2.2　液體靜力學

靜力學的任務就是研究平衡液體內部的壓力分布規律，確定靜壓力對固體表面的作用力以及上述規律在工程上的應用。

所謂平衡是指液體質點之間的相對位置不變，而整個液體可以是相對靜止的，如做等速直線運動、等加速直線運動或者等角速轉動等。由于液體質點間無相對運動，因此沒有內摩擦力，即液體的黏性不被表現。所以靜力學的一切結論對于理想流體和實際流體都是適用的^[3]。

2.2.1　靜壓力及其特性

（1）靜壓力的定義

為了使液體平衡，必須作用以平衡的外力系。這時外力的作用并不改變液體質點的空間位置，而只改變液體內部的壓力分布。由于外力的作用而在平衡液體內部產生的壓力，稱為流體的靜壓力。靜壓力是一種表面力，用單位面積上的力來度量，亦稱為靜壓強，通常用p來表示。

當液體面積ΔA上作用有法向力ΔF時，液體某點處的壓力即為：

　　 （2.13）

靜壓力是作用點的空間位置的連續函數，即p=p（x，y，z）。

（2）靜壓力特性

① 靜壓力的方向永遠是指向作用面的內法線方向，即只能是壓力。

② 作用在任一點上靜壓力的大小只決定于作用點在空間的位置和液體的種類，而與作用面的方向無關。

由上述性質可知，靜止液體總是處于受壓狀態，并且其內部的任何質點都是受平衡壓力作用的。

2.2.2　重力作用下靜止液體中的壓力分布（靜力學基本方程）

如圖2.3（a）所示，密度為ρ的液體，外加壓力為p₀，在容器內處于靜止狀態。為求任意深度h處的壓力p，可以假想從液面往下選取一個垂直液柱作為研究對象。設液柱的底面積為ΔA，高為h，如圖2.3（b）所示。由于液柱處于平衡狀態，于是有：

pΔA=p₀ΔA+ρghΔA

由此得：

　　 （2.14）

式（2.14）稱為液體靜力學基本方程式。由式（2.14）可知，重力作用下的靜止液體，其壓力分布有如下特點：

① 靜止液體內任一點處的壓力由兩部分組成：一部分是液面上的壓力p₀，另一部分是液柱自重產生的壓力ρgh。當液面上只受大氣壓力p_a作用時，液體內任一點處的壓力為p=p_a+ρgh。

② 靜止液體內的壓力隨液體深度按線性規律分布。

③ 離液面深度相同處各點的壓力都相等（壓力相等各點組成的面稱為等壓面。在重力作用下靜止液體中的等壓面是一個水平面）。

例2.1　如圖2.4所示，一種海水液壓系統的容器內盛有海水。已知海水的密度ρ=1025kg/m³，活塞上的作用力F=1000N，活塞的面積A=1×10^-3m²，假設活塞的重量忽略不計。問活塞下方深度為h=0.5m處的壓力等于多少？

解　活塞與液體接觸面上的壓力為：

根據式（2.14），深度為h處的海水壓力為：

p=p₀+ρgh=（10⁶+1025×9.8×0.5）N/m²=1.0050225×10⁶N/m²≈10⁶Pa

從本例可以看出，海水在受外界壓力作用的情況下，由海水自重所形成的那部分壓力ρgh相對很小，在液壓傳動系統中可以忽略不計，因而可以近似地認為液體內部各處的壓力是相等的。以后我們在分析海洋裝備液壓傳動系統的壓力時，一般都采用此結論。

2.2.3　壓力的表示方法和單位

1）壓力的表示方法

壓力有兩種表示方法，即絕對壓力和相對壓力。以絕對真空為基準來進行度量的壓力叫作絕對壓力；以大氣壓為基準來進行度量的壓力叫作相對壓力。大多數測壓儀表都受大氣壓的作用，所以，儀表指示的壓力都是相對壓力，故相對壓力又稱為表壓。在液壓與氣壓傳動中，如不特別說明，所提到的壓力均指相對壓力。如果液體中某點處的絕對壓力小于大氣壓力，則比大氣壓小的那部分數值稱為這點的真空度。

由圖2.5可知，以大氣壓為基準計算壓力時，基準以上的正值是表壓力；基準以下的負值就是真空度。

2）壓力的單位

在工程實踐中用來衡量壓力的單位很多，最常用的有三種：

（1）用單位面積上的力來表示

國際單位制中的單位為：Pa（N/m²）、MPa。

1MPa=10⁶Pa

（2）用（實際壓力相當于）大氣壓的倍數來表示

在液壓傳動中使用的是工程大氣壓，記做at。

1at=1kgf/cm²=1bar（巴）

（3）用液柱高度來表示

由于液體內某一點處的壓力與它所在位置的深度成正比，因此亦可用液柱高度來表示其壓力大小，單位為m或cm。

這三種單位之間的關系是：

1at=9.8×10⁴Pa=10mH₂O=760mmHg

例2.2　圖2.6所示的容器內充入10m高的海水。試求容器底部的相對壓力（海水的密度ρ=1025kg/m³）。

解　容器底部的壓力為p=p₀+ρgh，其相對壓力為p_r=p-p_a，而這里p₀=p_a，故有：

p_r=ρgh=（1025×9.81×10）Pa=100552.5Pa

例2.3　海水中某點的絕對壓力為0.7×10⁵Pa，試求該點的真空度（大氣壓取為1×10⁵Pa）。

解　該點的真空度為：

p_v=p_a-p=（1×10⁵-0.7×10⁵）Pa=0.3×10⁵Pa

該點的相對壓力為：

p_r=p-p_a=（0.7×10⁵-1×10⁵）Pa=-0.3×10⁵Pa

即真空度就是負的相對壓力。

2.2.4　靜止液體中壓力的傳遞（帕斯卡原理）

設靜止液體的部分邊界面上的壓力發生變化，而液體仍保持其原來的靜止狀態不變，則由p=p₀+ρgh可知，如果p₀增加Δp值，則液體中任一點的壓力均將增加同一數值Δp。這就是靜止液體中壓力傳遞原理（著名的帕斯卡原理），亦即：施加于靜止液體部分邊界上的壓力將等值傳遞到整個液體內。

如圖2.4所示，活塞上的作用力F是外加負載，A為活塞橫截面面積，根據帕斯卡原理，容器內液體的壓力p與負載F之間總是保持著正比關系：

p=

可見，液體內的壓力是由外界負載作用所形成的，即系統的壓力大小取決于負載，這是液壓傳動中的一個非常重要的基本概念。

例2.4　圖2.7所示為相互連通的兩個液壓缸，已知大缸內徑D=0.1m，小缸內徑d=0.02m，大活塞上放置物體的質量為5000kg，問在小活塞上所加的力F為多大時，才能將重物頂起？

解　根據帕斯卡原理，由外力產生的壓力在兩缸中相等，即

G為物體的重力：G=mg

故為了頂起重物，應在小活塞上加的力為：

本例說明了液壓千斤頂等液壓起重機械的工作原理，體現了液壓裝置對力的放大作用。

2.2.5　液體靜壓力作用在固體壁面上的力

在液壓傳動中，由于不考慮由液體自重產生的那部分壓力，液體中各點的靜壓力可看作是均勻分布的。液體和固體壁面相接觸時，固體壁面將受到總液壓力的作用。當固體壁面為一平面時，靜止液體對該平面的總作用力F等于液體壓力p與該平面面積A的乘積，其方向與該平面垂直，即

　　 （2.15）

當固體壁面為曲面時，曲面上各點所受的靜壓力的方向是變化的，但大小相等。如圖2.8所示液壓缸缸筒，為求壓力油對右半部缸筒內壁在X方向上的作用力，可在內壁面上取一微小面積dA=lds=lrdθ（這里l和r分別為缸筒的長度和半徑），則壓力油作用在這塊面積上的力dF的水平分量dF_x為：

dF_x=dFcosθ=plrcosθdθ

由此得壓力油對缸筒內壁在X方向上的作用力為：

式中，A_x為缸筒右半部內壁在X方向的投影面積，A_x=2rl。

由此可知，曲面在某一方向上所受的液壓力，等于曲面在該方向的投影面積和液體壓力的乘積，即

　　 （2.16）