2.1 彈性力學的基本概念和假定

2.1.1 彈性力學中的幾個基本概念

彈性力學中經(jīng)常用到的基本概念包括外力、內(nèi)力、形變和位移。下面對這些概念加以詳細說明。

作用于物體的外力分為體積力和表面力，也分別簡稱為體力和面力。

所謂體力，是分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。物體內(nèi)各點受體力的情況一般是不相同的。為了表明該物體在某一點P所受體力的大小和方向，在這一點取物體的一小部分，它包含著點P，而它的體積為ΔV，如圖2-1a所示。設作用于ΔV的體力為ΔF，則體力的平均集度為ΔF/ΔV。如果把所取的那一小部分物體不斷減小，即ΔV不斷減小，則ΔF和ΔF/ΔV都將不斷地改變大小、方向和作用點。現(xiàn)在，令ΔV無限減小而趨于點P，假定體力為連續(xù)分布，則ΔF/ΔV將趨于一定的極限f，即

圖2-1 體力和面力

這個極限矢量限f就是該物體在點P所受體力的集度。因為ΔV是標量，所以f的方向就是ΔF的方向。矢量f在坐標軸x、y、z上的投影f_x、f_y、f_z，成為該物體在點P的體力分量，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負，其量綱是L^-2MT^-2。

所謂面力，是分布在物體表面上的力。物體在其表面上各點受面力的情況一般也是不同的。為了表明該物體在表面上某一點P所受面力的大小和方向，在這一點取該物體表面的一小部分，它包含點P且面積為ΔS，如圖2-1b所示。設作用于ΔS的面力為ΔF，則面力的平均集度為ΔF/ΔS。與上述相似，令ΔS無限減小而趨于點P，假定面力為連續(xù)分布，則ΔF/ΔS將趨于一定的極限f，即

這個極限矢量f就是該物體在點P所受面力的集度。因為ΔS是標量，所以f的方向就是ΔF的方向。矢量f在坐標軸x、y、z上的投影f_x、f_y、f_z，成為該物體在點P的面力分量，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負，其量綱是L^-1MT^-2。

物體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力，即物體本身不同部分相互作用的力。為了研究物體在其某一點P處的內(nèi)力，假想用經(jīng)過點P的一個截面mn將該物體分為Ⅰ和Ⅱ兩部分，而將Ⅱ部分撇開，如圖2-2所示，撇開的部分Ⅱ將在截面mn上對留下的部分Ⅰ作用一定的內(nèi)力。取這一截面的一小部分，它包含點P且面積為ΔA，設作用于ΔA上的面力為ΔF，則內(nèi)力的平均集度，即平均應力為ΔF/ΔA。令ΔA無限減小而趨于點P，假定內(nèi)力為連續(xù)分布，則ΔF/ΔA將趨于一定的極限p，即

這個極限矢量p就是該物體在截面mn上點P處的應力。因為ΔA是標量，所以p的方向就是ΔF的極限方向。它與物體的形變和材料強度是直接相關的，應力在其作用截面的法線方向及切線方向的分量，也就是正應力σ和切應力τ，如圖2-2所示。應力及其分量的量綱是L^-1MT^-2。

顯然，在物體內(nèi)的同一點P，不同截面上的應力是不同的。為了分析這一點的應力狀態(tài)，即各個截面上應力的大小和方向，在這一點從物體內(nèi)取出一個微小的正六面體，它的棱邊分別平行于三個坐標軸且長度為PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz，如圖2-3所示。

圖2-2 P點處的應力

圖2-3 正平行六面體的應力狀態(tài)

將每一面上的應力分解為一個正應力和切應力，分別與三個坐標軸平行。正應力用σ表示。為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個下標字母。例如，正應力σ_x是作用在垂直于x軸的面上，同時也是沿著x軸的方向作用的。切應力用τ表示，并加上兩個下標字母，前一個字母表示作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個字母表示作用方向沿著哪一個坐標軸。例如，切應力τ_xy是作用在垂直于x軸的面上且沿著y軸方向作用的。

如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正力向，這個截面就稱為一個正面，這個面上的應力就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，則這個截面就稱為一個負面，這個面上的應力就以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。圖2-3上所示的應力全都是正的。根據(jù)力矩平衡方程，可得六個切應力之間的關系：τ_xy=τ_yx，τ_zy=τ_yz，τ_xz=τ_zx。這就是切應力互等定理：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該面交線的切應力是互等的（大小相等，符號相同）。在物體的任意一點，如果已知σ_x、σ_y、σ_z、τ_yz、τ_zx和τ_xy這六個應力分量，就可以求得經(jīng)過該點的任意截面上的正應力和切應力。因此，上述六個應力分量可以完全確定該點的應力狀態(tài)。

所謂形變，就是形狀的改變。物體的形狀總可以用它各部分的長度和角度來表示。因此，物體的形變總可以歸結為長度和角度的改變。

為了分析物體在某一點P的變形狀態(tài)，在這一點沿著坐標軸x、y、z的正方向取三個微線段PA、PB、PC。物體變形之后，這三個線段的長度以及它們之間的夾角一般都將有所改變。各線段的每單位長度的伸縮，稱為線應變，亦稱正應變；各線段之間的夾角的改變，用弧度表示，稱為角應變。線應變用字母ε表示，如ε_x表示x方向的線段PA的線應變。

線應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。切應變用字母γ表示：如γ_xy表示x和y兩方向的線段（PA與PB）之間夾角的改變。切應變以夾角變小時為正，變大時為負，與切應力的正負號規(guī)定相適應。在物體的任意一點，如果已知ε_x、ε_y、ε_z、γ_yz、γzx和γxy這六個應力分量，就可以求得經(jīng)過該點的任意線段的線應變，也可以求得經(jīng)過該點的任意線段之間的角度的改變。因此，上述六個應變，稱為該點的形變分量，可以完全確定該點的形變狀態(tài)。

所謂位移，就是位置移動。物體內(nèi)任意一點的位移，用它在x、y、z三軸上的投影u、v、w來表示，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為該點的位移分量。位移及其分量的量綱是L。

一般而論，彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力分量、應力分量、形變分量和位移分量，都是隨著該點的位置而變的，因而都是位置坐標的函數(shù)。

2.1.2 彈性力學的基本假定

由于工程實際問題的復雜性，導致彈性力學方程未知量的求解困難重重，實際上也不可能求解。因此，必須分清主次因素，按照所研究物體的性質(zhì)以及求解問題的范圍，在建立力學模型時，概括出決定固體材料彈性形變的本質(zhì)因素，提出建立宏觀形變基本規(guī)律的若干基本假定，略去一些影響很小的次要因素，使得在此基礎上建立起來的力學計算模型既符合客觀實際，又便于數(shù)學方法的有效處理，從而使所導出的本構方程的求解成為可能，使研究的問題限制在一個方便可行的范圍之內(nèi)。這對于彈性力學分析是十分必要的。在今后的問題討論中，如果沒有特別的提示，均采用以下的彈性力學基本假定。

（1）連續(xù)性假定 假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應力、形變、位移等，才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。實際上，一切物體都是微粒組成的，嚴格來說都不符合上述假定；但是可以想見，只要微粒的尺寸以及相鄰微粒之間的距離都比物體的尺寸小得很多，那么關于物體連續(xù)性的假定，就不會引起顯著的誤差。

（2）完全彈性假定 假定物體是完全彈性的。所謂彈性，指的是“物體在引起形變的外力被除去以后能恢復原形”這一性質(zhì)。所謂完全彈件，指的是物體能完全恢復原形而沒有任何剩余變形。這樣的物體在任一瞬時的形變就完全取決于它在這一瞬間所受的外力，與過去的受力情況無關。在一般的彈性力學中，完全彈性的這一假定，表明形變和引起形變的應力兩者之間是呈線性關系的，這種線性的完全彈性體中應力和應變之間服從胡克定律，其彈性常數(shù)不應隨應力或形變的大小而改變。

（3）均勻性假定 假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的。這樣，整個物體的所有部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性才不隨坐標位置而變。如果物體是由兩種或兩種以上的材料組成的，只要每一種材料的顆粒遠遠小于物體而且在物體內(nèi)均勻分布，這個物體就可以當做均勻的。

（4）各向同性假定 假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同。這樣，物體的彈性常數(shù)才不隨方向而變。

（5）小變形假定 假定物體發(fā)生小變形，即物體位移和形變是微小的。假定物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且形變和轉角都遠小于1。這樣，在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便地用變形以前的尺寸代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差；并且，在考察物體的形變與位移的關系時，轉角和應變的二次和更高次冪或乘積相對于其本身都可以略去不計。因此，彈性力學里的幾何方程和平衡微分方程都可簡化為線性方程。在上述這些假定下，彈性力學問題都化為線性問題，從而可以利用疊加原理。