一、正態分布

正態分布是一種很重要的連續型隨機變量的概率分布，在統計學中，正態分布無論在理論研究上還是實際應用中，均占有重要的地位。

設連續隨機變量x概率密度為：

則稱x服從正態分布，記為，所確定的曲線叫作正態曲線（圖2-14）。

特別地，當時，我們稱之為標準正態分布，記為。概率密度函數為：

1.正態分布密度函數的特征

（1）關于對稱。即正態分布以均數為中心，左右對稱，逐漸降低，兩端永不與橫軸相交。

（2）正態曲線下面積分布有一定規律（圖2-15）；無論取什么值，正態曲線與橫軸間的面積總等于1。

（3）正態分布有兩個參數，即均數和標準差。是位置參數，是變異度參數（形狀參數）。

當恒定時，越大，則曲線沿x軸越向右移動；反之，越小，曲線沿x軸越向左移動（圖2-11）。

當恒定時，越大，表示x的取值越分散，曲線越“胖”； 越小，x的取值越集中在附近，曲線越“瘦”（圖2-11）。

2.正態分布的概率計算

累積正態分布當時的概率，記為

這個積分很難計算。因此，通過變量代換的方法，令

則

標準正態分布曲線下，左側任一區間的面積可以通過附錄1求得，通過查表可以得到z值左側的面積（圖2-16）。

標準正態分布在實際中應用極為廣泛，對任何參數和的正態分布，都可以通過一個簡單的變量變換轉化成標準正態分布。

例如：某項目研究變量x服從正態分布，其均數為3150g，標準差為350g。試求時的概率。

附錄1中給出的僅僅是左側負值的概率。我們可以利用正態分布的面積特征，得到其他特殊情況的概率：

有時我們不僅僅希望得到概率值，還希望能夠得到概率對應的隨機變量的取值，例如：假設，我們希望求得值，其中。

即，查附錄1可知，，因此

正態分布有很多性質，其中就包括獨立正態分布隨機變量的線性組合。

如果是獨立的正態分布隨機變量，它們的均數為，方差為，則

也服從正態分布，并且對應的均數和方差為

其中是常數。

中心極限定理：正態分布被認為是最適合描述隨機變量的一種分布。在后面，我們主要討論如何去檢驗這種說法的合理性。一般而言，中心極限定理是變量近似正態分布的原理所在。

假設是獨立的隨機變量，它們的均數為，方差為，如果

則

當時近似服從標準正態分布。

中心極限定理說明n個獨立隨機變量的和近似服從正態分布，不論它們的分布如何，這個結論都是成立的。當n逐漸增大時，近似的效果越來越好。在很多的實例中，可能要求n小一些比較好，而有些則要求n比較大一些才會獲得滿意的近似效果。一般而言，如果是獨立分布，并且并非來自非正態分布，則此時中心極限定理要求。這些條件在工程質量控制問題中常常出現。