第1章　復雜系統與復雜網絡

1.1　復雜系統與復雜網絡簡介

1.1.1　復雜系統

系統^[1，2]在自然界和人類社會中是普遍存在的，如太陽系是一個系統，人體是一個系統，一個家庭是一個系統，等等。系統的種類很多，可以依據不同的原則對系統進行分類。根據系統的本質屬性，從系統內子系統的關聯關系角度可劃分為簡單系統和復雜系統。簡單系統指組成系統的子系統或簡單個體數量較少，因而它們之間的關系也比較簡單，或盡管子系統數目多或巨大，但之間關聯關系比較簡單，也稱為簡單系統。另一類系統統稱為復雜系統，它們最主要的特征是系統具有眾多的子系統和狀態變量，關聯及反饋結構復雜，輸入與輸出呈現非線性特征。

復雜系統試圖解釋在不存在中央控制的情況下，大量簡單個體如何自行組織成能夠產生模式、處理信息甚至能夠進化和學習的整體。這是一個交叉學科研究領域?！皬碗s”一詞源自拉丁詞根plectere，意為編織、纏繞。在復雜系統中，大量簡單成分相互纏繞糾結，而復雜性研究本身也是由許多研究領域交織而成。復雜系統專家認為，自然界中的各種復雜系統，比如昆蟲群落、免疫系統、大腦和經濟，這些系統在細節上很不一樣，但如果從抽象層面上來看，則會發現它們有很多有趣的共性。

（1）局部信息，沒有中央控制

在復雜系統中，個體一般都遵循相對簡單的規則，不存在中央控制或領導者。每個主體只可以從個體集合的一個相對較小的集合中獲取信息，處理“局部信息”，做出相應的決策。系統的整體行為是通過個體之間的相互競爭、協作等局部相互作用而涌現出來的。最新研究表明，在一個螞蟻王國中，每一只螞蟻并不是根據“國王”的命令來統一行動，而是根據同伴的行為以及環境調整自身行為，從而實現一個有機的群體行為。

（2）信號和信息處理

所有這些系統都利用來自內部和外部環境中的信息和信號，同時也產生信息和信號。

（3）智能性和自適應性

所有這些系統都通過環境和接收信息來調整自身的狀態和行為進行適應，即改變自身的行為以增加生存或成功的機會。系統在整體上顯現出更高層次、更加復雜、更加協調職能的有序性。

另外，復雜系統還具有突現性、不穩性、非線性、不確定性、不可預測性等特征。

現在我們可以對復雜系統加以定義^[3]:復雜系統是由大量可能相互作用的組成成分構成的網絡，不存在中央控制，通過簡單運作規則產生復雜的集體行為和復雜的信息處理，并通過學習和進化產生適應性。如果系統有組織的行為不存在內部和外部的控制者或領導者，則也稱之為自組織。由于簡單規則以難以預測的方式產生復雜行為，這種系統的宏觀行為有時也稱為涌現。這樣就有了復雜系統的另一個定義:具有涌現和自組織行為的系統。復雜性科學的核心問題是:涌現和自組織行為是如何產生的?

復雜系統理論是系統科學中的一個前沿方向，它是復雜性科學的主要研究任務。復雜性科學被稱為21世紀的科學，它的主要目的就是要揭示復雜系統的一些難以用現有科學方法解釋的動力學行為。與傳統的還原論方法不同，復雜系統理論強調用整體論和還原論相結合的方法去分析系統。目前，復雜系統理論還處于萌芽階段，它可能蘊育著一場新的系統學乃至整個傳統科學方法的革命。生命系統、社會系統都是復雜系統，復雜系統理論在系統生物學、生物系統、社會與經濟系統、計算機及通信系統、智能制造及智能交通等系統中具有重要的應用前景。

1.1.2　復雜網絡

網絡是一組項目的集合，將這些項目稱為節點，它們之間的連接，稱為邊。如果節點按照確定的規則連線，所得到的網絡就稱為規則網絡。如果網絡按照某種（自）組織原則方式連接，將演化成各種不同的網絡，稱為復雜網絡。近年來，復雜網絡引起了許多相關領域研究人員的關注。復雜網絡是具有復雜拓撲結構和動力學行為的大規模網絡，復雜網絡的節點可以是任意具有特定動力學和信息內涵的系統的基本單位，而邊則表示這些基本單位之間的關系或聯系。例如，Internet網、WWW網絡^[4，5]、社會關系網絡^[6～11]、無線通信網絡、食物鏈網絡^[12]、科研合作網^[13～16]、流行病傳播網絡等都是復雜網絡，如圖1-1所示。生活中存在著大量的復雜網絡，這促使人們去研究這些復雜網絡的行為。

錢學森先生給出了復雜網絡的一個較嚴格的定義:具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質的網絡稱為復雜網絡。從目前的研究來看，復雜網絡主要包含兩層含義:一，它是大量真實系統的拓撲抽象;二，它介于規則網絡和隨機網絡之間，比較難以實現，目前還沒有生成能夠完全符合統計特征的復雜網絡。

復雜網絡，簡而言之，即呈現高度復雜性的網絡。汪小帆教授、李翔教授、陳關榮教授在《網絡科學導論》^[17]一書中指出，復雜網絡的復雜性主要表現在以下幾個方面。

① 結構復雜性。表現在網絡節點數目巨大。由于節點連接的產生與消失，網絡結構不斷發生變化。例如WWW，網頁或鏈接隨時可能出現或斷開，節點之間的連接具有多樣性。例如節點之間的連接權重存在差異，且有可能存在方向性。從而，網絡結構呈現多種不同特征。

② 節點多樣性。復雜網絡中的節點可以代表任何事物，例如，人際關系構成的復雜網絡節點代表單獨個體，萬維網組成的復雜網絡節點可以表示不同網頁。而且，在同一個網絡中可能存在多種不同類型的節點。例如，控制哺乳動物細胞分裂的生化網絡就包含各種各樣的基質和酶。

③ 動力學復雜性。節點集可能屬于復雜非線性行為的動力系統。例如節點狀態隨時間發生復雜變化。

④ 多重復雜性融合。即以上多重復雜性相互影響，導致更為難以預料的結果。例如，設計一個電力供應網絡需要考慮此網絡的進化過程，其進化過程決定網絡的拓撲結構。當兩個節點之間頻繁進行能量傳輸時，它們之間的連接權重會隨之增加，通過不斷的學習與記憶逐步改善網絡性能。

圖1-2為復雜網絡示例。

目前，復雜網絡研究的內容主要包括:網絡的幾何性質、網絡的形成機制、網絡演化的統計規律、網絡上的模型性質以及網絡的結構穩定性、網絡的演化動力學機制等問題。其中在自然科學領域，網絡研究的基本測度包括:度及其分布特征、度的相關性、集聚程度及其分布特征、最短距離及其分布特征、介數及其分布特征，連通集團的規模分布等。

網絡化是今后許多研究領域發展的一個主流方向，因此對復雜網絡的研究具有重大的科學意義和應用價值。

定義1-1　如果一個網絡中的任意兩個節點之間都有邊直接相連，那么就稱這個網絡為全局耦合網絡（如圖1-3所示）。如果一個網絡中，每一個節點只和它周圍的鄰居節點相連，那么就稱該網絡為最近鄰耦合網絡。

在具有N個節點的所有網絡中，全局耦合網絡具有最多的邊數N（N-1）/2。最近鄰耦合網絡是最普通的規則網絡，屬于該類的常見網絡有三種:一維鏈、二維網格和一般最近鄰耦合網絡，如圖1-4所示。三者的相同之處在于每個節點只與靠近自己的節點相連，而與遠離自己的節點不相連;不同之處在于每個節點的鄰點數不同。而對于擁有N個節點的最近鄰耦合網絡，網絡中的每個節點至少有兩個鄰點，最多有k個鄰點，k必須為偶數且不大于N。