1.4 粒計算的基本問題

Yao認為，粒的大小、粒上的操作、粒之間的關系是粒計算理論發展中最重要的部分。對研究對象進行適當分割，在問題求解中使用粒子，是粒計算的基本思想。粒計算是一個很寬泛的概念，它“覆蓋了所有有關粒度的理論、方法、技術和工具的研究。粗略地講，一方面，它是模糊信息粒理論、粗糙集理論、商空間理論、區間計算等的超集，另一方面，它又是粒度數學的子集。具體地講，凡是在分析問題中應用了分組、分類和聚類手段的一切理論與方法均屬于粒計算的研究范疇。”綜上所述，粒計算是研究信息如何分類的，被分成的塊是兩兩分離的劃分，還是兩兩可能有交的模糊分割，它還研究分成的粒度大小、不同粒度層之間的關系、粒度分解和合并等。簡言之，它是對于基于不同粒度層次和粒度細節的一般問題求解理論的研究。

毫無疑問，要建立一個形式化模型，首先應該確定要研究的對象及對象之間的相互關系。下面，詳細討論構成粒計算模型的3種基本元素：粒、按照相同準則所得到的粒構成的粒層（粒世界）和所有粒層構成的層次結構，以及2個方面的問題：粒化和以粒作為運算對象的運算、推理。對于每個問題都可以從語義和算法這2個方面來進行研究。

1.4.1 粒的構造和使用粒的計算

粒計算主要有2個方面的問題：粒的構造和使用粒的計算。前者處理粒的形成、表示和解釋，后者處理在問題求解中的粒的運算。同時，粒計算可以從語義和算法的層面展開，其中每個方面對粒計算來說都同等重要。

①粒的構造：構造粒的標準、準則，構造粒的方法，粒的表示及描述。

②利用粒為對象的運算和推理：粒層映射，粒的轉換，粒上的操作，性質保持性。

1.4.2 粒

粒是構成一個粒計算模型最基本的元素，或者說是粒計算模型的原語。粒是一簇點（對象、物體），這些點由于難以區別，或相似、或接近、或因為某種功能而結合在一起。我們可以把粒理解為由若干小的“顆粒”遵循某個規則結合在一起而構成一個大的“顆粒”，該規則稱為粒化準則，按照粒化準則形成粒的過程稱為粒化。一般來說，按照一個粒化準則可以得到一簇粒。

粒是無處不在的。可以說，人類生活在一個對現實世界進行粒化后的世界中。例如，時間的粒化伴隨著人類生活，大到一個國家的長遠戰略規劃，小到每個人的日常生活安排，幾乎都是粒化的例證。再如，圖像處理及地理信息都涉及空間粒化，圖像的下層處理涉及分割、邊緣檢測、降噪等，而上層處理涉及圖像的描述、解釋。不同階段粒化的程度不同，或者說對圖像抽象的程度不同。

一個粒的物理含義與具體的問題以及所采用的粒化準則有關。例如，在商空間理論、粗糙集理論、聚類分析中，粒化準則通常是等價關系，而相應的等價類就是粒，它是原來論域的一個子集。

綜上所述，粒是按照某個粒化準則對原來世界進行抽象所得到的結果，是粒計算模型中最基本的元素。

1.4.3 粒化

構造信息粒的過程稱作信息粒化。信息粒化在本質上是分層次的。例如，在對一群人進行分析時，可以從性別、年齡、籍貫等角度進行考慮，即從不同粒度上來觀察分析。

粒化是一個構造性的過程，可以簡單地理解為在給定的粒化準則下得到一個粒層，在給定的多個粒化準則下得到多個粒層，進而得到所有粒層構成的結構。通常的方法可以是自頂而下地通過分解粗粒度的粒得到更細的粒，或自底而上地通過合成細粒度的粒得到更粗粒度的粒。粒化是執行粒計算的前提。

粒化準則考慮的是語義方面的問題，是回答為什么2個對象會被放進同一粒內的問題。關于粒化準則的一般要求有：粒化的結果使人們對問題的本質方面有更深入的理解，同時，拋棄那些無關緊要的細節，從而可以達到降低問題求解復雜度的目的。

粒化方法回答如何進行粒化的問題。在給定粒化準則的前提下，采用何種方法來實現粒層的構造，是算法方面的問題。例如，在劃分模型下，粒化方法就是如何高效地實現劃分的問題。

1.4.4 粒層

Yao從整個粒計算的結構角度出發，提出粒計算中的3個層次結構如下。

①每個粒內部的結構。

②處于同一粒層的不同粒之間的結構。

③所有粒層形成的結構。按照某個粒化準則所得到的粒的全體構成一個粒層，又被稱為一個粒世界，是對現實世界的一種抽象化描述。下面，主要集中在集合論上討論粒層的內部結構和粒層上的運算，因此可以借助一些數學術語。事實上，絕大部分實際應用問題都可以抽象到集合論這種模型下。

（1）粒層的內部結構

粒層的內部結構是指該層上的各個粒所組成的論域的結構，即粒與粒之間的關系。作為原來論域的子集來說，粒與粒之間可以是兩兩不相交的，如商空間理論、經典粗糙集理論；也可以是有交叉的，如基于模糊數學的詞計算、某些廣義粗糙集模型。粒層的內部結構可以把原來論域上的結構“繼承”過來。

（2）粒層上的運算

這里提及2類：一類是代數運算，另一類是函數運算。某個論域上的一個代數運算可以簡單地描述為參與若干個運算的對象以及運算的結果，其都是該論域上的元素，可以等價地用多元關系描述，實際上可以看作該論域上的一種結構。

人類在認識事物和解決問題時，總是習慣于從不同的角度和不同的方面去觀察和分析，這是人類認識事物的一種基本方法。粒計算思想延續了人類這種智慧的結晶，使粒化后的不同粒之間形成了一種層次關系，不同層次的粒通過一定的自身內在關系（規則等）來形成聯系；一般來說，上一層的粒比下一層的粒粗糙，下一層的粒比上一層的粒更細（具體）；不同層次的粒形成了一種分層的框架結構，正如人類思維中現實世界的概念也是層次結構的一樣，并且這種層次結構可以形成一種偏序結構等。

1.4.5 所有粒層構成的結構

一個粒化準則對應一個粒層，不同的粒化準則對應多個粒層，這實際反映了人們可以從不同的角度、不同的側面來觀察和理解世界。那么，所有的粒層在一起應該用一定的結構表示。我們可以用層次結構或塔狀結構來對其進行描述。雖然所用的術語不同，但它們都傳遞了一個基本的信息：應該考慮所有粒層構成的結構。如果把每個粒層看成一個元素，那么所有的粒層構成一個論域。

（1）粒層之間的關系

粒層與粒層之間可以按照集合的包含關系自然構成一個偏序集，甚至是完備格。例如，所有等價關系的全體構成完備格，其對應劃分的全體構成的完備格被稱為劃分格，商空間理論和經典的粗糙集理論都是在這個格上進行討論的，不過前者重在尋求一個合適的粒層上進行問題求解而后者強調在某個粒層上完成未知知識的表示。

（2）粒層之間的通信

一個粒層就是一個智能Agent，它們之間應該有通信的功能，而遍歷所有粒層的基本問題是編碼和解碼問題。編碼是將輸入該層的信息變換成該層所能識別的碼字，而解碼則是將該層的粒變換成目標層所能識別的格式。2個粒層之間的編碼和解碼應該滿足的理想條件是兩者的合成是恒同映射，但實際上往往不能滿足，因此取某種最優解。

（3）構造新的粒層

若給定一個粒世界，人們可以對它進行細分以得到抽象程度最低的粒層。例如，基于模糊等價關系的商空間理論，通過由小到大選取一組水平值，就可以得到一個分層遞階結構。若給定2個或若干個粒層，實際是得到對現實世界的不同層面的理解。為了得到對現實世界更為綜合、客觀的理解，需要進行粒世界的合成來解決這一問題。

1.4.6 以粒為運算對象的運算和推理

以粒為運算對象的運算和推理，也就是前面所說的狹義上的粒計算。粒計算一般涉及粒、粒層和所有粒層構成的層次結構，也可以從語義和算法這2個方面來研究。

（1）不同粒層之間的映射

由粒化得到的不同粒層之間的聯系可以由映射來表示。在不同粒層上，同一問題以不同的粒度、不同的細節表示，粒層之間的映射就建立了同一問題不同細節描述之間的關系。例如，在商空間理論中，分層遞階結構實際是一條商空間鏈，自然投影具有連接各個層的作用，且任何3個層次之間的自然投影滿足合成律，這樣就實現了對同一問題在不同細節上的描述。事實上，商空間理論中所討論的投影問題、合成問題以及推理問題都與自然投影有關，其中的核心概念是它的連續性。

（2）不同粒層之間的轉換

在不同粒層上觀察、分析、求解問題并實現在不同粒度間的自由轉換，是粒計算的根本任務。考慮粗糙集模型，若等價關系由信息的屬性子集決定，則對屬性子集增加或減少若干屬性，一般來說，可以實現在不同粒度之間的轉換。在商空間理論中，從2個（或若干個）商空間出發進行合成，得到上界商空間和下界商空間，也可以完成不同粒度之間的轉換。

（3）性質保持性

粒化允許同一問題在不同的細節上表示，一個自然的要求就是該問題的某些關鍵性質必須能夠在不同粒度上體現出來，這是衡量粒化準則好壞的一個標準。商空間理論關于連通性、序的討論都體現了這一點，其關鍵是自然投影（同時可以看作粒化方法、集值映射）的連續性。特別是由連通性所得到的保假原理，可以大大地縮小問題求解的搜索空間，在推理模型中尤為重要。