第1章　復雜系統(tǒng)與復雜網(wǎng)絡(luò)

1.1　復雜系統(tǒng)與復雜網(wǎng)絡(luò)簡介

1.1.1　復雜系統(tǒng)

系統(tǒng)^[1，2]在自然界和人類社會中是普遍存在的，如太陽系是一個系統(tǒng)，人體是一個系統(tǒng)，一個家庭是一個系統(tǒng)，等等。系統(tǒng)的種類很多，可以依據(jù)不同的原則對系統(tǒng)進行分類。根據(jù)系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，從系統(tǒng)內(nèi)子系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系角度可劃分為簡單系統(tǒng)和復雜系統(tǒng)。簡單系統(tǒng)指組成系統(tǒng)的子系統(tǒng)或簡單個體數(shù)量較少，因而它們之間的關(guān)系也比較簡單，或盡管子系統(tǒng)數(shù)目多或巨大，但之間關(guān)聯(lián)關(guān)系比較簡單，也稱為簡單系統(tǒng)。另一類系統(tǒng)統(tǒng)稱為復雜系統(tǒng)，它們最主要的特征是系統(tǒng)具有眾多的子系統(tǒng)和狀態(tài)變量，關(guān)聯(lián)及反饋結(jié)構(gòu)復雜，輸入與輸出呈現(xiàn)非線性特征。

復雜系統(tǒng)試圖解釋在不存在中央控制的情況下，大量簡單個體如何自行組織成能夠產(chǎn)生模式、處理信息甚至能夠進化和學習的整體。這是一個交叉學科研究領(lǐng)域。“復雜”一詞源自拉丁詞根plectere，意為編織、纏繞。在復雜系統(tǒng)中，大量簡單成分相互纏繞糾結(jié)，而復雜性研究本身也是由許多研究領(lǐng)域交織而成。復雜系統(tǒng)專家認為，自然界中的各種復雜系統(tǒng)，比如昆蟲群落、免疫系統(tǒng)、大腦和經(jīng)濟，這些系統(tǒng)在細節(jié)上很不一樣，但如果從抽象層面上來看，則會發(fā)現(xiàn)它們有很多有趣的共性。

（1）局部信息，沒有中央控制

在復雜系統(tǒng)中，個體一般都遵循相對簡單的規(guī)則，不存在中央控制或領(lǐng)導者。每個主體只可以從個體集合的一個相對較小的集合中獲取信息，處理“局部信息”，做出相應(yīng)的決策。系統(tǒng)的整體行為是通過個體之間的相互競爭、協(xié)作等局部相互作用而涌現(xiàn)出來的。最新研究表明，在一個螞蟻王國中，每一只螞蟻并不是根據(jù)“國王”的命令來統(tǒng)一行動，而是根據(jù)同伴的行為以及環(huán)境調(diào)整自身行為，從而實現(xiàn)一個有機的群體行為。

（2）信號和信息處理

所有這些系統(tǒng)都利用來自內(nèi)部和外部環(huán)境中的信息和信號，同時也產(chǎn)生信息和信號。

（3）智能性和自適應(yīng)性

所有這些系統(tǒng)都通過環(huán)境和接收信息來調(diào)整自身的狀態(tài)和行為進行適應(yīng)，即改變自身的行為以增加生存或成功的機會。系統(tǒng)在整體上顯現(xiàn)出更高層次、更加復雜、更加協(xié)調(diào)職能的有序性。

另外，復雜系統(tǒng)還具有突現(xiàn)性、不穩(wěn)性、非線性、不確定性、不可預(yù)測性等特征。

現(xiàn)在我們可以對復雜系統(tǒng)加以定義^[3]:復雜系統(tǒng)是由大量可能相互作用的組成成分構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，不存在中央控制，通過簡單運作規(guī)則產(chǎn)生復雜的集體行為和復雜的信息處理，并通過學習和進化產(chǎn)生適應(yīng)性。如果系統(tǒng)有組織的行為不存在內(nèi)部和外部的控制者或領(lǐng)導者，則也稱之為自組織。由于簡單規(guī)則以難以預(yù)測的方式產(chǎn)生復雜行為，這種系統(tǒng)的宏觀行為有時也稱為涌現(xiàn)。這樣就有了復雜系統(tǒng)的另一個定義:具有涌現(xiàn)和自組織行為的系統(tǒng)。復雜性科學的核心問題是:涌現(xiàn)和自組織行為是如何產(chǎn)生的?

復雜系統(tǒng)理論是系統(tǒng)科學中的一個前沿方向，它是復雜性科學的主要研究任務(wù)。復雜性科學被稱為21世紀的科學，它的主要目的就是要揭示復雜系統(tǒng)的一些難以用現(xiàn)有科學方法解釋的動力學行為。與傳統(tǒng)的還原論方法不同，復雜系統(tǒng)理論強調(diào)用整體論和還原論相結(jié)合的方法去分析系統(tǒng)。目前，復雜系統(tǒng)理論還處于萌芽階段，它可能蘊育著一場新的系統(tǒng)學乃至整個傳統(tǒng)科學方法的革命。生命系統(tǒng)、社會系統(tǒng)都是復雜系統(tǒng)，復雜系統(tǒng)理論在系統(tǒng)生物學、生物系統(tǒng)、社會與經(jīng)濟系統(tǒng)、計算機及通信系統(tǒng)、智能制造及智能交通等系統(tǒng)中具有重要的應(yīng)用前景。

1.1.2　復雜網(wǎng)絡(luò)

網(wǎng)絡(luò)是一組項目的集合，將這些項目稱為節(jié)點，它們之間的連接，稱為邊。如果節(jié)點按照確定的規(guī)則連線，所得到的網(wǎng)絡(luò)就稱為規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。如果網(wǎng)絡(luò)按照某種（自）組織原則方式連接，將演化成各種不同的網(wǎng)絡(luò)，稱為復雜網(wǎng)絡(luò)。近年來，復雜網(wǎng)絡(luò)引起了許多相關(guān)領(lǐng)域研究人員的關(guān)注。復雜網(wǎng)絡(luò)是具有復雜拓撲結(jié)構(gòu)和動力學行為的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)，復雜網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點可以是任意具有特定動力學和信息內(nèi)涵的系統(tǒng)的基本單位，而邊則表示這些基本單位之間的關(guān)系或聯(lián)系。例如，Internet網(wǎng)、WWW網(wǎng)絡(luò)^[4，5]、社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)^[6～11]、無線通信網(wǎng)絡(luò)、食物鏈網(wǎng)絡(luò)^[12]、科研合作網(wǎng)^[13～16]、流行病傳播網(wǎng)絡(luò)等都是復雜網(wǎng)絡(luò)，如圖1-1所示。生活中存在著大量的復雜網(wǎng)絡(luò)，這促使人們?nèi)パ芯窟@些復雜網(wǎng)絡(luò)的行為。

錢學森先生給出了復雜網(wǎng)絡(luò)的一個較嚴格的定義:具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱為復雜網(wǎng)絡(luò)。從目前的研究來看，復雜網(wǎng)絡(luò)主要包含兩層含義:一，它是大量真實系統(tǒng)的拓撲抽象;二，它介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機網(wǎng)絡(luò)之間，比較難以實現(xiàn)，目前還沒有生成能夠完全符合統(tǒng)計特征的復雜網(wǎng)絡(luò)。

復雜網(wǎng)絡(luò)，簡而言之，即呈現(xiàn)高度復雜性的網(wǎng)絡(luò)。汪小帆教授、李翔教授、陳關(guān)榮教授在《網(wǎng)絡(luò)科學導論》^[17]一書中指出，復雜網(wǎng)絡(luò)的復雜性主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

① 結(jié)構(gòu)復雜性。表現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)目巨大。由于節(jié)點連接的產(chǎn)生與消失，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化。例如WWW，網(wǎng)頁或鏈接隨時可能出現(xiàn)或斷開，節(jié)點之間的連接具有多樣性。例如節(jié)點之間的連接權(quán)重存在差異，且有可能存在方向性。從而，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)多種不同特征。

② 節(jié)點多樣性。復雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點可以代表任何事物，例如，人際關(guān)系構(gòu)成的復雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點代表單獨個體，萬維網(wǎng)組成的復雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點可以表示不同網(wǎng)頁。而且，在同一個網(wǎng)絡(luò)中可能存在多種不同類型的節(jié)點。例如，控制哺乳動物細胞分裂的生化網(wǎng)絡(luò)就包含各種各樣的基質(zhì)和酶。

③ 動力學復雜性。節(jié)點集可能屬于復雜非線性行為的動力系統(tǒng)。例如節(jié)點狀態(tài)隨時間發(fā)生復雜變化。

④ 多重復雜性融合。即以上多重復雜性相互影響，導致更為難以預(yù)料的結(jié)果。例如，設(shè)計一個電力供應(yīng)網(wǎng)絡(luò)需要考慮此網(wǎng)絡(luò)的進化過程，其進化過程決定網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)。當兩個節(jié)點之間頻繁進行能量傳輸時，它們之間的連接權(quán)重會隨之增加，通過不斷的學習與記憶逐步改善網(wǎng)絡(luò)性能。

圖1-2為復雜網(wǎng)絡(luò)示例。

目前，復雜網(wǎng)絡(luò)研究的內(nèi)容主要包括:網(wǎng)絡(luò)的幾何性質(zhì)、網(wǎng)絡(luò)的形成機制、網(wǎng)絡(luò)演化的統(tǒng)計規(guī)律、網(wǎng)絡(luò)上的模型性質(zhì)以及網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、網(wǎng)絡(luò)的演化動力學機制等問題。其中在自然科學領(lǐng)域，網(wǎng)絡(luò)研究的基本測度包括:度及其分布特征、度的相關(guān)性、集聚程度及其分布特征、最短距離及其分布特征、介數(shù)及其分布特征，連通集團的規(guī)模分布等。

網(wǎng)絡(luò)化是今后許多研究領(lǐng)域發(fā)展的一個主流方向，因此對復雜網(wǎng)絡(luò)的研究具有重大的科學意義和應(yīng)用價值。

定義1-1　如果一個網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個節(jié)點之間都有邊直接相連，那么就稱這個網(wǎng)絡(luò)為全局耦合網(wǎng)絡(luò)（如圖1-3所示）。如果一個網(wǎng)絡(luò)中，每一個節(jié)點只和它周圍的鄰居節(jié)點相連，那么就稱該網(wǎng)絡(luò)為最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)。

在具有N個節(jié)點的所有網(wǎng)絡(luò)中，全局耦合網(wǎng)絡(luò)具有最多的邊數(shù)N（N-1）/2。最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)是最普通的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，屬于該類的常見網(wǎng)絡(luò)有三種:一維鏈、二維網(wǎng)格和一般最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，如圖1-4所示。三者的相同之處在于每個節(jié)點只與靠近自己的節(jié)點相連，而與遠離自己的節(jié)點不相連;不同之處在于每個節(jié)點的鄰點數(shù)不同。而對于擁有N個節(jié)點的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點至少有兩個鄰點，最多有k個鄰點，k必須為偶數(shù)且不大于N。