2.3　液體動力學

本節主要討論液體流動時的運動規律、能量轉換和流動液體對固體壁面的作用力等問題，具體要介紹液體流動時的三大基本方程，即連續性方程、伯努利方程（能量方程）和動量方程。這三大方程對解決液壓技術中有關液體流動的各種問題極為重要。

2.3.1　基本概念

1）流場

從數學上我們知道，如果某一空間中的任一點都有一個確定的量與之對應，則這個空間就叫作“場”?，F在假定在我們所研究的空間內充滿運動著的流體，那么每一個空間點上都有流體質點的運動速度、加速度等運動要素與之對應。這樣一個被運動流體所充滿的空間就叫作“流場”。

2）運動要素、定常流動和非定常流動（恒定流動和非恒定流動）、一維流動、二維流動、三維流動

（1）運動要素

運動要素是用來描寫流體運動狀態的各個物理量，如速度u、加速度a、位移s、壓力p等。

流場中運動要素是空間點在流場中的位置和時間的函數，即u（x，y，z，t）、a（x，y，z，t）、s（x，y，z，t）、p（x，y，z，t）等。

（2）定常流動和非定常流動（恒定流動和非恒定流動）

如果在一個流場中，各點的運動要素均與時間無關，即

====…=0

這時的流動稱為定常流動（恒定流動），否則稱為非定常流動（非恒定流動）。

（3）一維流動、二維流動、三維流動

一維流動：流場中各運動要素均隨一個坐標和時間變化。

二維流動：流場中各運動要素均隨兩個坐標和時間變化。

三維流動：流場中各運動要素均隨三個坐標和時間變化。

3）跡線和流線

（1）跡線

跡線是指流體質點的運動軌跡。

（2）流線

流線是用來表示某一瞬時一群流體質點的流速方向的曲線。即流線是一條空間曲線，其上各點處的瞬時流速方向與該點的切線方向重合，如圖2.9所示。根據流線的定義，可以看出流線具有以下性質。

① 除速度等于零點外，過流場內的一點不能同時有兩條不相重合的流線。即在零點以外，兩條流線不能相交。

② 對于定常流動，流線和跡線是一致的。

③ 流線只能是一條光滑的曲線，而不能是折線。

4）流管和流束

（1）流管

在流場中經過一封閉曲線上各點作流線所組成的管狀曲面稱為流管。由流線的性質可知：流體不能穿過流管表面，而只能在流管內部或外部流動，如圖2.10所示。

（2）流束

過空間一封閉曲線圍成曲面上各點作流線所組成的流線束稱為流束，如圖2.11所示。

5）過流斷面、流量和平均流速

（1）過流斷面

過流斷面是流束的一個橫斷面，在這個斷面上所有各點的流線均在此點與這個斷面正交，即過流斷面就是流束的垂直橫斷面。過流斷面可能是平面，也可能是曲面，如圖2.12所示，A和B均為過流斷面。

（2）流量

單位時間內流過過流斷面的流體體積和質量稱為體積流量和質量流量。在流體力學中，一般把體積流量簡稱為流量（圖2.13）。流量在國際單位制中的單位為m³/s，在工程上的單位為L/min。

　　 （2.17）

（3）平均流速

流量q與過流斷面面積A的比值，叫作這個過流斷面上的平均流速（圖2.13），即

　　 （2.18）

用平均流速代替實際流速，只在計算流量時是合理而精確的，在計算其他物理量時就可能產生誤差。

6）流動液體的壓力

靜止液體內任意點處的壓力在各個方向上都是相等的，可是在流動液體內，由于慣性力和黏性力的影響，任意點處在各個方向上的壓力并不相等，但在數值上相差甚微。當慣性力很小且把液體當作理想液體時，流動液體內任意點處的壓力在各個方向上的數值仍可以看作是相等的。

2.3.2　連續性方程

根據質量守恒定律和連續性假定，來建立運動要素之間的運動學聯系。

設在流動的液體中取一控制體積V，如圖2.14所示，其密度為ρ，則其內部的質量m=ρV。單位時間內流入、流出的質量流量分別為q_m1、q_m2。根據質量守恒定律，經dt時間，流入、流出控制體積的凈質量應等于控制體積內質量的變化，即

（q_m1-q_m2）dt=dm

q_m1-q_m2=

而

q_m1=ρ₁q₁；q_m2=ρ₂q₂；m=ρV

故

　　 （2.19）

這就是液體流動時的連續性方程。其中V是控制體積中液體因壓力變化引起密度變化而增補的質量；ρ是因控制體積的變化而增補的液體質量。

在液壓傳動中經常遇到的是一維流動的情況，下面我們就來研究一下一維定常流動時的連續性方程。

如圖2.15所示，液體在不等截面的管道內流動，取截面1和2之間的管道部分為控制體積。設截面1和2的面積分別為A₁和A₂，平均流速分別為v₁和v₂。在這里，控制體積不隨時間而變，即=0；定常流動時=0。于是有：

ρ₁q₁-ρ₂q₂=0

即

　　 （2.20）

亦即　　　　　ρAv=const（常數）

對于不可壓縮性流體ρ=const，則有：

　　 （2.21）

即　　　　　　q=Av=const（常數）

這就是液體一維定常流動時的連續性方程。它說明流過各截面的不可壓縮性流體的流量是相等的，而液流的流速和管道流通截面的大小成反比。

2.3.3　伯努利方程

伯努利方程表明了液體流動時的能量關系，是能量守恒定律在流動液體中的具體體現。

要說明流動液體的能量問題，必須先說明液流的受力平衡方程，亦即它的運動微分方程。由于問題比較復雜，我們先進行幾點假定：

① 流體沿微小流束流動。所謂微小流束是指流束的過流面面積非常小，我們可以把這個流束看成一條流線。這時流體的運動速度和壓力只沿流束改變，在過流斷面上可認為是一個常值。

② 流體是理想不可壓縮的。

③ 流動是定常的。

④ 作用在流體上的質量力是有勢的（所謂有勢就是存在力勢函數W，使得=X；=Y；=Z存在，而我們所研究的是質量力只有重力的情況）。

1）理想流體的運動微分方程

某一瞬時t，在流場的微小流束中取出一段流通面積為dA、長度為ds的微元體積dV，dV=dAds。流體沿微小流束的流動可以看作是一維流動，其上各點的流速和壓力只隨s和t變化，即u=u（s，t），p=p（s，t）。對理想流體來說，作用在微元體上的外力有以下兩種。

（1）壓力在兩端截面上所產生的作用力（截面1上的壓力為p，則截面2上的壓力為p+ds）

（2）質量力只有重力

mg=（ρdAds）g

根據牛頓第二定律有：

　　 （2.22）

其中：

cosθ=dz/ds=

代入式（2.22）得：

即

　　 （2.23）

這就是理想流體在微小流束上的運動微分方程，也稱為歐拉方程。

2）理想流體微小流束定常流動的伯努利方程

要在圖2.16所示的微小流束上，尋找它各處的能量關系。將運動微分方程的兩邊同乘ds，并從流線s上的截面1積分到截面2，即：

　　　　

上式兩邊各除以g，移項后整理得：

　　 （2.24）

對于定常流動來說：

=0

故式（2.24）變為：

　　 （2.25）

即

　　 （2.26）

這就是理想流體在微小流束上定常流動時的伯努利方程。下面我們來看看這個方程的物理意義。

z表示單位重量流體所具有的勢能（比位能）。

p/ρg表示單位重量流體所具有的壓力能（比壓能）。

u²/2g表示單位重量流體所具有的動能（比動能）。

理想流體定常流動時，流束任意截面處的總能量均由位能、壓力能和動能組成。三者之和為定值，這正是能量守恒定律的體現。

3）理想流體總流定常流動的伯努利方程

（1）對流動的進一步簡化

總流的過流斷面較大，p、v等運動要素是在斷面上位置的分布函數。為了克服這個困難，需對流動做進一步的簡化。

① 緩變流動和急變流動　滿足下面條件的流動稱為緩變流動：在某一過流斷面附近，流線之間夾角很小，即流線近乎平行；在同一過流斷面上，所有流線的曲率半徑都很大，即流線近乎是一些直線。

也就是說，如果流束的流線在某一過流斷面附近是一組“近乎平行的直線”，則流動在這個過流斷面上是緩變的。如果在各斷面上均符合緩變的條件，則說明流體在整個流束上是緩變的。

不滿足上述條件的流動稱為急變流動。

在圖2.17所示的流束中，1、2、3斷面處是緩變流動。液體在緩變過流斷面上流動時，慣性力很小，滿足z+=const，即符合靜力學的壓力分布規律。

② 動量和動能修正系數　由前面可知，用平均流速v寫出的流量和用真實流速u寫出的流量是相等的，但用平均流速寫出其他與速度有關的物理量時，則與其實際的值不一定相同。為此我們引入一個修正系數來加以修正。

例如用平均流速寫出的動量是：

mv=（ρAvdt）v=ρAv²dt

而真實動量為：

因此動量修正系數β為：真實動量與用平均流速寫出的動量的比值。

即

　　 （2.27）

同樣動能修正系數α為：真實動能與用平均流速寫出的動能的比值。

即

　　 （2.28）

α和β是由速度在過流斷面上分布的不均性所引起的大于1的系數。其值通常是由實驗來確定，而在一般情況下，常取為1。

（2）理想流體總流定常流動的伯努利方程

液體沿圖2.18所示流束作定常流動，并假定在1、2兩斷面上的流動是緩變的。設過流斷面1的面積為A₁，過流斷面2的面積為A₂。在總流中任取一個微小流束，過流面積分別為dA₁和dA₂；壓力分別為p₁和p₂；流速分別為u₁和u₂；斷面中心的幾何高度分別為z₁和z₂。對這個微小流束可列出伯努利方程和連續性方程：

因此：

由于在A₁和A₂中dA₁和dA₂是一一對應的，因此上式兩端分別在A₁和A₂上積分后，仍然相等，即

　　 （2.29）

因流動在1、2斷面上是緩變的，故z+p/ρg=const。同時考慮到動能修正系數，并令A₁上的動能修正系數為α₁，A₂上的動能修正系數為α₂，則有：

　　 （2.30）

消去流量q得：

　　 （2.31）

此即為理想流體總流定常流動的伯努利方程。

4）實際流體的伯努利方程

實際流體的伯努利方程變為：

　　 （2.32）

其適用條件與理想流體的伯努利方程相同，不同的是多了一項h_ω，它表示兩斷面間的單位能量損失。h_ω為長度量綱，單位是m。

如果在上式兩端同乘ρg，則方程變為：

　　 （2.33）

式中，ρgh_ω=Δp表示兩斷面間的壓力損失。

在液壓系統中，油管的高度z一般不超過10m，管內油液的平均流速也較低，除局部油路外，一般不超過7m/s。因此油液的位能和動能相對于壓力能來說微不足道。例如設一個液壓系統的工作壓力為p=5MPa，油管高度z=10m，管內油液的平均流速v=7m/s，則壓力能p=5MPa；動能p_v=（1/2）ρv²=0.022MPa；位能p_z=ρgz=0.09MPa?？梢?，在液壓系統中，壓力能要比動能和位能之和大得多。所以在液壓傳動中，動能和位能忽略不計，主要依靠壓力能來做功，這就是“液壓傳動”這個名稱的來由。據此，伯努利方程在液壓傳動中的應用形式就是p₁=p₂+Δp或p₁-p₂=Δp。

由此可見，液壓系統中的能量損失表現為壓力損失或壓力降Δp。

5）伯努利方程的應用

（1）應用條件

① 流體流動必須是定常的。

② 所取的有效斷面必須符合緩變流動條件。

③ 流體流動沿程流量不變。

④ 適用于不可壓縮性流體的流動。

⑤ 在所討論的兩有效斷面間必須沒有能量的輸入或輸出。

（2）應用實例

例2.5　計算圖2.19所示的液壓泵吸油口處的真空度。

解　對油箱液面1—1和泵吸油口截面2—2列伯努利方程，則有：

如圖2.19所示油箱液面與大氣接觸，故p₁為大氣壓力，即p₁=p_a；v₁為油箱液面下降速度，v₂為泵吸油口處液體的流速，它等于液體在吸油管內的流速，由于v₁?v₂，故v₁可近似為零；z₁=0，z₂=h；Δp_ω為吸油管路的能量損失。因此，上式可簡化為：

所以泵吸油口處的真空度為：

由此可見，液壓泵吸油口處的真空度由三部分組成：把油液提升到高度h所需的壓力，將靜止液體加速到v₂所需的壓力，吸油管路的壓力損失。

2.3.4　動量方程

由理論力學知道，任意質點系運動時，其動量對時間的變化率等于作用在該質點系上全部外力的合力。

我們用矢量表示質點系的動量，而用∑F_i表示外力的合力，則有：

　　 （2.34）

現在我們考慮理想流體沿流束的定常流動。如圖2.20所示，設流束段1-2經dt時間運動到1'-2'，由于流動是定常的，因此流束段1'-2在dt時間內在空間的位置、形狀等運動要素都沒有改變。故經dt時間，流束段1-2的動量改變為：

　　 （2.35）

而

同理：

故

式中，β₁和β₂為斷面1和2上的動量修正系數。

于是得到：

　　 （2.36）

式中，∑是作用在該流束段上所有質量力和所有表面力之和。

式（2.36）即為理想流體定常流動的動量方程。此式為矢量形式，在使用時應將其化成標量形式（投影形式）：

　　 （2.37）

　　 （2.38）

　　 （2.39）

注：由1斷面指向2斷面的力取為“+”，由2斷面指向1斷面的力取為“-”。

例2.6　求圖2.21中滑閥閥芯所受的軸向穩態液動力。

解　取閥進出口之間的液體為研究體積，閥芯對液體的作用力為F_x，方向向左，則根據動量方程得：

取β₂=1，得：

F_x=-ρqv₂cosθ

而閥芯所受的軸向穩態液動力為：

F'_x=-F_x=ρqv₂cosθ

方向向右。即這時液流有一個試圖使閥口關閉的力。

例2.7　如圖2.22所示，已知噴嘴擋板式伺服閥中工作介質為海水，其密度ρ=1000kg/m³，若中間室直徑d₁=3×10^-3m，噴嘴直徑d₂=5×10^-4m，流量q=π×4.5×10^-6m³/s，動能修正系數與動量修正系數均取為1。試求：

① 不計損失時，系統向該伺服閥提供的壓力p₁。

② 作用于擋板上的垂直作用力。

解?、?根據連續性方程有：

根據伯努利方程有（用相對壓力列伯努利方程）：

② 取噴嘴與擋板之間的液體為研究對象列動量方程有：

ρq（0-v₂）=F

F=ρqv₂=（1000×π×4.5×10^-6×72）N=1.02N

式中，F為擋板對水的作用力，水對擋板的作用力為其反力（大小相等方向相反）。