1.1　期權定價歷史

1.1.1　隨機過程與期權定價

期權的誕生雖然可上溯至3000年前，但真正意義上的期權定價研究卻只有100余年的歷史。這是因為現代期權定價理論發展的至關重要的問題，是定義期權的基礎資產——股票的價格運動形式。從千變萬化的股價運動中尋找到規律，需要隨機過程理論的幫助，而這一深奧理論通常用以描述氣體分子運動。一個隨機過程是一組隨機變量，隨機變量X（t）是隨機過程在時刻t的狀態。隨機過程是與確定性過程相對的。在一個確定性過程中，只要給定初始位置，未來的整個路徑都會是確定的，例如函數x（t）=x（t-1）2，t為時間且只能為正整數。如果知道x（0）=a，則可以確定無疑序列將展開如下：a, a2，a4，a8，……，依次類推。然而，隨機過程卻大不一樣。假定今天的上證指數收于3123.14點，你能夠確定今后每一天的指數點位嗎？也許你是一位出色的技術分析大師，仔細分析阻力位、支撐位、均線等各類技術指標后，你依然最多只能做出諸如如下表述“上證指數明天將以80%的概率收于3130點至3150點之間”。隨機過程即是如此，對于變量的未來路徑，只能以概率分布來描述，而不能完全確定。正是因為這種不確定性，隨機過程才如此復雜和引人入勝。

隨機過程中最基礎的一種形式是布朗運動，金融學理論中常以布朗運動描繪股價變化。包括愛因斯坦等名人都曾對布朗運動的探索做出過貢獻，然而事關期權定價，我們只介紹一個人的成果：維納。維納是第一個從嚴格的數學角度來定義什么是布朗運動的人，為了紀念他，物理學上所稱的布朗運動的數學模型常被稱為維納過程。1923年，維納首次對布朗運動進行了嚴格的數學定義：第一，這個過程開始于同一起點0；第二，每一步必須相互獨立，即每一步的大小和方向都不能根據前面的步來預測；第三，每一步的大小必須服從正態分布；第四，這一過程的路徑必須連續。

有必要略微展開，介紹一下維納過程的一些性質。首先，服從維納過程的變量，它的每一步變化必須服從正態分布。那么，什么是正態分布呢？我們回憶這樣一個游戲，有一個小球從最上方落下，經過三角排列的小釘，小球觸及釘子時向左右方向落下的可能性各為50%，可以想象小球將以“之”字形下落，并最終落在某個凹槽中。試想我們有無數層小釘、并有無數個小球挨個落下，最終會是怎樣呢？讀者想到的答案也許與圖1.1相同。

小球游戲趨于無窮時，凹槽中的小球分布將形似一條鐘形曲線，這就是大名鼎鼎的正態分布。之所以稱為“正態”，是因為它的形態合乎常態。正態分布在現實生活中有大量應用，通常測算大量數據時——如人群的智商分布、考試的成績、男性的身高等——人們都會期望看到正態分布。這是因為中心極限定理的作用，該定理認為當一系列相互獨立的隨機變量組合到一起時，只要隨機變量的數量夠大，那么它們之和將服從正態分布。人群的智商、成績、身高符合中心極限定理，畢竟人類個體相互獨立是個較好接受的假設。

正態曲線是一條中間高，兩頭漸漸降低并完全對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交的鐘形曲線。曲線下的面積即為變量的發生概率，因而曲線與橫軸間的總面積等于1。正態分布意味著變量的取值越接近平均值（即曲線中心），那么出現的概率越高。約68%的觀測值會落在距離均值左右一個標準差（與平均值的距離）的范圍之內，95%的觀測值會落在2個標準差之內，僅有約0.3%的觀測值會落在曲線尾部，即3個標準差之外。例如2015年中國男性平均身高為1.67米，那么身高2.26米的姚明當在3個標準差外（見圖1.2）。

對隨機過程進行建模，并據此對期權進行定價的嘗試始于巴舍利耶1900年的博士論文。巴舍利耶提出的期權定價公式中，已出現了關鍵的股價和波動率，并應用了“公平游戲”的思想，這一思想是現代期權定價理論無套利條件的前身。然而，巴舍利耶的論文在其在世之時，并未得到正確評價，直到20世紀50年代中期，薩繆爾森于圖書館中找到這一塵封的著作，才將其應得的榮光歸還于他。薩繆爾森的另一貢獻是指出了巴舍利耶論文中的一個錯誤：假設股價變化服從正態分布。薩繆爾森認為，正態分布下部分數值小于0，相應地意味著股價可能取到負值，然而這在現實中是不可能的，因為“我今天以100美元的價格購買通用公司的股票，它最多跌到零，到時我只需撕掉股東憑證并大步離開”。薩繆爾森將目光重新投注到投資者行為身上，發現投資者真正在乎的不是股價變動的絕對金額，而是相對的幅度。比如說，對于部分價格高于100元的創業板高價股，股價上漲1元簡直微不足道，而對于部分只有10元的銀行股，1元的漲幅足以達到漲停。薩繆爾森假設股票的漲跌幅度服從正態分布。根據對數正態分布的定義，當一個隨機變量的對數服從正態分布時，這個隨機變量就稱為服從對數正態分布。由于到期股價與期間漲跌幅的關系正好是對數的關系，因此若假設股價漲跌幅服從正態分布，股價就服從對數正態分布。假設股價服從對數正態分布有許多優點，首先，服從對數正態分布的股票價格始終為正數，這與公司股票的有限負債特征一致；其次，在對數正態分布下，不論股價是高是低，用百分比表示的價格變化會存在相同的分布；最后，當時觀察到的交易所的數據與對數正態分布模型也相當的一致。相應的，如果股票價格作為一個隨機變量服從對數正態分布而非正態分布的話，那么其價格變化也應被認為服從幾何布朗運動而非算數布朗運動（見圖1.3）。

1.1.2　B-S模型的提出

至此，期權定價所需的理論基礎在20世紀中葉已基本完備，然而在尋找到正確的道路前，學界依然走過了一段歧途。根據當時的微觀經濟學傳統，任何定價公式中都需要加入投資者效用，而投資者效用難以觀測和度量，且在不同投資者間差異巨大。許多一流經濟學家都深陷于效用函數的泥潭之中，1968年，當時還聲名不顯的費希爾·布萊克（Fischer Black）與邁倫·斯科爾斯（Myron S.Scholes）另辟蹊徑，最終成功地尋找到通往“圣杯”之路（見圖1.4）。

1968年至1969年間，布萊克和斯科爾斯開始對期權定價產生興趣。當時已有的研究成果并不能使他們滿意，在他們看來，為了描述投資者效用而加入的太多變量和假設并無多大意義。因此，他們轉而去繁就簡，刪去那些難以度量的變量，最終公式中僅保留了那些所有人都認可將對期權價格產生影響的變量：股價、股價波動率、合約期限、利率和風險程度。所有變量都可以被量化，只除了一個：風險程度。布萊克和斯科爾斯使用了一個非常聰明的想法：通過構建股票和期權的對沖組合來消除風險。

對沖是一個古老的賭場技巧。例如，在輪盤賭桌上，你押1元紅色的同時再押1元黑色。當輪盤停止時，你會在一邊輸掉1元，但在另一邊贏得2元。無論球落在哪里，你都是毫無風險的，因為你的最終結果將為2元，正是此前帶上賭桌的金額。在股票和期權的例子中，問題更為復雜一些。股票的價格是一個不斷變化的隨機變量，難以判定其在未來的位置。期權的價格雖然與股價有密切的關系，但是這一關系也是動態變化的。理論上可以構建股票和期權的組合，完全對沖風險，然而對沖比例卻很難確定，并且需要實時調整。為此，布萊克和斯科爾斯加入了一些用以簡化推導、實現實時對沖的假設，例如市場沒有交易費用、證券可以無限分割等等。在一系列前提假設下，他們成功地構建了這樣的組合。

一個在任何市場情況下價值都相同的組合意味著什么呢？由于這個組合可以給予確定的收益，如果其收益率高于無風險收益率，如儲蓄賬戶利率或短期國債的回報，那么人們將大量借入資金購買這個組合，毫無風險地賺取收益；如果其收益率低于無風險收益率，那么人們將大量賣出這個組合。根據現代金融學理論慣常假設的市場有效性，布萊克和斯科爾斯同樣假設市場是不存在無風險套利機會的，因而這個組合的收益率必然等于無風險收益率，否則市場上的投資者的買賣力量將修正任何偏離。

現在，布萊克和斯科爾斯得到了一個隨機微分方程，只要解開它就能得到珍貴的寶藏：期權的價格。然而這個方程非常復雜難解。最初布萊克曾獨自沖擊期權定價問題，但被方程求解問題卡住而暫時放棄，直至1969年秋天才與斯科爾斯重新開啟了研究。這一次，在兩人的共同努力下，歷經諸多困難，最終成功了。1970年7月，布萊克和斯科爾斯在一次會議上發布了題為“期權、權證和其他證券的一個理論定價公式”的報告，陳述了他們的成果。

期權定價公式發現的故事至此當告一段落了嗎？不，還有一位重要人物尚未介紹。他因為睡過頭錯過了布萊克和斯科爾斯的報告，但是當天下午他在同一個會議上發表題為“資產市場的一個動態一般均衡模型和它在公司資本結構定價方面的應用”的演講時，驚訝地發現自己正與布萊克和斯科爾斯研究同一個課題。他就是羅伯特·默頓（Robert C.Merton）。默頓一開始并不相信布萊克和斯科爾斯的模型，質疑他們的結果是否穩健及準確，尤其對于組合是否可以通過對沖完全消除風險心存懷疑。因此，默頓在之后的幾周里繼續完善他的期權定價公式。默頓采用了一種新的方法，他發現通過買入一定數量的股票，并以無風險利率借入資金，可以構建一個組合，使得股價無論如何變動，該組合的現金流都與期權相同，那么創建該組合的成本就是期權的價值。默頓的組合同樣需要連續不斷地調整資產比例，而他的數學基礎有了用武之地。默頓使用了布萊克和斯科爾斯聞所未聞的伊藤引理，以一種更為優美的方式解出了自己的方程。星期六早上，默頓給斯科爾斯撥打了電話，告訴他布萊克和他是正確的，自己通過另一種方法證明了這一點。至此，時近百年的通往“圣杯”之路終于走到了終點！

1.1.3　B-S模型后的期權定價發展

B-S模型的提出是百年努力的結束，卻也是一個新的開始。在B-S模型之后，其他各種期權定價模型也被紛紛提出，有的是針對B-S模型存在的問題展開研究，例如默頓自己就發展了B-S模型，使其亦可運用于支付紅利的股票。又如更為關鍵的關于標的資產的價格分布，學界嘗試了各種其他假設，在這個方向上衍生出的著名模型包括擴散模型、跳躍—擴散模型、純跳躍模型等。再如針對波動率為常數的假設，改進并發展出隨機波動率模型等。也有學者另辟蹊徑，提出其他模型，其中最著名的是1979年由考克斯、羅斯和魯賓斯坦三人提出的二叉樹模型。然而，隨著期權市場發展越來越迅速、交易策略越來越復雜，美式期權、奇異期權的誕生，像傳統歐式期權那樣能用解析解定價的期權已經越來越少，伴隨著計算機技術的進步，學界和業界都開始運用各類數值方法對各種期權進行定價，最常用的方法包括蒙特卡羅方法和有限差分方法等。蒙特卡羅方法主要適用于衍生品收益與標的資產的歷史價格有關或者有多個標的資產的情形，基于風險中性理論，用算術平均代替理論的期望值，用離散代替連續，起到簡化近似的效果。有限差分方法則適用于期權持有者可以提前行權的美式期權或其他需要在到期日之前做出某種決定的衍生產品，通過數值求解微分方程（用差分方程替代微分方程）的方式達到定價的目的。

限于篇幅，我們能介紹的期權定價模型非常有限，在后文中我們會選擇B-S模型和二叉樹模型這兩個最為常用和重要的期權定價模型進行重點介紹。對于大部分讀者而言，為滿足日常交易需求，掌握1—2種經典期權定價模型，了解其形式已經足夠。然而對于學界，期權定價的探索之路卻仍未走到終點。