二、對(duì)數(shù)正態(tài)分布

對(duì)數(shù)正態(tài)分布指如果一個(gè)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則該隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。在分析測(cè)試中，特別是在衡量分析中，在很多情況下，測(cè)定值并不遵循正態(tài)分布，而是遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中，對(duì)數(shù)正態(tài)分布是對(duì)數(shù)為正態(tài)分布的任意隨機(jī)變量的概率分布。如果w是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則exp（w） 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；同樣，如果y服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則ln（y） 服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量可以看作是許多很小獨(dú)立因子的乘積，則這個(gè)變量可以看作服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。一個(gè)典型的例子是股票投資的長(zhǎng)期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。

令w是服從均數(shù)為，方差為的正態(tài)分布，則x=exp（w）服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：

　　（2-29）

其中x的均數(shù)和方差分別為：

　　（2-30）

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)為和，需要注意的是它們代表變量w的均數(shù)和方差。圖2-17給出了不同參數(shù)情況下的對(duì)數(shù)正態(tài)分布圖。

圖2-17　當(dāng)時(shí)不同的對(duì)數(shù)正態(tài)分布圖

隨著時(shí)間的推移，產(chǎn)品的壽命逐漸降低這一過(guò)程被認(rèn)為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。例如，舊半導(dǎo)體的使用壽命。其他連續(xù)分布也可用于這種類型的問(wèn)題。然而，由于對(duì)數(shù)正態(tài)分布是來(lái)自于一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)形式，相對(duì)易于理解，同時(shí)也易于估計(jì)概率。