2.4　流動阻力和能量損失（壓力損失）

在上一節中我們講了實際流體的伯努利方程，即

這里h_ω表示單位重量流體的能量損失，那么h_ω如何求呢？這就是這節要解決的問題。即本節討論實際流體（黏性流體）運動時的流動阻力及能量損失（壓力損失），以及黏性流體在管道中的流動特性。

2.4.1　流動阻力及能量損失（壓力損失）的兩種形式

實際流體是具有黏性的。當流體微團之間有相對運動時，相互間必產生切應力，對流體運動形成阻力，稱為流動阻力。要維持流動就必須克服阻力，從而消耗能量，使機械能轉化為熱能而損耗掉。這種機械能的消耗稱為能量損失。能量損失多半是以壓力降低的形式體現出來的，因此又叫壓力損失。下面我們就來介紹一下流動阻力形成的物理原因及計算公式。

流體本身具有黏性是流動阻力形成的根本原因。但是，同是黏性流體，由于流動的邊界條件不同，其阻力形成的過程也不同。

（1）沿程阻力、沿程壓力損失Δp_λ

① 產生的原因：黏性。主要是由于流體與壁面、流體質點與質點間存在著摩擦力，阻礙著流體的運動，這種摩擦力是在流體的流動過程中不斷地作用于流體表面的。流程越長，這種作用的累積效果也就越大。也就是說這種阻力的大小與流程的長短成正比，因此，這種阻力稱為沿程阻力。由于沿程阻力直接由流體的黏性引起，因此，流體的黏性越大，沿程阻力也就越大。

② 發生的邊界：發生在沿流程邊界形狀變化不很大的區域，一般在緩變流動區域，如直管段。

③ 計算公式（達西公式）：由因次分析法得出管道流動中的沿程壓力損失Δp_λ與管長l、管徑d、平均流速v的關系如下。

　　 （2.40）

式中，λ為沿程阻力系數；ρ為流體的密度。

（2）局部阻力、局部壓力損失Δp_ξ

① 產生的原因：流態突變。在流態發生突變地方的附近，質點間發生撞擊或形成一定的旋渦，由于黏性作用，質點間發生劇烈地摩擦和動量交換，必然要消耗流體的一部分能量。這種能量的消耗就構成了對流體流動的阻力，這種阻力一般只發生在流道的某一個局部，因此叫作局部阻力。實驗表明，局部阻力的大小主要取決于流道變化的具體情況，而幾乎和流體的黏性無關。

② 發生的邊界：發生在流道邊界形狀急劇變化的地方，一般在急變流區域，如彎管、過流截面突然擴大或縮小、閥門等處。

③ 計算公式：由大量的實驗知Δp_ξ與流速的平方成正比，即

　　 （2.41）

式中，ξ為局部阻力系數；ρ為流體的密度。

流體流過各種閥類的局部壓力損失，亦可以用式（2.41）計算。但因閥內的通道結構復雜，按此公式計算比較困難，故閥類元件局部壓力損失Δp_v的實際計算常用下列公式：

　　 （2.42）

式中，q_n為閥的額定流量；q為通過閥的實際流量；Δp_n為閥在額定流量q_n下的壓力損失（可從閥的產品樣本或設計手冊中查出）。

（3）管路中的總的壓力損失

整個管路系統的總壓力損失應為所有沿程壓力損失和所有局部壓力損失之和，即

　　 （2.43）

從計算壓力損失的公式可以看出，減小流速、縮短管道長度、減少管道截面的突變、提高管道內壁的加工質量等，都可以使壓力損失減小。其中以流速的影響為最大，故液體在管路系統中的流速不應過高。但流速太低，也會使管路和閥類元件的尺寸加大，并使成本增高。

2.4.2　流體的兩種流動狀態

實踐表明，流體的能量損失（壓力損失）與流體的流動狀態有密切的關系。英國物理學家雷諾（Reynolds）于1883年發表了他的實驗成果。他通過大量的實驗發現，實際流體運動存在著兩種狀態，即層流和紊流；并且測定了流體的能量損失（壓力損失）與兩種狀態的關系。此即著名的雷諾實驗。

雷諾實驗的裝置如圖2.23所示。水箱1由進水管不斷供水，并保持水箱水面高度恒定。水杯5內盛有紅顏色的水，將開關6打開后，紅色水即經細導管2流入水平玻璃管3中。調節閥門4的開度，使玻璃管中的液體緩慢流動，這時，紅色水在管3中呈一條明顯的直線，這條紅線和清水不相混雜，這表明管中的液流是分層的，層與層之間互不干擾，液體的這種流動狀態稱為層流。調節閥門4，使玻璃管中的液體流速逐漸增大，當流速增大至某一值時，可看到紅線開始抖動而呈波紋狀，這表明層流狀態受到破壞，液流開始紊亂。若使管中流速進一步增大，紅色水流便和清水完全混合，紅線便完全消失，這表明管道中液流完全紊亂，這時液體的流動狀態稱為紊流。如果將閥門4逐漸關小，就會看到相反的過程。

（1）層流和紊流

層流：液體的流動呈線性或層狀，各層之間互不干擾，即只有縱向運動。

紊流：液體質點的運動雜亂無章，除了有縱向運動外，還存在著劇烈的橫向運動。

層流時，液體流速較低，質點受黏性制約，不能隨意運動，黏性力起主導作用；液體的能量主要消耗在摩擦損失上，它直接轉化為熱能，一部分被液體帶走，一部分傳給管壁。

紊流時，液體流速較高，黏性的制約作用減弱，慣性力起主導作用；液體的能量主要消耗在動能損失上，這部分損失使流體攪動混合，產生旋渦、尾流，造成氣穴，撞擊管壁，引起振動和噪聲，最后化作熱能消散掉。

（2）雷諾數Re

雷諾通過大量實驗證明，液體在圓管中的流動狀態不僅與管內的平均流速v有關，還和管道內徑d、液體的運動黏度ν有關。實際上，判定液流狀態的是上述三個參數所組成的一個無量綱數Re：

　　 （2.44）

式中，Re為雷諾數。即對流通截面相同的管道來說，若雷諾數Re相同，它們的流動狀態就相同。

液流由層流轉變為紊流時的雷諾數和由紊流轉變為層流的雷諾數是不同的，后者的數值較前者小，所以一般都用后者作為判斷液流流動狀態的依據，稱為臨界雷諾數，記作Re_c。當液流的實際雷諾數Re小于臨界雷諾數Re_c時，為層流；反之，為紊流。常見液流管道的臨界雷諾數由實驗求得，如表2.2所示。

式（2.44）中的d代表了圓管的特征長度，對于非圓截面的流道，可用水力直徑（等效直徑）d_H來代替，即

　　 （2.45）

　　 （2.46）

　　 （2.47）

式中　R——水力半徑；

A——流通面積；

χ——濕周長度（流通截面上與液體相接觸的管壁周長）。

水力半徑R綜合反映了流通截面上A與χ對阻力的影響。對于具有同樣濕周χ的兩個流通截面，A越大，液流受到壁面的約束就越小；對于具有同樣流通面積A的兩個流通截面，χ越小，液流受到壁面的阻力就越小。綜合這兩個因素可知，R=越大，液流受到的壁面阻力作用越小，即使流通面積很小也不易堵塞。

2.4.3　圓管層流

液體在圓管中的層流運動是液壓傳動中最常見的現象，在設計和使用液壓系統時，就希望管道中的液流保持這種狀態。

圖2.24所示為液體在等徑水平圓管中作層流流動時的情況。在圖中的管內取出一段半徑為r、長度為l、與管軸相重合的小圓柱體，作用在其兩端面上的壓力分別為p₁和p₂，作用在其側面上的內摩擦力為F_f。液流作勻速運動時處于受力平衡狀態，故有：

（p₁-p₂）πr²=F_f

根據內摩擦定律有：F_f=-2πrlμ（因du/dr為負值，故前面加負號）。令Δp=p₁-p₂，將這些關系式代入上式得：

即

積分并考慮到當r=R時，u=0得：

　　 （2.48）

可見管內流速隨半徑按拋物線規律分布，最大流速發生在軸線上，其值為u_max=。

在半徑r處取出一厚為dr的微小圓環（如圖2.24所示），通過此環形面積的流量為dq=u2πrdr，對此式積分，得通過整個管路的流量q：

　　 （2.49）

這就是哈根-泊肅葉公式。當測出除μ以外的各有關物理量后，應用此式便可求出流體的黏度μ。

圓管層流時的平均流速v為：

　　 （2.50）

同樣可求出其動能修正系數α=2，動量修正系數β=4/3。

現在我們再來看看沿程壓力損失Δp_λ，由平均流速表達式可求出Δp_λ：

　　 （2.51）

把此式與 比較得：沿程阻力系數λ=64/Re。

由此可看出，層流流動的沿程壓力損失Δp_λ與平均流速v的平方成正比，沿程阻力系數λ只與Re有關，與管壁面粗糙度無關。這一結論已被實驗所證實。但實際上流動中還夾雜著油溫變化的影響，因此油液在金屬管道中流動時宜取λ=75/Re，在橡膠軟管中流動時則取λ=80/Re。

2.4.4　圓管紊流

在實際工程中常遇到紊流運動，但由于紊流運動的復雜性，雖然近幾十年來許多學者做了大量研究工作，仍未得到滿意的結果，尚需進一步探討，目前所用的計算方法常常依賴于實驗。

（1）脈動現象和時均化

在雷諾實驗中可以觀察到，在紊流運動中，流體質點的運動是極不規則的，它們不但與鄰層的流體質點互相摻混，而且在某一固定的空間點上，其運動要素（壓力、速度等）的大小和方向也隨時間變化，并始終圍繞某個“平均值”上下脈動，如圖2.25所示。

如取時間間隔T（時均周期），瞬時速度在T時間內的平均值稱為時間平均速度，簡稱時均速度，可表示為：

　　 （2.52）

同樣，某點的時均壓力可表示為：

　　 （2.53）

圖2.26所示為圓管中的紊流。

由以上討論可知，紊流運動總是非定常的，但如果流場中各空間點的運動要素的時均值不隨時間變化，就可以認為是定常流動。因此對于紊流的定常流動，是指時間平均的定常流動。在工程實際的一般問題中，只需研究各運動要素的時均值，用運動要素的時均值來描述紊流運動即可，使問題大大簡化。但在研究紊流的物理實質時，例如研究紊流阻力時，就必須考慮脈動的影響。

（2）黏性底層（層流邊界層）、水力光滑管與水力粗糙管

流體作紊流運動時，由于黏性的作用，管壁附近的一薄層流體受管壁的約束，仍保持為層流狀態，形成一極薄的黏性底層（層流邊界層）。離管壁越遠，管壁對流體的影響越小，經一過渡層后，才形成紊流。即管中的紊流運動沿橫截面可分為三部分：黏性底層、過渡層和紊流核心區，如圖2.26所示。過渡層很薄，通常和紊流核心區合稱為紊流部分。黏性底層的厚度δ也很薄，通常只有幾分之一毫米，它與主流的紊動程度有關，紊動越劇烈，δ就越小。δ與Re成反比，可用式（2.54）來求。

　　 （2.54）

式中，d為管徑；λ為沿程阻力系數；Re為雷諾數。

根據黏性底層的厚度δ與管內壁絕對粗糙度ε之間的關系，可以把作紊流運動的管道分為水力光滑管和水力粗糙管。

水力光滑管：δ≥ε/0.3，如圖2.27（a）所示。

水力粗糙管：δ≤ε/6，如圖2.27（b）所示。

水力光滑管與水力粗糙管的概念是相對的，隨著流動情況的改變，Re會變化，δ也相應地會變化。所以同一管道（其ε是固定不變的），Re變小時，可能是光滑管；而Re變大時，又可能是粗糙管了。

（3）截面速度分布

對于充分的紊流流動來說，其流通截面上流速的分布如圖2.28所示。由圖可見，紊流中的流速分布是比較均勻的。其最大流速u_max=（1～1.3）v，動能修正系數α≈1.05，動量修正系數β≈1.04，因而這兩個系數均可近似地取為1。

由半經驗公式推導可知，對于光滑圓管內的紊流來說，其截面上的流速分布遵循對數規律。在雷諾數為3×10³～10⁵的范圍內，它符合1/7次方的規律，即

　　 （2.55）

式中符號的意義如圖2.28所示。

2.4.5　沿程阻力系數λ

對于層流，沿程阻力系數λ值的公式已經導出，并被實驗所證實。對于紊流，尚無法完全從理論上求得，只能借助于管道阻力試驗來解決。一般來說，在壓力管道中的λ值與Re和管壁相對粗糙度ε/d有關，即

下面就簡單介紹一下尼古拉茲（J.Nikuradse）對于人工粗糙管所進行的水流阻力試驗結果。

尼古拉茲用不同粒徑的均勻砂粒粘貼在管內壁上，制成各種相對粗糙度的管子，實驗時測出v、Δp_λ，然后代入公式，在各種相對粗糙度ε/d的管道下，得出λ和Re的關系曲線，如圖2.29所示。這些曲線可分為五個區域。

Ⅰ為層流區：Re<2320，各管道的實驗點均落在同一直線上。λ只與Re有關，與粗糙度無關。λ=64/Re，與理論公式相同。

Ⅱ為過渡區：2320<Re<4000，為層流向紊流的過渡區，不穩定，范圍小。對它的研究較少，一般按下述水力光滑管處理。

Ⅲ為紊流光滑管區：4000<Re<26.98（d/ε）^8/7，各種相對粗糙度管道的實驗點又都落在同一條直線（Ⅲ和Ⅳ的交界線）上。λ值只與Re有關，與ε/d無關。這是因為黏性底層掩蓋了粗糙度。但是隨著ε/d值的不同，各種管道離開此區的實驗點的位置不同，ε/d越大離開此區越早。

關于此區的λ有以下計算公式：

4000<Re<10⁵時，可用布拉休斯公式：

　　 （2.56）

10⁵<Re<3×10⁶時，可用尼古拉茲公式：

　　 （2.57）

Ⅳ為光滑管至粗糙管過渡區：26.98（d/ε）^8/7<Re<4160（d/2ε）^0.85，又稱為第二過渡區。在此區，隨著Re的增大，黏性底層變薄，管壁粗糙度對流動阻力的影響亦逐漸明顯。λ值與ε/d和Re均有關。曲線形狀與工業管道的偏差較大，一般用如下公式計算：

　　 （2.58）

Ⅴ為紊流粗糙管區：Re>4160（d/2ε）^0.85。在此區，λ=f（ε/d），紊流已充分發展，λ值與Re無關，表現為一水平線。λ值的計算公式為：

　　 （2.59）

因λ與Re無關，可知Δp_λ∝v²，故此區又稱為阻力平方區。

尼古拉茲實驗結果適用于人工粗糙管，對于工業管道不是很適用。后來莫迪對工業管道進行了大量實驗，作出了工業管道的阻力系數圖，即莫迪圖，為工業管道的計算提供了很大方便。

2.4.6　局部阻力系數ξ

局部壓力損失，它的計算關鍵在于對局部阻力系數ξ的確定。由于流動情況的復雜，只有極少數情況可用理論推導求得，一般都只能依靠實驗來測得（或利用實驗得到的經驗公式求得）。

下面我們就以截面突然擴大的情況為例，來講一下局部阻力系數的推導過程。如圖2.30所示，由于過流斷面突然擴大，流線與邊界分離，并發生渦旋撞擊，從而造成局部損失。以管軸為基準面，對截面1—1、2—2列伯努利方程有：

式中，h_ξ為局部損失，。

由此得：

　　 （2.60）

取截面1—1、2—2及兩截面之間的管壁為控制面，對控制面內的流體沿管軸方向列動量方程，略去管側壁面的摩擦切應力時有：

p₁A₁-p₂A₂+p（A₂-A₁）=ρq（v₂-v₁）

式中，p為渦流區環形面積（A₂-A₁）上的平均壓力；p₁、p₂分別為截面1—1、2—2上的壓力。實驗證明p≈p₁，于是上式可寫成為：

（p₁-p₂）A₂=ρv₂A₂（v₂-v₁）

即

　　 （2.61）

將式（2.61）代入式（2.60）得：

按連續性方程有v₁A₁=v₂A₂，于是上式可改寫成：

　　 （2.62）

或

　　 （2.63）

式中，對應小截面的速度v₁；對應大截面的速度v₂。

由此可見，對應不同的速度（變化前和變化后的速度），局部阻力系數是不同的。一般情況下，用的是變化后的速度，即