四、箱形圖

箱形圖又稱為盒須圖、盒式圖或箱線圖，如圖2-10，是一種用作顯示一組數據分散情況資料的統計圖。因形狀如箱子而得名。在各種領域也經常被使用，常見于品質管理。

圖2-10　箱形圖

箱形圖的繪制需使用常用的統計量，能提供有關數據位置和分散情況的關鍵信息，尤其在比較不同的母體數據時更可表現其差異。如圖2-10所示，圖中標示了每條線表示的含義，其中應用到了分位值（數）的概念。主要包含六個數據節點，將一組數據從大到小排列，分別計算出它的上邊緣，上四分位數Q₃，中位數，下四分位數Q₁，下邊緣，還有一個異常值。

箱形圖的作用如下。

（1）識別數據異常值　一批數據中的異常值值得關注，忽視異常值的存在是十分危險的，不加剔除地把異常值包括進數據的計算分析過程中，對結果會帶來不良影響；重視異常值的出現，分析其產生的原因，常常成為發現問題進而改進決策的契機。箱形圖為我們提供了識別異常值的一個標準：異常值被定義為小于或大于的值。雖然這種標準有點任意性，但它來源于經驗判斷，經驗表明它在處理需要特別注意的數據方面表現不錯。這與識別異常值的經典方法有些不同。

眾所周知，基于正態分布的3σ法則或z分數方法是以假定數據服從正態分布為前提的，但實際數據往往并不嚴格服從正態分布。判斷數據異常值的標準是以計算數據批的均值和標準差為基礎的，而均值和標準差的耐抗性極小，異常值本身會對它們產生較大影響，這樣產生的異常值個數不會多于總數0.7%。顯然，應用這種方法于非正態分布數據中判斷異常值，其有效性是有限的。

箱形圖的繪制依靠實際數據，不需要事先假定數據服從特定的分布形式，沒有對數據作任何限制性要求，它只是真實直觀地表現數據形狀的本來面貌；另一方面，箱形圖判斷異常值的標準以四分位數和四分位距為基礎，四分位數具有一定的耐抗性，多達25%的數據可以變得任意遠而不會對四分位數產生很大擾動，所以異常值不能對這個標準施加影響，因而箱形圖識別異常值的結果比較客觀。由此可見，箱形圖在識別異常值方面有一定的優越性。

（2）判斷數據偏態和尾重　比較標準正態分布、不同自由度的t分布和非對稱分布數據的箱形圖的特征，可以發現：對于標準正態分布的大樣本，只有 0.7%的值是異常值，中位數位于上下四分位數的中央，箱形圖的方盒關于中位線對稱。

選取不同自由度的t分布的大樣本，代表對稱重尾分布，當t分布的自由度越小，尾部越重，就有越大的概率觀察到異常值。

以卡方分布作為非對稱分布的例子進行分析，發現卡方分布的自由度越小，異常值出現于一側的概率越大，中位數也越偏離上下四分位數的中心位置，分布偏態性越強。異常值集中在較小值一側，則分布呈現右偏態；異常值集中在較大值一側，則分布呈現左偏態。這個規律揭示了數據批分布偏態和尾重的部分信息，盡管它們不能給出偏態和尾重程度的精確度量，但可作為我們粗略估計的依據。

（3）比較幾批數據的形狀　同一數軸上，幾批數據的箱形圖并行排列，幾批數據的中位數、尾長、異常值、分布區間等形狀信息便一目了然。在一批數據中，哪幾個數據點出類拔萃，哪些數據點表現不及一般，這些數據點放在同類其它群體中處于什么位置，可以通過比較各箱形圖的異常值看出。各批數據的四分位距大小，正常值的分布是集中還是分散，觀察各方盒和線段的長短便可明了。每批數據分布的偏態如何，分析中位線和異常值的位置也可估計出來。