2.2 平面問題的基本理論

如果物體有特殊的形狀（三個方向尺寸中的一個尺寸遠大于或遠小于其他兩個方向的尺寸），并受到特殊分布形式的外載荷作用，則物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移只是兩個坐標（x，y）的函數(shù)，這樣的彈性力學問題就稱為平面問題。平面問題可分為平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題。

2.2.1 平面問題的基本方程與邊界條件

1.平面問題的基本方程

在彈性力學中分析平面問題，要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面的條件，分別建立三套方程。

（1）平衡微分方程及應(yīng)力狀態(tài) 考慮平面問題的靜力學方面時，在彈性體內(nèi)任一點取出一個微分體，根據(jù)平衡條件來導出應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的平衡微分方程，并對物體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)進行分析。

從圖2-4的薄板上取出一個微小的長方體，它在z方向的尺寸取為一個單位長度，在x方向和y方向上的長度分別為dx和dy。

設(shè)作用在單元體左側(cè)面上的正應(yīng)力是σ_x=σ_x（x，y），右側(cè)面上坐標x得到增量dx，該面上的正應(yīng)力為

σ_x（x+dx，y）

將上式展開為泰勒級數(shù)為

略去二階及二階以上的微量后便得

圖2-4 單元體受力情況

同理，σ_y、τ_xy、τ_yx一樣處理。

根據(jù)力矩平衡條件，可得τ_xy=τ_yx。下面以y為投影軸，列出投影的力平衡方程

化簡之后，兩邊除以dxdy，得

同理，以x投影軸可列出投影的力平衡方程ΣF_x=0。于是得出平面問題的平衡微分方程為

這兩個微分方程對于兩種平面問題都同樣適用。

現(xiàn)在，我們繼續(xù)研究平面問題的靜力學方面，假定任一點P處坐標面上的應(yīng)力分別為分量σ_x、σ_y和τ_xy=τ_yx，求經(jīng)過該點任意斜截面上的應(yīng)力，如圖2-5a所示。為此在點P附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并與經(jīng)過點P而垂直于x軸和y軸的兩個平面畫出一個微小的三角板或三棱柱PAB。當平面AB與P點無限接近時，平面AB上的平均應(yīng)力就成為上述斜截面上的應(yīng)力，如圖2-5b所示。

用n代表斜面AB的外法線方向，其方向余弦為cos（n，x）=l，cos（n，y）=m；并用p_x和p_y分別代表斜面AB上的全應(yīng)力p在x軸及y軸上的投影。設(shè)斜面AB的長度為ds，則PB面及PA面的長度分別為lds和mds，PAB的面積為ldsmds/2。垂直于圖平面的尺寸取為1。由平衡條件ΣF_x=0，可得

p_xds-σ_xlds-τ_yxmds+f_xldsmds/2=0

式中，f_x為x方向的體力分量。將上式化簡可得

p_x=lσ_x+mτ_yx

同理，由平衡條件ΣF_y=0，可得

即

設(shè)斜面AB上的正應(yīng)力為σ_n，則由p_x和p_y的投影，可得σ_n=lp_x+mp_y，把式（2-2）代入，可得

σ_n=l²σ_x+m²σ_y+2lmτ_xy （2-3）

同理，可得切應(yīng)力為

τ_n=lp_y-mp_x=lm（σ_y-σ_x）+（l²-m²）τ_xy （2-4）

圖2-5 平面受力情況

設(shè)經(jīng)過點P的某一斜面上的切應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為點P的一個主應(yīng)力，而該斜面稱為點P的一個應(yīng)力主面，該斜面的法線方向（即主應(yīng)力的方向）稱為在點P的一個應(yīng)力主向。

在一個應(yīng)力主面上，由于切應(yīng)力等于零，全應(yīng)力就等于該面上的正應(yīng)力，也就等于主應(yīng)力σ，因此，該面上的全應(yīng)力在坐標軸上的投影為

p_x=lσ，p_y=mσ

將其帶入式（2-2），可得

lσ=lσ_x+mτ_yx，mσ=mσ_y+lτ_xy

由上兩式，可得σ²-（σ_x+σ_y）σ+（σ_xσ_y-τ²_xy）=0，從而求得兩個主應(yīng)力為

由式（2-5），可得

σ_x+σ_y=σ₁+σ₂ （2-6）

可以證明，兩個主應(yīng)力方向相互垂直，其中一個為最大正應(yīng)力，另一個為最小正應(yīng)力；最大與最小的切應(yīng)力為±（σ₁-σ₂）/2，且發(fā)生在與主應(yīng)力呈45°的斜面上。

（2）幾何方程 僅靠平面問題的平衡微分方程還不能解決問題，還必須考慮幾何學和物理學方面的條件。下面根據(jù)幾何學，導出微分線段上的形變分量與位移分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的幾何方程。

經(jīng)過彈性體內(nèi)的任意一點P，沿x軸和y軸的正方向取兩個為微小長度的線段PA=dx，PB=dy，如圖2-6所示。假定彈性體受力以后，P、A、B三點分別移動到P′、A′、B′。

首先來求線段PA和PB的線應(yīng)變，即ε_x和ε_y，用位移分量來表示。設(shè)點P在x方向的位移為u，則A點在x方向的位移，由于x坐標的改變，將是

。于是，線段PA的線應(yīng)變?yōu)?/p>

同理，線段PB的線應(yīng)變?yōu)?img alt="978-7-111-37229-5-Chapter02-19.jpg" class="picinline" src="https://epubservercos.yuewen.com/7ABF85/16923812604812506/epubprivate/OEBPS/Images/image131.jpg?sign=1751222944-6IDY55MsVDsjUdev9mXalNz6rtx36ahn-0-c780e0d9f950c4022fd812cb3cb0c8c2">。

圖2-6 彈性體的幾何關(guān)系

現(xiàn)在求出線段PA和PB之間夾角的改變，也就是切應(yīng)變γ_xy，用位移分量表示。由圖2-6可見，這個切應(yīng)變是由兩部分組成的：一部分是由y方向的位移v引起的，即x方向的線段PA的轉(zhuǎn)角α；另一部分是由y方向的位移u引起的，即y方向的線段PB的轉(zhuǎn)角β。

設(shè)點P在y方向的位移為v，則A點在y方向的位移，由于x坐標的改變，將是。于是，線段PA的轉(zhuǎn)角為

同理，線段PB的轉(zhuǎn)角為。

可見，線段PA和PB之間夾角的改變（以減小時為正），也就是切應(yīng)變γ_xy可表示為

因此，平面問題的幾何方程為

與平衡微分方程一樣，上述幾何方程對兩種平面問題都適用。由幾何方程可見，當物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定；然而，當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。

（3）物理方程 現(xiàn)在來考慮平面問題的物理學方面，導出形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式，也就是平面問題的物理方程。

在理想彈性體中，形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系極其簡單，已在材料力學中根據(jù)胡克定律導出為

式中，E為彈性模量；G為剪切模量；μ為泊松比。這三個常數(shù)之間的關(guān)系為

在平面應(yīng)力問題中，σ_z=0，將其及式（2-9）代入式（2-8），可得

這就是平面應(yīng)力問題的物理方程。此外，式（2-8）中的第三式變?yōu)?/p>

由上式可知，ε_z可由σ_x和σ_y得出，因而不作為獨立的未知函數(shù)，并由ε_z可以求出薄板厚度的改變。又由式（2-8）中的第四式及第五式可知，因為在平面問題中有τ_yz=0和τ_zx=0，所以有γ_yz=0和γ_zx=0。

在平面應(yīng)變問題中，因為物體的所有點都不沿z方向移動，所以z方向的線段都沒有伸縮，即ε_z=0。于是，由式（2-8）中的第三式，可得

σ_z=μ（σ_x+σ_y）

同樣，σ_z也不作為獨立的未知函數(shù)。將上式代入式（2-8）中的第一式及第二式，并結(jié)合第三式，得

這就是平面應(yīng)變問題的物理方程。此外，因為在平面應(yīng)變問題中也有τ_yz=0和τ_zx=0，所以也有γ_yz=0和γ_zx=0。

可以看出，兩種平面問題的物理方程是不一樣的。然而，如果在平面應(yīng)力的物理方程[式（2-10）]中，將E換為，μ換為，就得到平面應(yīng)變問題的物理方程[式（2-11）]。

以上導出的三套方程，就是彈性力學平面問題的基本方程：2個平衡微分方程[式（2-1）]，3個幾何方程[式（2-7）]，3個物理方程[式（2-10）或式（2-11）]。這8個基本方程中包含8個未知數(shù)。此外，必須考慮彈性體邊界條件，才有可能求出這些未知函數(shù)。

2.平面問題的邊界條件

當物體處于平衡狀態(tài)時，其內(nèi)部各點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡微分方程，在邊界上應(yīng)滿足邊界條件。按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。

（1）位移邊界條件 當邊界上已知位移時，應(yīng)建立物體邊界上點的位移與給定位移相等的條件。如令給定位移的邊界為S_u，則有（在S_u上）

式中，（u）s和（v）s表示位移的邊界值，而u和v在邊界上是坐標的已知函數(shù)。

（2）應(yīng)力邊界條件 當物體的邊界上給定面力時，則物體邊界上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的平衡條件。例如，在Sσ部分邊界上給定了面力分量f_x（s）和f_y（s），則可以由邊界上任意一點微分體的平衡條件，導出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。為此，在邊界上任意一點P取出一個類似于圖2-5的微分體。這時，斜面AB就是變截面，在此面上的應(yīng)力分量p_x和p_y應(yīng)代換為面力分量f_x和f_y，而坐標面上的σ_x、σ_y和τ_xy則分別稱為應(yīng)力分量的邊界值。由平衡條件得出平面問題的應(yīng)力邊界條件（在Sσ上）為

式中，f_x（s）和f_y（s）在邊界上是坐標的已知函數(shù)；l和m是邊界面外法線的方向余弦。

（3）混合邊界條件 物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如式（2-12）所示；另一部分邊界上則具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件，如式（2-13）所示。即兩部分邊界上分別有應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。此外，在同一部分邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件，即兩個邊界條件中的一個是位移邊界條件，另一個是應(yīng)力邊界條件。

需要指出的是，在求解彈性力學問題時，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量等必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界條件，因此，彈性力學問題屬于數(shù)學物理方程中的邊值問題。但是，要使邊界條件得到完全滿足，往往會遇到很大的困難。這時，我們可以利用圣維南原理局部邊界條件進行簡化。

2.2.2 平面問題求解

在建立了彈性力學平面問題的基本方程和邊界條件之后，通常采用類似于代數(shù)方程中的消元法進行求解。按位移求解的方法稱為位移法，按應(yīng)力求解的方法稱為應(yīng)力法。下面分別對兩種方法進行介紹。

1.位移法

以u、v為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量，此法即位移法。

現(xiàn)在來導出按位移法求解平面問題的方程和邊界條件。為此，取位移分量u、v為基本未知函數(shù)。為了從方程和邊界條件中消去形變分量和應(yīng)力分量，須將它們用位移分量來表示。首先，幾何方程（2-7）就是用位移分量表示形變分量的表達式。其次，對于平面應(yīng)力問題，從物理方程（2-10）求出應(yīng)力分量，使它們用形變分量表示。

再將幾何方程（2-7）代入式（2-14），得

下面導出求解位移分量的方程和邊界條件。將式（2-15）代入平衡微分方程式（2-1），可得

這就是按位移法求解平面應(yīng)力問題時所用的基本微分方程。

另一方面，將式（2-15）代入應(yīng)力邊界條件（2-13），化簡得

這就是用位移表示的應(yīng)力邊界條件。位移邊界條件仍然如式（2-12）所示。

總之，按位移法求解平面應(yīng)力問題時，要使得位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足微分方程（2-16），并在邊界上滿足位移邊界條件（2-12）或應(yīng)力邊界條件式（2-17）。

平面應(yīng)變問題與平面應(yīng)力問題相比，除了物理方程不同以外，其他方程和邊界條件都相同。只要將上述各方程和邊界條件中的E換為，μ換為，就可得到平面應(yīng)變問題按位移法求解的方程和邊界條件。

2.應(yīng)力法

以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移，此法即應(yīng)力法。

現(xiàn)在來導出按應(yīng)力法求解平面問題的方程。由于位移分量只存在幾何方程中，可以先從幾何方程中消去位移分量。考察幾何方程式（2-7），即

將ε_x對y的二階導數(shù)和ε_y對x的二階導數(shù)相加，得

即

該關(guān)系式稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容性方程。

現(xiàn)在，我們利用物理方程將相容性方程中的形變分量消去，使相容性方程中只包含應(yīng)力分量。對于平面應(yīng)力情況，將物理方程（2-10）代入式（2-18），得

利用平衡微分方程，化簡上式，使它只包含正應(yīng)力而不包含切應(yīng)力，得

對于平面應(yīng)變的情況，把_μ換為，可得

總之，按應(yīng)力法求解平面問題時，要使得應(yīng)力分量在區(qū)域內(nèi)滿足微分方程式（2-1）及相容方程[式（2-19）或式（2-20）]，在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件式（2-17），其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。

對應(yīng)力邊界問題，且為單連體問題（只具有一個連續(xù)邊界的物體），滿足上述方程的解是唯一正確解。對多連體（具有多個連續(xù)邊界的物體，也就是具有孔口的物體）問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。

常體力下，兩種平面問題的相容方程都簡化為

用記號Δ²代表，則上式化為

Δ²（σ_x+σ_y）=0

根據(jù)常體力下的平衡微分方程，推理可得

Φ稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)。將平面問題的相容方程用應(yīng)力函數(shù)Φ表示，可得

按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時，如果體力是常量，就只需由微分方程[式（2-22）]求解應(yīng)力函數(shù)Φ，然后用式（2-21）求出應(yīng)力分量，但這些應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)當滿足應(yīng)力邊界條件。

2.2.3 坐標變換

在處理彈性力學問題時，選擇什么形式的坐標系統(tǒng)，雖不會影響對問題本質(zhì)的描繪，但卻直接關(guān)系到解決問題的難易程度。如坐標選得合適，則可使問題大為簡化。對于兩類平面問題，均可根據(jù)所研究的彈性體的形狀選取適當?shù)淖鴺讼颠M行求解。

1.平面問題的直角坐標系解答

由于偏微分方程[式（2-22）]的通解不能寫成有限項的形式，因此一般不能直接求解問題，而只能采用逆解法或半逆解法。

逆解法：先設(shè)定某種形式的、滿足相容方程[式（2-22）]的應(yīng)力函數(shù)Φ，用式（2-21）求出應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件式（2-13）來考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。

半逆解法：針對所要求解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù)Φ，然后來考察，這個應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，以及原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個應(yīng)力函數(shù)求出的其余應(yīng)力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考察。

下面舉例說明逆解法的應(yīng)用。

如圖2-7所示，設(shè)有矩形截面的長梁（l遠大于h），取單位厚度的梁來考察，并令每單位厚度上的力偶矩為M。

取Φ=ay³，不論系數(shù)a取何值，相容方程（2-22）總能滿足。現(xiàn)在來考察，應(yīng)力分量σ_x=6ay，σ_y=0，τ_xy=τ_yx=0能否滿足邊界條件，如果能滿足，系數(shù)a該取何值。

圖2-7 矩形截面的長梁

首先考慮上下兩個主要邊界（占邊界絕大部分）的條件。在下邊和上邊，都沒有面力，即要求

（σ_y）y=±h/2=0，（τyx）y=±h/2=0

這是能滿足的，因為在所有各點都有σ_y=0，τ_yx=0。其次，考慮左右端次要邊界（占邊界很小部分）的條件。在左端和右端均沒有鉛垂力，即分別要求

（τ_xy）_x=0=0，（τ_xy）_x=l=0

這也是能滿足的，因為在所有各點都有τ_xy=0。

此外，由于x=0，l的兩端面是相對較小的邊界，可以應(yīng)用圣維南原理，將關(guān)于σ_x的邊界條件改用主矢量和主矩的條件代替。即在左端和右端，邊界面上σ_x合成的主矢量應(yīng)為零，而σ_x合成的主矩應(yīng)等于面力的力偶矩M，亦即

將σ_x=6ay代入，則上述兩式化為

前一式總能滿足，而后一式則要求，將其代入應(yīng)力分量表達式，可得

由于梁截面的慣性矩，故上式又可以寫為

這就是矩形梁受純彎曲時的應(yīng)力分量，與材料力學中的完全相同。

假定這里是平面應(yīng)力的情況，將應(yīng)力分量（2-23）代入物理方程（2-10），得變形分量為

將式（2-24a）代入幾何方程（2-7），可得

對式（2-24b）中前兩式積分，可得

式中，f₁（y）和f₂（x）分別是y和x的待定函數(shù)。

將式（2-24c）代入式（2-24b）中的第三式，整理得

等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)w。于是有

將上兩式積分，可得

將上式代入式（2-24c），得位移分量為

式中，任意常數(shù)w、u₀及v₀可由約束條件求得。由式（2-24d）可得梁的轉(zhuǎn)角β和梁的各縱向曲面的曲率為

這是材料力學中的基本公式。

如果梁是懸臂梁，左端自由而右端完全固定，如圖2-8所示，在梁的右端（x=l），對于y的任何值（-h/2≤y≤h/2），都要求u=0和v=0。在多項式解答中，這個條件是無法滿足的。在實際工程上，這種完全固定的約束條件也是不大可能實現(xiàn)的。現(xiàn)在，和材料力學中一樣，假定右端截面的中點不移動，則該點的水平線段不轉(zhuǎn)動。這樣，約束條件是

圖2-8 懸臂梁受力情況

把上述約束條件代入式（2-24d），可確定常數(shù)w、u₀及v₀為

將求得的上述常數(shù)代入式（2-24d），可得出該懸臂梁的位移分量

懸臂梁軸的撓度方程為

這與材料力學中的解答相同。

對于平面應(yīng)變情況下的梁，須在以上的形變公式和位移公式中，將E換為，將μ換為。

2.平面問題的極坐標系解答對于圓形、楔形、扇形等物體，采用極坐標求解比用直角坐標要方便得多。

（1）極坐標中平面問題的基本方程

圖2-9 極坐標下的微元體

1）極坐標中的平衡微分方程。如圖2-9所示，考慮平面上的一個微元體PACB，沿ρ方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用σρ表示；沿φ方向的正應(yīng)力稱為環(huán)向正應(yīng)力，用σφ表示；剪應(yīng)力用τ_ρφ及τ_φρ表示；徑向及環(huán)向的體力分量分別用f_ρ及f_φ表示。各量正負號的規(guī)定和直角坐標中一樣。

與直角坐標系中相似，應(yīng)力隨坐標ρ的變化而變化，設(shè)PB面上的徑向應(yīng)力為σ_ρ，則AC面上的應(yīng)力將為，同樣，這兩個面上的切應(yīng)力分別為τρφ和。PA和BC兩個面上的環(huán)向正應(yīng)力分別為σφ及，這兩個面上的切應(yīng)力分別為τφρ及。

注意：兩ρ面不平行，夾角為dφ；兩ρ面面積不等，分別為ρdφ和（ρ+dρ）dφ；ρ從原點出發(fā)為正，φ從x軸向y軸方向轉(zhuǎn)向為正；微分體的體積為ρdφdρ。

將微分體所受各力投影到微分體徑向軸上，列出徑向的平衡方程ΣFρ=0，得

將微分體所受各力投影到微分體切向軸上，列出切向的平衡方程ΣFφ=0，得

對于上述兩個平衡方程式，由于dφ微小，故，用τ_ρφ替代τ_φρ，略去高階量，整理得

這就是極坐標中的平衡微分方程式。上述方程和直角坐標系下的平衡方程有所不同。在直角坐標系中，應(yīng)力分量僅以偏導數(shù)的形式出現(xiàn)；在極坐標系中，則會由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等而發(fā)生變化，而且半徑越小差值越大。

2）極坐標中的幾何方程。在極坐標中規(guī)定：ε_ρ代表徑向正應(yīng)變；ε_φ環(huán)向線應(yīng)變；γ_ρφ代表切應(yīng)變（徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變）；u_ρ代表徑向位移；u_φ代表環(huán)向位移。

如圖2-10所示，通過任意一點P（ρ，φ），分別沿正方向做徑向和環(huán)向的微分線段，PA=d_ρ，PB=ρdφ。現(xiàn)在來分析，微分線段上的形變分量和位移分量之間的幾何關(guān)系。

圖2-10 極坐標下的幾何關(guān)系

①假定只有徑向位移，而無環(huán)向位移，如圖2-10a所示。

由于發(fā)生假定的這個徑向位移，徑向線段PA移到P′A′，環(huán)向線段PB移到P′B′，而P、A、B三點的位移分別為

可見徑向線段PA的線應(yīng)變?yōu)?/p>

環(huán)向線段PB移到P′B′。在圖2-10a中，通過點P′作圓弧線P′C。P′B′與P′C的夾角β是微小的，因此，P′B′≈P′C。由此可知，環(huán)向線段的線應(yīng)變?yōu)?/p>

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為

α=0

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為

可見，切應(yīng)變?yōu)?/p>

②假定只有環(huán)向位移，而無徑向位移，如圖2-10b所示。

由于發(fā)生假定的這個環(huán)向位移，徑向線段PA移到P″A″，環(huán)向線段PB移到P″B″，而P、A、B三點的位移分別為

在圖2-10b中，作P″D∥PA，則PA的轉(zhuǎn)角為α。由于α是微小的，因此，略去高階微量后可得到P″A″≈PA，由此得出徑向線段PA的線應(yīng)變ε_ρ=0。

環(huán)向線段PB的線應(yīng)變?yōu)?/p>

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角（該轉(zhuǎn)角使直角擴大）為

可見，切應(yīng)變?yōu)?/p>

③沿徑向和環(huán)向都有位移。

根據(jù)疊加原理，將①和②兩種情況下相應(yīng)的應(yīng)變進行疊加，可得

這就是極坐標中的幾何方程。

3）極坐標中的物理方程。下面來導出極坐標中平面向題的物理方程。在直角坐標中，物理方程是代數(shù)方程，且其坐標x和y的方向是正交的。在極坐標中，坐標ρ和φ的方向也是正交的，因此，極坐標系中的物理方程與直角坐標系中的物理方程具有同樣的形式，只需將角碼x和y分別改換為ρ和φ。據(jù)此，可得出極坐標系中平面應(yīng)力問題的物理方程為

將式（2-27）中的E換為，μ換為，可得到平面應(yīng)變問題的物理方程為

（2）極坐標中的相容方程與應(yīng)力分量坐標變換 為了簡化公式的推導，可以把直角坐標系中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程直接變換到極坐標系中來。

1）極坐標中的相容方程。為了得到極坐標中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，可利用極坐標和直角坐標的關(guān)系：

x=ρcosφ，y=ρsinφ

由上述變換關(guān)系，可得ρ、φ對x、y的偏導數(shù)

按照符合函數(shù)的求導公式，可得應(yīng)力函數(shù)Φ的一階導數(shù)的變換公式為

重復以上運算，得到應(yīng)力函數(shù)Φ的二階導數(shù)的變換公式為

由圖2-9可知，如果把x軸和y軸分別轉(zhuǎn)到ρ和φ的方向，使得微分體的φ坐標稱為零，則σ_x、σ_y和τ_xy分別成為σ_ρ、σ_φ和τ_ρφ。于是不及體力時，由式（2-29）可得

將式（2-29）中的前兩式相加，可得

于是直角坐標系中的相容方程化為

用極坐標求解平面問題時（體力不計），就只需從相容方程[式（2-31）]求解應(yīng)力函數(shù)Φ（x，y），然后由式（2-30）求出應(yīng)力分量，再考察應(yīng)力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件。

下面對軸對稱情況下的相容方程作進一步說明。

對于軸對稱問題應(yīng)力數(shù)值軸對稱，因此τ_ρφ=τ_φρ=0，應(yīng)力函數(shù)僅是ρ的函數(shù)，即Φ（ρ）。

在這一特殊情況下，式（2-30）可化為

相容方程（2-31）簡化為

軸對稱問題的拉普拉斯算子Δ ²可以寫為

于是，軸對稱問題的相容方程又可寫為

圖2-11 極坐標應(yīng)力分量與直角坐標應(yīng)力分量的關(guān)系

2）應(yīng)力分量坐標變換。在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標中的應(yīng)力分量，就可以利用簡單的關(guān)系式求得直角坐標中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標中的應(yīng)力分量，也可以利用簡單的關(guān)系式求得極坐標中的應(yīng)力分量。因此，需要建立應(yīng)力分量的坐標變化式。

設(shè)已知直角坐標系中的應(yīng)力分量為σ_x、σ_y和τ_xy，試求極坐標中的應(yīng)力分量σ_ρ、σ_φ和τ_ρφ。為此，在彈性體中取出一個包含x面和y面和ρ面且厚度為1的微小三角板A，如圖2-11所示，其ab為x面，ac為y面，各面上的應(yīng)力如圖2-11所示。令bc邊的長度為ds，則ab邊及ac邊的長度分別為dscosφ及dssinφ。

根據(jù)三角板A的平衡條件?Fρ=0，可以寫出平衡方程

σ_ρds-σ_xdscosφcosφ-σ_ydssinφsinφ-τ_xydscosφsinφ-τ_yxdssinφcosφ=0

用τ_xy替代τ_yx，化簡可得

σρ=σ_xcos²φ+σ_ysin²φ+2τ_xysinφcosφ

同樣，可由三角板A的平衡條件ΣFφ=0，得到

τ_ρφ=（σ_y-σ_x）sinφcosφ+τ_xy（cos²φ-sin²φ）

類似地，在彈性體中取出一個包含x面、y面和φ面且厚度為1的微小三角板B，如圖2-11所示。可由三角板B的平衡條件?Fφ=0，得到

σ_φ=σ_xsin²φ+σ_ycos²φ-2τ_xysinφcosφ

并同樣由平衡條件ΣFρ=0，得τ_φρ，且τ_φρ=τ_ρφ。

綜上可知，應(yīng)力分量由直角坐標向極坐標的變換式為

用類似的方法，導出的應(yīng)力分量由極坐標向直角坐標的變換式為