1.3　二叉樹模型

二叉樹模型的產生時間晚于B-S模型，然而它具備簡單直觀、形式優美、不需要太多數學知識即可掌握的優點，因此各類期權理論讀本通常都選擇它作為第一個進行介紹的期權定價模型，以幫助讀者由淺入深地學習期權定價。同時，二叉樹模型及基于其進行擴展的三叉樹模型是最基本的期權定價方法之一，適用于歐式期權、美式期權，甚至許多奇異期權的定價，在業界的應用非常廣泛。

1.3.1　單步二叉樹模型

本小節對單步二叉樹模型進行最基本的推導，然而讀者大可以直接跳到下一小節，了解二叉樹模型的基本公式即可。

讓我們從最簡單的假設出發。假設有一只股票，當前價格為10元，一年后股價的變化情況只有兩種可能：如果經濟形勢良好，那么股價將上漲到12元；如果經濟衰退，則將下跌到8元。市場無風險利率為5%。現在，假設有一個行權價為11元、合約單位為1、一年后到期的歐式認購期權，我們如何計算得到這個期權的價格呢（見圖1.6）？

有一個非常巧妙的想法可以解決這個問題。期權價格與股票價格是密切關聯的，我們應當可以構造出一個股票和期權的組合，使得一年以后，股價與期權價格的變化相互抵消，組合的價值沒有不確定性。由于我們假設市場是有效的，不存在套利機會，這樣一個到期價值確定的組合完全沒有額外風險，因此其收益率應當等于無風險利率。

現在讓我們來求解期權價格。假設我們的組合由x份股票多頭和1份期權空頭構成。那么一年后只有兩種情況：股價上漲，則持有股票價值為12x，持有期權價值為1元，組合價值為12x-1；股價下跌，則持有股票價值為8x，持有期權價值為0，組合價值為8x。兩種情況下組合價值相等，則：

12x-1=8x

可以計算得到x=0.25，即該組合由0.25份股票多頭和1份期權空頭構成。到期時，無論股價如何，該組合的價值均為：

12×0. 25-1=8×0.25=2元

我們只需要使用無風險利率將組合的價值貼現，就可以得到組合現在的價值：

2×e-0. 05=1.902元

假設認購期權現在的價值為c，我們已知當前股價為10元，由此可以得到當前的組合價值：

10×0. 25-c=1.902元

計算得到c=0.598。

由此，我們得到該認購期權的價格應當為0.598元。市場的套利行為將使得期權的價格不能長期偏離0.598元：如果期權價格大于0.598元，那么該組合的收益率將高于無風險利率，投資者會買入組合，并使得價格恢復到無套利水平；如果期權價格小于0.598元，那么賣空這一組合相當于提供一個低于無風險利率的借款機會。

1.3.2　模型推廣

將上一小節例子中的數值用字符代替并進行推導，我們可以得到一般性的單步二叉樹定價公式，在此省略推導過程，僅列示最終公式：

其中，f為期權當前價格，fu為股價上漲時期權價格，fd為股價下跌時期權價格，u為股價上漲幅度，d為股價下跌幅度，r為市場無風險利率，T為年化期權到期期限。

讀者可能會覺得二叉樹模型簡單得不切實際：股價在一年后顯然不可能只有兩種情況。如何使我們的模型更加合理呢？一個角度是進一步細分時間，如將一年分割為30、40甚至更多的步數。假設每一步股價的上漲及下跌幅度相同，那么經過40個時間步后，我們最終會有41個股票價格，240條可能的股價路徑，得到的計算結果將顯得合理很多。事實上，隨著時間的無限細分，二叉樹模型將趨向于B-S模型。

最后，我們拓展討論風險中性定價，于此沒有興趣的讀者無需繼續閱讀，因其對于期權交易并無影響。如果令

則上式可以轉化為更為便于記憶的形式：

通常將p稱為股價上漲的風險中性概率，則1-p為股價下跌的風險中性概率，它們并非真正的概率，而只是一種命名方式。這么命名的原因是，轉化后的期權價格f形式為其未來收益在風險中性概率下期望值的貼現，貼現率等于無風險利率。之所以稱為“風險中性”，是因為由上一節推導可以看出，期權價格的計算中不涉及股價的真實概率分布。這并非因為股價概率分布不影響期權價格，而是因為我們是根據股票價格來計算期權價格的，而股價分布概率已包含在其價格之中。由于不涉及股價真實概率分布，因此期權定價與股票收益期望無關，從而不需要了解投資者的真實風險偏好。因此，在期權定價時，可以假設投資者是風險中性的。風險中性的投資者對于額外的風險不要求任何形式的補償。這即是風險中性定價原理（risk-neutral valua-tion），它對于衍生品定價非常重要，不過在此我們不做展開。