1.2　B-S模型

1.2.1　B-S模型的假設(shè)條件

我們列出B-S模型的假設(shè)：

1.股票價(jià)格過程服從對數(shù)正態(tài)分布模式；

2.在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的證券的波動率變量是恒定的；

3.市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券都是無限可分的；

4.標(biāo)的證券在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其他所得（該假設(shè)后被放棄）；

5.允許裸賣空衍生證券；

6.該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施；

7.市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會；

8.證券交易是連續(xù)的；

9.投資者能夠以無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸。

上述假設(shè)有不合理之處，因此其中的一部分在后來被放棄或調(diào)整了，然而最初正是通過這些假設(shè)，大大簡化了B-S模型的推導(dǎo)過程。

1.2.2　B-S模型公式與計(jì)算

基于上述假設(shè)，B-S模型核心立足于上節(jié)所述復(fù)制資產(chǎn)及無套利思想，即金融市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會，可以通過構(gòu)建股票與股票期權(quán)的組合構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)收益的組合。

在此，我們省略B-S模型的推導(dǎo)過程（大家可以在任一經(jīng)典期權(quán)教科書中找到推導(dǎo)過程），僅列出最終的Black-Scholes-Merton歐式認(rèn)購期權(quán)與認(rèn)沽期權(quán)的定價(jià)公式：

其中，

c表示歐式認(rèn)購期權(quán)價(jià)格，p為歐式認(rèn)沽期權(quán)價(jià)格；k為期權(quán)行權(quán)價(jià)；T為期權(quán)有效期（年化后的取值）；σ為股票價(jià)格的年化波動率，即年化收益率的標(biāo)準(zhǔn)差；r為年化無風(fēng)險(xiǎn)利率。N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，即服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量小于x的概率。

大家不要被B-S公式嚇倒，也大可不必費(fèi)心思量累計(jì)概率分布函數(shù)的含義，對于日常交易而言，關(guān)于B-S公式只需要記住它的這一啟示：求解期權(quán)的價(jià)格需要確定5個(gè)參數(shù)，即行權(quán)價(jià)格、到期時(shí)間、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)波動率和無風(fēng)險(xiǎn)利率。這些參數(shù)中，前面三個(gè)都是很容易獲取的確定數(shù)值，只有無風(fēng)險(xiǎn)利率和股票價(jià)格波動率需要通過一定的計(jì)算求得估計(jì)值。

在發(fā)達(dá)的金融市場上，對無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值相對簡單。比如在美國，人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值；在國內(nèi)，相應(yīng)的也可以考慮采用短期國債利率。然而，估計(jì)股票價(jià)格的波動率比估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率要困難得多，也更為重要。估計(jì)股票價(jià)格波動率方法通常有兩種：歷史波動率法和隱含波動率法。歷史波動率是指從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)中計(jì)算價(jià)格收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。事實(shí)上，只要掌握一些統(tǒng)計(jì)學(xué)中計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的基本方法，個(gè)人投資者也可以利用股票每天的收盤價(jià)信息來簡單計(jì)算股票價(jià)格波動率。隱含波動率是采用流動性較好的期權(quán)市場價(jià)格，通過B-S公式倒推出的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動率。關(guān)于波動率的進(jìn)一步介紹，請見第十三天“波動率交易”。

在確定B-S模型輸入?yún)?shù)后，有許多軟件可幫助大家計(jì)算B-S期權(quán)價(jià)格，例如Excel、Matlab或各大期權(quán)客戶端的期權(quán)價(jià)格計(jì)算器等。在上海證券交易所官方網(wǎng)站的股票期權(quán)投資者教育專區(qū)中也有期權(quán)計(jì)算器可供使用，或從如下網(wǎng)址進(jìn)入：http：//edu.sse.com.cn/col/op-tion/calc/。讀者將看到如下頁面：只需選擇標(biāo)的證券，并輸入標(biāo)的價(jià)格、到期時(shí)間、行權(quán)價(jià)格、波動率、利率等，即可計(jì)算得到B-S期權(quán)價(jià)格（見圖1.5）。

1.2.3　B-S模型與期權(quán)價(jià)格影響因素

從B-S模型可以看到，影響股票期權(quán)價(jià)格的因素包括：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)波動率、到期時(shí)間、行權(quán)價(jià)格和市場無風(fēng)險(xiǎn)利率水平。此外，上節(jié)展示的B-S公式未包含標(biāo)的股息率，事實(shí)上該變量也是影響股票期權(quán)價(jià)格的因素之一，加入股息率是最常見的對B-S公式的調(diào)整方式之一。各因素對股票期權(quán)影響如下：

（1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。

由于認(rèn)購期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于股票價(jià)格減去行權(quán)價(jià)格，所以當(dāng)股票的價(jià)格上升時(shí)，認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值上升。同理，由于認(rèn)沽期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值等于行權(quán)價(jià)格減去股票價(jià)格，所以當(dāng)股票價(jià)格上升時(shí)，認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值下降。

（2）標(biāo)的資產(chǎn)波動率。

股票價(jià)格的波動率是用來度量未來股票價(jià)格的不確定性的。如果股票價(jià)格的波動率越大，那么股票價(jià)格就以更大的可能性上漲或下跌。對于認(rèn)購期權(quán)，如果股票上漲的幅度變大，持有者獲利的可能性就越大，同時(shí)他最多損失權(quán)利金，所以認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值隨著波動率增大而增大。對于認(rèn)沽期權(quán)，如果股票下跌的幅度變大，持有者獲利的可能性也越大，同時(shí)他最多損失權(quán)利金，所以認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值也隨著波動率變大而變大。對于期權(quán)義務(wù)方來說，市場價(jià)格的大幅度波動使其面臨的市場風(fēng)險(xiǎn)增大，因此他就會提出較高的權(quán)利金要求。

（3）到期時(shí)間。

一般來講，由于在期權(quán)的價(jià)值中，其中一部分是時(shí)間價(jià)值，所以期權(quán)到期期限越長，它的時(shí)間價(jià)值就越大，認(rèn)購、認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值也就越大。期權(quán)到期期限越長，則期權(quán)轉(zhuǎn)向?qū)嵵档目赡苄栽酱螅I方行使期權(quán)的機(jī)會就較多，其獲利的可能性就越大，他就愿意支付較高的權(quán)利金。而對于期權(quán)賣方來說，期權(quán)剩余的有效期越長，他所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也就越大，賣方出售期權(quán)時(shí)所要求的權(quán)利金就越高。反之，期權(quán)剩余的有效期越短，其權(quán)利金就越低。這是因?yàn)槠跈?quán)有效期越短，權(quán)利方獲利可能性就越低，而義務(wù)方所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也越小，這樣義務(wù)方就不會提出較高的權(quán)利金要求，而權(quán)利方也不會愿意支付較高的權(quán)利金。

（4）行權(quán)價(jià)格。

對于認(rèn)購期權(quán)而言，其行權(quán)價(jià)格越高，則轉(zhuǎn)向?qū)嵵灯跈?quán)的可能性就越小，權(quán)利金就相應(yīng)降低；而對于認(rèn)沽期權(quán)來說，其行權(quán)價(jià)格越高，則轉(zhuǎn)向?qū)嵵灯跈?quán)的可能性越大，權(quán)利金就會相應(yīng)提高。

（5）市場無風(fēng)險(xiǎn)利率。

市場無風(fēng)險(xiǎn)利率通常為短期國債的利率。它是影響期權(quán)價(jià)值最復(fù)雜的一個(gè)因素。一方面，當(dāng)市場無風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，人們對股票未來的預(yù)期收益率就會提高，從而導(dǎo)致認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值上升，認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值下降。另一方面，當(dāng)市場無風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，股票的價(jià)格往往會下跌，根據(jù)期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的股票價(jià)格的關(guān)系原理，我們會發(fā)現(xiàn)認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值下降，而認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值反而上升了。在現(xiàn)實(shí)交易中，往往前一個(gè)原因更占主導(dǎo)位置（即無風(fēng)險(xiǎn)利率增加時(shí)，認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值增加，認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值減少），但有時(shí)兩個(gè)原因?qū)е碌膬粜?yīng)也可能使認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值隨著無風(fēng)險(xiǎn)利率增加而減少，認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值隨著無風(fēng)險(xiǎn)利率增加而增加。

（6）股息率。

一般來說，如果在期權(quán)到期日前，上市公司對標(biāo)的股票進(jìn)行了分紅，那么在除息日后，股票價(jià)格往往會下跌。根據(jù)期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的股票價(jià)格的關(guān)系原理，認(rèn)購期權(quán)的價(jià)值會變小，認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)值會變大。如果規(guī)定標(biāo)的證券除權(quán)、除息時(shí)，交易所會對期權(quán)合約的行權(quán)價(jià)格、合約單位作相應(yīng)調(diào)整的話，就可以避免紅利給期權(quán)價(jià)值帶來的影響。

各變量對權(quán)利金影響如表1.1所示。

表1.1　期權(quán)價(jià)格影響因素

注：上表市場無風(fēng)險(xiǎn)利率對于認(rèn)購期權(quán)及認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)格影響僅為通常情況下的。