件ΣF_x=0，可得ΣF_x=0，即

p_xdS-σ_xldS-τ_yxmdS-τ_zxndS+f_xdV=0

除以dS，整理得

當四面體PABC與P點無限接近時，由于dV是比dS更高一階的微量，所以趨向于零。于是得出式（2-36）中的第一式，其余兩式可分別由平衡方程ΣF_y=0及ΣF_z=0得出

設△ABC上的正應力σ_n，則有

σ_n=lp_x+mp_y+np_z

將式（2-36）代入，并分別用τ_xy、τ_yz和τ_zx替代τ_yx、τ_zy和τ_xz，可得

σ_n=σ_xl²+σ_ym²+σ_zn²+2mnτ_yz+2lnτ_zx+2lmτ_xy （2-37）

設△ABC上的切應力為τ_n，則由于

于是有

由式（2-37）和式（2-38）可知，在物體內的任意一點，如果已知坐標面上的六個應力分量σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy、τ_yz和τ_zx，就可以求得任一截面上的正應力和切應力。

設經過任一點P的某一斜面上的切應力等于零，則該斜面上的正應力稱為在點P的一個主應力，該斜面稱為在點P的一個應力主面，而該斜面的法線方向稱為在點P的一個應力主向。

假設在點P有一個應力主面存在。這樣，由于該面上的切應力等于零，所以該面上的全應力就等于該面上的正應力，也就等于主應力。于是該面上的全應力在坐標軸上的投影成為

p_x=lσ，p_y=mσ，p_z=nσ

將式（2-36）代入上式，可得

此外，還有方向余弦的關系式

l²+m²+n²=1 （2-39b）

如果將式（2-39a）與式（2-39b）聯立求解，就能夠得到σ、l、m和n的一組解答，就得到點P的一個主應力以及與之對應的應力主面和應力主向。下面進行求解分析。

將式（2-39a）化為

這是l、m、n的三個齊次線性方程。因為由式（2-39b）可知l、m和n不能全為零，所以這三個方程的系數的行列式應該等于零，即

將行列式展開，可得σ的三次的特征方程

σ³-I₁σ²+I₂σ-I₃=0

式中，

I₁=σ_x+σ_y+σ_z

I₂=σ_xσ_y+σ_yσ_z+σ_zσ_x-τ²_xy-τ²_yz-τ²_zx

I₃=σ_xσ_yσ_z+2τ_xyτ_yzτ_zx-σ_xτ²_yz-σ_yτ²_zx-σ_zτ²_xy

特征方程有三個實數根，即σ₁、σ₂和σ₃，代表某點的三個主應力。為了求得與主應力σ₁相應的方向余弦l₁、m₁和n₁，可以利用式（2-39c）中的任意兩式，如其中的前兩式。由此可得

l₁（σ_x-σ₁）+m₁τ_yx+n₁τ_zx=0

l₁τ_xy+m₁（σ_y-σ₁）+n₁τ_zy=0

將上列兩式均除以l₁，可得

可以從上兩式中解出比值和，結合式（2-39b），可解得l₁，即

并由已知的比值和，即求得m₁和n₁。同樣，可以求得與主應力σ₂相應的l₂、m2和n₂；以及與主應力σ₃相應的l₃、m₃和n₃。

可以證明：在物體內的任意一點，一定存在三個相互垂直的應力主面和對應的三個主應力σ₁、σ₂、σ₃；三個主應力中最大的一個就是該點的最大正應力，最小的一個就是該點的最小正應力；最大與最小的切應力，在數值上等于最大主應力和最小主應力之差的一半，作用于通過中間主應力并且“平分最大主應力和最小主應力的夾角”的平面上。在物體內的任意一點，三個相互垂直的面上的正應力之和I₁是不變量，且I₁=σ₁+σ₂+σ₃。

需要指出的是，應力和應力主方向取決于結構外力和約束條件，與坐標系無關。

（2）幾何方程現在來考察空間問題的幾何方面。在空間問題中，形變分量和位移分量應當滿足下列6個方程，即空間問題的幾何方程

其中，第一式、第二式和第六式已由式（2-7）給出，其余三式可以用同樣的方法推導出。

附帶說明一下體應變的概念。設有微小的正平行六面體，其棱長為dx、dy和dz。在變形之前，它的體積為dxdydz；在變形之后，它的體積為（dx+ε_xdx）（dy+ε_ydy）（dz+ε_zdz）。因此，它的每單位體積的體積改變，也就是體應變，為

由于位移和變形是微小的假定，可以略去線應變的乘積項，則上式簡化為

θ=ε_x+ε_y+ε_z

將幾何方程（2-40）中的前三式代入上式，得

它表示體應變和位移分量之間的簡單微分關系。

（3）物理方程現在考慮空間問題的物理方面。各向同性體中的形變分量和應力分量之間的關系由式（2-8）給出

這是空間問題物理方程的基本形式，其中形變分量是由應變分量表示的，可用于按應力求解的方法。將式（2-41）中的前三項相加，得

應用式（2-39）并令Θ=σ_x+σ_y+σ_z，則上式可以簡寫為

前面已經說明，θ=ε_x+ε_y+ε_z是體應變。現在又看到，體應變θ和Θ成正比。因此，Θ=σ_x+σ_y+σ_z也就成為體積應力，而θ和Θ之間的比例常數也就稱為體積模量。

為了以后用起來方便，下面來導出物理方程的另一種形式，即將應力分量用形變分量來表示。

由式（2-41）中的第一式，可得

由上式解得σ_x為

將由式（2-42）得來的代入上式，得

對于σ_y和σ_z，也可以導出與此相似的兩個方程。此外，再由式（2-41）求解切應力分量，總共得出如下的6個方程

這是空間問題物理方程的第二種形式，其中應變分量是由形變分量表示的，可用于按位移求解的方法。

2.空間問題的邊界條件

對于空間問題，與平面問題一樣，當物體處于平衡狀態時，除了內部各點的應力狀態應滿足平衡微分方程以外，在邊界上應滿足邊界條件。

（1）位移邊界條件當邊界上已知位移時，應建立物體邊界上點的位移與給定位移相等的條件。如令給定位移的邊界為S_u，則有（在S_u上）

式中，（u）s、（v）s和（w）s表示位移的邊界值，而u、v和w在邊界上是坐標的已知函數。

（2）應力邊界條件當物體的邊界上給定面力時，則物體邊界上的應力應滿足與面力相平衡的平衡條件。即若在S_σ部分邊界上給定了面力分量f_x（s）、f_y（s）和f_z（s），則可以由邊界上任意一點微分體的平衡條件，導出應力與面力之間的關系。為此，在邊界上任意一點P取出一個類似于圖2-13的微分體。這時，斜面ABC就是變截面，在此面上的應力分量p_x、p_y和p_z應代換為面力分量f_x、f_y和f_z。結合式（2-36）得出平面問題的應力邊界條件（在S_σ上）為

式中，f_x（s）、f_y（s）和f_z（s）在邊界上是坐標的已知函數；l、m和n是邊界面外法線的方向余弦。

總結起來，對于空間問題，我們共有15個未知函數：6個應力分量σ_x、σ_y、σ_z、τ_xy（=τ_yx）、τ_yz（=τ_zy）和τ_zx（=τ_xz）；6個形變分量ε_x、ε_y、ε_z、γ_xy、γ_yz和γ_zx；3個位移分量u、v和w。這15個未知函數在彈性體區域內應當滿足15個基本方程：3個平衡微分方程[式（2-35）]；6個幾何方程[式（2-40）]；6個物理方程[式（2-41）或式（2-43）]。此外，在給定約束位移的邊界S_u上，應滿足位移邊界條件式（2-44）；在給定面力的邊界上，還應滿足應力邊界條件式（2-45）。

2.3.2 空間問題求解

在建立了彈性力學空間問題的基本方程和邊界條件之后，像解決平面問題一樣，也采用類似于代數方程中的消元法進行求解。下面分別對位移法和應力法進行介紹。

1.位移法

按位移求解問題，是取位移分量為基本未知函數，并要通過消元法，導出彈性體區域內求解位移的基本微分方程和相應的邊界條件。對空間問題來說，這就要從15個基本方程中消去應力分量和形變分量，得出只包含3個位移分量的微分方程，推導如下。

將幾何方程（2-40）代入物理方程（2-43），得出用位移分量表示的應力分量方程

式中，。

將式（2-46）代入平衡微分方程（2-35），并采用記號，得到

這是用位移分量表示的應力平衡微分方程，也就是按位移求解空間問題時所需用的基本微分方程。

2.應力法

按應力求解問題，是取應力分量為基本未知函數，并要通過消元法，導出彈性體區域內求解應力的基本微分方程和相應的邊界條件。對空間問題來說，這就要從15個基本方程中消去位移分量和形變分量，得出只包含6個應力分量的微分方程。因為平衡微分方程中本來就不包含位移分量和形變分量，所以只需從幾何方程和物理方程中消去這些分量，推導如下。

首先從幾何方程中消去位移分量，為此，將式（2-40）中第二式左邊對z的二階導數與第三式左邊對y的二階導數相加，得

由式（2-40）中的第四式可見，上式右邊括弧內的表達式就是γ_yz，于是由上式及其余兩個相似的方程式得

這是表明變形協調條件的一組方程，也就是一組所謂的相容方程。

將式（2-40）中的后三式分別對x，y和z求導，得

并由此而得

于是由上式和其余兩個相似的方程可得

這又是一組相容方程。

通過與上述相似的微分步驟，可以導出無數多的相容方程，都是形變分量所應當滿足的。但是，可以證明，如果6個形變分量滿足了相容方程[式（2-48）和式（2-49）]，就可以保證位移分量的存在，也就可以用幾何方程（2-40）求得位移分量。

將物理方程（2-41）代入相容方程[式（2-48）和式（2-49）]，得出用應力分量表示的相容方程為

利用平衡微分方程（2-35），可以化簡上式，使得每一式中包含體積應力和一個應力分量。當然，體力分量將在所有各式中出現。這樣就得出米歇爾所推導的相容方程，即米歇爾相容方程

式中，。

在體力分量為零或常量的情況下，式（2-50）可以簡化為貝爾特拉米所推導的相容方程，即貝爾特拉米相容方程

按應力求解空間問題時，須使得6個應力分量在彈性體區域內滿足平衡微分方程（2-35），滿足相容方程[式（2-50）或式（2-51）]，并在邊界上滿足應力邊界條件（2-45）。

由于位移邊界條件難以用應力分量及其導數來表示，因此，位移邊界問題和混合邊界問題一般不能按應力求解而得到精確的函數式解答。

此外，按應力求解多連體問題時，仍然應考慮位移的單值條件。

2.3.3 柱坐標系

在空間問題中，描述問題中的應力、形變及位移時，在某些情況下（如減振器節流閥片變形和應力問題），采用柱坐標系（ρ，φ，z）往往使問題得以簡化。如圖2-14所示，如果彈性體所有的應力分量、形變分量及位移分量都只是ρ和z的函數，而不隨φ改變，則此種問題稱為空間軸對稱問題。軸對稱問題的彈性體的形狀一般為圓柱體或半空間體，如果隨著φ改變，也就相應地稱為空間非軸對稱問題。

下面導出空間軸對稱問題的基本方程。

首先導出軸對稱問題的平衡微分方程。

圖2-14 彈性體在柱坐標系下的受力情況

如圖2-14所示，用相距dρ的兩個圓柱面，互成dφ角的兩個鉛直面及相距dz的兩個水平面，從彈性體中割取一個微小六面體PABC。沿著ρ方向的正應力，稱為徑向正應力，用σρ表示；沿φ方向的正應力稱為環向正應力，用σ_φ表示；沿著z方向的正應力，稱為軸向正應力，仍然用σ_z表示；作用在圓柱面上而沿著z方向的切應力用τ_ρz表示，作用在水平面上而沿著ρ方向的切應力用τ_zρ表示。根據切應力互等定理，τ_ρz=τ_zρ。由于對稱性，τ_ρφ=τ_φρ及τ_zφ=τ_φz都不存在。這樣，總共有4個應力分量：σ_φ、σ_ρ、σ_z和τ_ρz（=τ_zρ），一般都是ρ和z的函數。