第四節(jié) 對(duì)學(xué)生測(cè)量概念“真問(wèn)題”的思索

測(cè)量概念的“真問(wèn)題”，來(lái)源于學(xué)情前測(cè)和教學(xué)實(shí)踐。通過(guò)這兩個(gè)方面的匯總，首先梳理出每節(jié)課中學(xué)生普遍存在的問(wèn)題，其次在對(duì)比分析三節(jié)課例普遍存在問(wèn)題的基礎(chǔ)上，找到這些問(wèn)題在思路或方向上具有的共同的一致性，也就是“測(cè)量概念”專題的“真問(wèn)題”，為教學(xué)研究明確重難點(diǎn)。

一、教學(xué)前測(cè)情況分析

（一）“長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位”教學(xué)前測(cè)

1．前測(cè)目標(biāo)

了解學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度的生活經(jīng)驗(yàn)有多少，了解學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)有多少，了解學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度的測(cè)量工具即尺子有多少了解。

2．前測(cè)內(nèi)容

問(wèn)題一：這支鉛筆有多長(zhǎng)，你能用手比量一下嗎？

問(wèn)題二：這兩支鉛筆哪支長(zhǎng)？

問(wèn)題三：尺子有什么作用？怎樣測(cè)量？

3．前測(cè)結(jié)果

（1）100%的學(xué)生能用手比量出鉛筆的長(zhǎng)度，說(shuō)明學(xué)生對(duì)長(zhǎng)度的理解比較充分。

（2）兩支鉛筆放在一起，100%的學(xué)生知道一端對(duì)齊，再比較另一端。兩支沒有放在一起的鉛筆，75%的學(xué)生知道要借助參照物來(lái)比較長(zhǎng)短。這說(shuō)明長(zhǎng)度的守恒性和測(cè)量的傳遞性已經(jīng)具備，學(xué)生的思維水平達(dá)到了測(cè)量學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)。

（3）82%的學(xué)生知道尺子可以用來(lái)測(cè)量，但用尺子測(cè)量的方法無(wú)人知曉。有45%的學(xué)生聽說(shuō)過(guò)米，但不確定1米有多長(zhǎng)。

4．前測(cè)學(xué)情分析

學(xué)情分析指的是學(xué)生在學(xué)習(xí)方面有何特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法怎樣、習(xí)慣怎樣、興趣如何、成績(jī)?nèi)绾蔚取?/p>

學(xué)生具備了學(xué)習(xí)測(cè)量的思維水平，對(duì)長(zhǎng)度的理解有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，知道借助參照物來(lái)比較物體的長(zhǎng)短，這些都為學(xué)習(xí)長(zhǎng)度概念提供了生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)。對(duì)于長(zhǎng)度單位、測(cè)量工具和測(cè)量方法，認(rèn)知較少，這將是長(zhǎng)度概念學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

（二）“面積和面積單位”教學(xué)前測(cè)

1．前測(cè)目標(biāo)

了解學(xué)生能否找出物體的面及能否正確比較面的大小?？疾閷W(xué)生能否正確區(qū)分出面和周長(zhǎng)。

2．前測(cè)內(nèi)容

問(wèn)題一：你能從哪些物體上找到面？

問(wèn)題二：任選幾個(gè)面，比較一下這幾個(gè)面的大小。

問(wèn)題三：分別指出幾個(gè)平面圖形的面和周長(zhǎng)。

3．前測(cè)結(jié)果

（1）100%的學(xué)生能找到物體的面。

（2）100%的學(xué)生會(huì)用直接比較法比較面的大小，80%的學(xué)生能想辦法（剪-拼）比較出面積相差不大的面的大小。

（3）93%的學(xué)生能比較準(zhǔn)確地指出平面圖形的面及周長(zhǎng)。

4．前測(cè)學(xué)情分析

學(xué)生對(duì)面積已有初步的感知，課堂上要針對(duì)教學(xué)中的重點(diǎn)（面積概念及面積單位表象的建立）與難點(diǎn)（周長(zhǎng)與面積的比較），設(shè)計(jì)有層次性的活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)、感悟。

（三）“體積和體積單位”教學(xué)前測(cè)

1．前測(cè)目標(biāo)

了解學(xué)生對(duì)體積和體積單位的認(rèn)知程度，以及能否掌握長(zhǎng)度、面積與體積三者中的區(qū)別與聯(lián)系。

2．前測(cè)內(nèi)容

問(wèn)題一：回憶烏鴉喝水的故事，說(shuō)說(shuō)烏鴉是怎么喝到水的？你知道其中的道理嗎？

問(wèn)題二：你能舉例說(shuō)說(shuō)什么是體積嗎？

問(wèn)題三：比較物體長(zhǎng)度大小的單位有哪些？比較物體面積大小的單位有哪些？猜想：比較物體體積大小的單位可能有哪些？對(duì)于它們的大小你能用手比畫一下嗎？

3．前測(cè)結(jié)果

（1）對(duì)于體積概念的理解，85%的學(xué)生能夠結(jié)合身邊的物體談對(duì)體積的理解，但幾乎所有的同學(xué)對(duì)物體的理解僅局限在身邊的事物上，例如桌子、杯子等，而“空間”這個(gè)概念能用實(shí)物進(jìn)行說(shuō)明的只有1/3的同學(xué)。

（2）對(duì)于體積單位的建立，接近80%的同學(xué)能夠順利回顧舊知，在舊知的類比遷移中大膽猜測(cè)出體積單位。對(duì)于體積單位的大小，學(xué)生頭腦中沒有形成表象，用手比畫起來(lái)的結(jié)果是五花八門。

（3）學(xué)生能夠感覺體積是整個(gè)物體的大小，但比畫的卻是物體的所有面的大小。

4．前測(cè)學(xué)情分析

體積對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一個(gè)新的概念，學(xué)生對(duì)體積的認(rèn)識(shí)缺乏空間感，體積和表面積易混淆。由認(rèn)識(shí)平面圖形到認(rèn)識(shí)立體圖形，是空間觀念的一次發(fā)展，學(xué)生對(duì)什么是物體的體積，怎樣測(cè)量物體的體積，體積單位之間為什么是千進(jìn)率，都不易理解。

二、教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生錯(cuò)例分析

1．學(xué)生在測(cè)量什么

“長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位”一課中，教師讓學(xué)生在尺子上找到1厘米，有的學(xué)生指著數(shù)字“1”說(shuō)，這是1厘米。

“面積和面積單位”一課中，認(rèn)識(shí)完1平方厘米后，教師出示一張大正方形的紙片，讓學(xué)生估計(jì)一下它的面積大約是多少平方厘米。在學(xué)生用1平方厘米的小正方形驗(yàn)證時(shí)，出現(xiàn)了“只沿一個(gè)邊長(zhǎng)數(shù)小正方形的個(gè)數(shù)，而不是數(shù)面上的小正方形的個(gè)數(shù)”的情況。

“體積和體積單位”一課中，學(xué)生在數(shù)一個(gè)長(zhǎng)方體是由多少個(gè)小正方體拼成時(shí)，出現(xiàn)了數(shù)“表面”的情況。

從上面的描述中不難看出，學(xué)生并不理解“1厘米”是長(zhǎng)度；不理解面積測(cè)量的是面的大小，應(yīng)該用面和面去疊合；對(duì)體的感知不到位，將面和體混淆，分辨不清。

2．學(xué)生在找什么

在“長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位”一課中，認(rèn)識(shí)了1厘米之后，教師讓學(xué)生找一找，生活中哪些物體的長(zhǎng)度大約是1厘米，學(xué)生分別找到了雞蛋餅、小螞蟻、小扣子、手指頭等物體。

在“面積和面積單位”一課中，認(rèn)識(shí)了1平方厘米之后，教師讓學(xué)生找一找，生活中哪些物體的面積大約是1平方厘米，學(xué)生分別找到了手指頭、計(jì)算機(jī)開關(guān)按鈕、鍵盤小鍵等物體。

在“體積和體積單位”一課中，認(rèn)識(shí)了1立方厘米之后，教師讓學(xué)生找一找，生活中哪些物體的體積大約是1立方厘米，學(xué)生分別找到了花生米、骰子、玻璃球、小糖塊、手指頭等物體。

三節(jié)課中，認(rèn)識(shí)測(cè)量單位后，教師都會(huì)讓學(xué)生“舉例子”。從上面的描述中可以看出，學(xué)生舉的例子要么與實(shí)際相差較大，例如小螞蟻的身長(zhǎng)比1厘米短很多；要么不會(huì)用語(yǔ)言準(zhǔn)確地來(lái)描述，例如出現(xiàn)頻率較高的手指頭，不能正確表述為手指頭的寬度大約是1厘米，手指甲的面積大約是1平方厘米，手指頭的體積大約是1立方厘米。

審視課堂，探究原因。建立單位表象是形成空間觀念的基礎(chǔ)，也是這三節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)之一。三節(jié)課都在這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了豐富的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度、多感官的體驗(yàn)?！芭e例子”是學(xué)生是否建立測(cè)量單位表象的重要表現(xiàn)，也是是否形成概念的重要表現(xiàn)。學(xué)生在舉例過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤表明，不論是測(cè)量概念的形成，還是測(cè)量單位表象的建立，都是教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

3．學(xué)生在計(jì)算什么

學(xué)生在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算后，對(duì)于周長(zhǎng)計(jì)算掌握較好。但在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算后，周長(zhǎng)和面積的計(jì)算就非常容易混淆。在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體后，棱長(zhǎng)和、表面積、體積的計(jì)算也容易混淆。

細(xì)探原因，除了因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形一個(gè)圖形中，同時(shí)承載著圖形的邊線和圖形的面，在長(zhǎng)方體一個(gè)圖形中，同時(shí)承載著圖形的邊線和圖形的面、體之外，還有一部分的原因，在于對(duì)長(zhǎng)度、面積、體積概念意義的理解不夠深刻和到位。

三、學(xué)生“真問(wèn)題”分析

通過(guò)教學(xué)前測(cè)和以往教學(xué)實(shí)踐中的錯(cuò)例分析，我們可以看到，學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)都集中指向了測(cè)量概念的形成和測(cè)量單位表象的建立上。根據(jù)學(xué)情，我們梳理出了“長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位”“面積和面積單位”“體積和體積單位”這一串課的真問(wèn)題。

問(wèn)題一：學(xué)生在測(cè)量概念形成過(guò)程中，存在著對(duì)概念內(nèi)涵認(rèn)識(shí)不清的困難，主要表現(xiàn)在不能用語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述概念，不能在物體上準(zhǔn)確地抽象出長(zhǎng)、面和體的概念，長(zhǎng)、面和體的概念容易混淆等。

問(wèn)題二：學(xué)生在測(cè)量單位表象建立過(guò)程中，存在著空間表象水平不易培養(yǎng)的困難，主要表現(xiàn)在認(rèn)識(shí)度量單位后，教師都會(huì)讓學(xué)生“舉例子”找出生活中的實(shí)物，學(xué)生往往找不到相應(yīng)的實(shí)物例子，不能用語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述；不會(huì)選擇合適的動(dòng)作表示測(cè)量單位；不能準(zhǔn)確地選擇測(cè)量單位測(cè)量，或者找不到測(cè)量對(duì)象，不會(huì)正確地測(cè)量等。

面對(duì)這些問(wèn)題，我們陷入思考：什么原因造成學(xué)生對(duì)測(cè)量概念的學(xué)習(xí)存在困惑？如何促進(jìn)學(xué)生對(duì)測(cè)量概念的“真理解”？帶著這樣的問(wèn)題和思考，我們重新審視自己的課堂，探究問(wèn)題的根源，尋求解決的辦法。

（一）充分經(jīng)歷概念形成過(guò)程

無(wú)論是我們對(duì)長(zhǎng)度的認(rèn)識(shí)一掠而過(guò)，對(duì)面積的認(rèn)識(shí)淺嘗輒止，還是用三五個(gè)活動(dòng)增加學(xué)生對(duì)體積的體驗(yàn)，學(xué)生感知得并不到位。究其原因，是因?yàn)槿魏我粋€(gè)物體都可以測(cè)量其長(zhǎng)度、面積、體積三方面的屬性，只不過(guò)測(cè)量“長(zhǎng)”時(shí)只關(guān)注“長(zhǎng)度”，依此類推，沒有關(guān)注并不等于那個(gè)屬性不是客觀存在的，其客觀存在仍然影響著所學(xué)習(xí)的屬性的測(cè)量。因此，當(dāng)學(xué)習(xí)面積時(shí)會(huì)受到長(zhǎng)度尤其是周長(zhǎng)的干擾，因?yàn)檫@兩個(gè)量是測(cè)量同一個(gè)物體的不同的屬性，而當(dāng)學(xué)習(xí)體積時(shí)，問(wèn)題更加復(fù)雜，因?yàn)殚L(zhǎng)度、面積這兩個(gè)量都在起干擾、混淆的作用。

由此可見，這一串課，首先要明確的是測(cè)量對(duì)象的屬性，要感知的是“線”“面”和“體”。在充分感知的過(guò)程中來(lái)理解，長(zhǎng)度測(cè)量的是“線”，面積指的是“面”的大小，而體積則是“體”的大小。

在教學(xué)中，首先要提供大量材料，讓學(xué)生充分感知，作為理解概念意義的內(nèi)涵支撐。其次，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)大量材料進(jìn)行特征分析，從中提煉和抽取出共性的特征，在辨析比較中發(fā)現(xiàn)共同的本質(zhì)屬性。最后，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)反映大量材料的本質(zhì)屬性進(jìn)行定義或命名。

例如，在“長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位”一課中，設(shè)計(jì)指一指、說(shuō)一說(shuō)、畫一畫等活動(dòng)，不僅僅增加了對(duì)長(zhǎng)度的認(rèn)識(shí)，對(duì)于后面找長(zhǎng)度大約是1厘米的物體，測(cè)量物體的長(zhǎng)度等，都是必不可少的經(jīng)驗(yàn)積累。

“面積和面積單位”一課，在用觀察法比較不出長(zhǎng)方形和正方形紙片大小的環(huán)節(jié)，給學(xué)生提供多種材料，比如小線繩、小圓片紙片、小正方形紙片、小三角形紙片等，讓學(xué)生自主選擇。操作后，進(jìn)行匯報(bào)交流研討，“線”怎么量，“面”怎么量，進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)，測(cè)量長(zhǎng)度是“邊”的疊合，而測(cè)量面積是“面”的疊合。

“體積和體積單位”一課，雖然學(xué)生對(duì)空間、體積概念的理解比較到位，但對(duì)“體”的感知還有欠缺，僅僅邊比畫邊描述還不夠，因?yàn)轶w積是三維的，不能像長(zhǎng)度那樣指一指，不能像面積那樣摸一摸。那么在比較體積時(shí)，不好比較，就得轉(zhuǎn)化。課堂上學(xué)生想到了裝水、沙子，再倒入同樣的量杯里進(jìn)行比較，其實(shí)學(xué)生就是在轉(zhuǎn)化，教師緊接著引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、提煉，這樣學(xué)生就會(huì)感知到比較的是高度，學(xué)生對(duì)三維的體積又有了進(jìn)一步的理解。

這樣一來(lái)，這一串課，讓學(xué)生先充分感知測(cè)量對(duì)象的屬性，感知到測(cè)量長(zhǎng)度是“線”的拼接，測(cè)量面積是“面”的密鋪，測(cè)量體積是“體”的堆積。在接下來(lái)的測(cè)量過(guò)程中，學(xué)生就很清楚自己疊合的是什么，測(cè)量的是什么。

（二）創(chuàng)設(shè)豐富的活動(dòng)建立度量單位表象

1．創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，多描述

學(xué)生在尋找大約1個(gè)度量單位的物體時(shí)，常常會(huì)從身體上找對(duì)應(yīng)的“尺子”。老師在教學(xué)時(shí)也喜歡引導(dǎo)學(xué)生尋找身體上的“小尺子”。但是學(xué)生在表達(dá)時(shí)，描述往往不完整。這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用準(zhǔn)確的語(yǔ)言來(lái)描述。例如，一個(gè)田字格的邊長(zhǎng)大約是1厘米，一個(gè)手指甲的面積大約是1平方厘米，一個(gè)手指頭的體積大約是1立方厘米。語(yǔ)言是思維的外殼，在用語(yǔ)言描述的過(guò)程中，豐富的是對(duì)概念的感知。

2．創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，多操作

瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰說(shuō)過(guò)：“智慧自動(dòng)作發(fā)端?！眱和恼J(rèn)識(shí)規(guī)律正是“從直觀的動(dòng)作思維到具體的形象思維，最后達(dá)到抽象的邏輯思維”的?？梢哉f(shuō)，動(dòng)作及有關(guān)的表象是他們認(rèn)識(shí)客觀事物和規(guī)律的基礎(chǔ)和起點(diǎn)。

在認(rèn)識(shí)測(cè)量單位意義的教學(xué)中，可以創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，讓學(xué)生比量測(cè)量單位的大小，如用兩根手指就可以比較1厘米的長(zhǎng)度，用兩只手比量1平方分米的大小，4人合作比量1立方米的大小等。在動(dòng)手操作的同時(shí)，視覺與觸覺、運(yùn)動(dòng)覺協(xié)同感知事物的同時(shí)，思維活動(dòng)也同步進(jìn)行。在操作中獲得的表象，又及時(shí)推動(dòng)著他們進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象、概括，進(jìn)一步理解測(cè)量單位的本質(zhì)意義。

測(cè)量的過(guò)程是一個(gè)豐富的實(shí)踐活動(dòng)。所以，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的測(cè)量單位和測(cè)量工具的測(cè)量活動(dòng)。在測(cè)量活動(dòng)中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)測(cè)量的實(shí)際意義，體會(huì)測(cè)量單位的重要性，也進(jìn)一步促進(jìn)對(duì)測(cè)量概念意義的理解。

3．創(chuàng)設(shè)活動(dòng)，多溝通比較

縱觀這三節(jié)課，從結(jié)構(gòu)上來(lái)看是相同的。首先都要認(rèn)識(shí)測(cè)量對(duì)象，其次是對(duì)測(cè)量對(duì)象的測(cè)量。測(cè)量又細(xì)分為三個(gè)環(huán)節(jié)，一是認(rèn)識(shí)測(cè)量單位，二是估計(jì)測(cè)量對(duì)象，三是求大小。相同的結(jié)構(gòu)，決定了這“一串課”的教學(xué)活動(dòng)往往類似，如果教學(xué)時(shí)不關(guān)注怎樣溝通和揭示這些概念之間的區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生就很不容易建立起從一維到三維的空間觀念。這種溝通和比較，可以從以下幾個(gè)方面來(lái)加以體現(xiàn)：

一是概念內(nèi)涵表述上的溝通與比較。即長(zhǎng)度用“長(zhǎng)短”表示，面積用“大小”表示，體積用“占有空間的大小”表示。

二是測(cè)量方法上的溝通與比較。例如，在運(yùn)用重疊法進(jìn)行直接比較時(shí)，不妨通過(guò)重疊過(guò)程中要點(diǎn)的強(qiáng)調(diào)，來(lái)凸顯一維的重疊與二維的重疊以及三維的重疊的差異。

三是測(cè)量工具和單位上的溝通與比較。對(duì)于學(xué)生而言，測(cè)量長(zhǎng)度的常用工具是以1厘米為單位的尺，測(cè)量面積的常用工具是以1平方厘米為單位的正方形格子紙，測(cè)量體積的常用工具是以1立方厘米為單位的正方體。

總之，通過(guò)這些有意識(shí)的溝通與比較，不僅可以使學(xué)生形成清晰的概念認(rèn)識(shí)，而且還可以使學(xué)生建立起從一維的線至二維的面再到三維的體的整體認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知和思維方式。