第二章　坦克裝甲車輛可靠性理論基礎

第一節　理論基礎

一、可靠性的基本概念

1.可靠性的定義

可靠性是指產品在規定的條件下和規定的時間內，完成規定功能的能力。

在將這個定義應用到具體產品時，要特別注意這3個規定和1個能力。

（1）規定的時間　規定的時間是可靠性定義中的核心，因為不談時間就無可靠性而言，而規定時間的長短又隨著產品對象不同和使用目的不同而各異。例如，對發射衛星的運載火箭的要求是在幾十秒或幾分鐘內可靠；對坦克裝甲車輛的要求是在幾萬小時或幾十年內可靠。一般來說，產品的可靠性是隨著產品使用時間的延長而逐漸降低的。因此，一定的可靠性是對一定時間而言的。

（2）規定的條件　規定的條件一般是指使用條件、維護條件、環境條件和操作技術。對坦克來講，由于其長期訓練、機動作戰、定期檢測及可維修的特點，還特別規定了使用：環境條件、運輸條件、檢測周期及維修條件、保障條件等。

這些條件對產品的可靠性都會有直接的影響，在不同的條件下，同一產品的可靠性也不一樣。例如，實驗室條件與現場使用條件就不一樣，其可靠性有時可能相近，有時可能會相差幾倍到幾十倍。因此，不在規定的條件下談可靠性就失去了比較產品質量的前提。

（3）規定的功能　規定的功能一般用產品的各種性能指標來刻畫。通過試驗，產品的各項規定的性能指標都已達到，則稱產品完成了規定的功能，否則，則稱該產品喪失規定的功能。今后我們把產品喪失規定功能的狀態叫做產品發生“故障”或“失效”，相應的各項性能指標就叫做“故障判據”或“失效判據”。在具體進行可靠性工作中，合理、明確地給出“失效判據”是很重要的，否則對可靠性問題就會爭論不休。

（4）能力　只是定性地理解“能力”是不夠的，必須對它有定量的刻畫，以便說明產品可靠性的程度。這對提高產品可靠性、比較同類產品的可靠性都是重要的依據。由于產品在工作中發生故障具有偶然性，所以不能僅看一個產品的工作情況，而是應該在觀察大量同類產品之后，確定其可靠性的高低。因此，在可靠性定義中的“能力”就具有統計意義。例如，產品在規定的時間內、規定的條件下，失效數與產品總數之比越小，其可靠性就越高；或者產品在規定的條件下，平均無故障工作時間越長，其可靠性也越高。由于可靠性所研究的產品是相當廣泛的、各種各樣的，因此用來度量產品可靠性的“能力”也是多種多樣的。這里的“能力”通常是指各種可靠性指標，常用的可靠性指標有“可靠度”、“平均壽命”、“失效率”等，這些可靠性指標構成了可靠性的基本概念。

從以上對可靠性概念所作的解釋可以看出，可靠性就是在上述3個規定下，研究產品發生失效的統計規律性，從而為評定產品的可靠性、確定薄弱環節、排除故障、提高可靠性提供依據。

2.失效分布函數與平均壽命

（1）失效分布函數　產品喪失規定的能力稱為失效，或稱為故障。產品從開始工作到首次失效前的一段時間T稱為壽命。由于產品發生失效是隨機的，所以壽命T是一個隨機變量。不同的產品、不同的工作條件，壽命T取值的統計規律是不同的。設壽命T的分布函數為F（t），記為

F（t）=P（T≤t）

它表示在規定的條件下，產品的壽命不超過t的概率，或者說，產品在t時刻前發生失效的概率。可以看出，分布函數是取值在[0，1]內的點函數，并且有以下性質：

③分布函數F（x）是非降函數，即x₁<x₂時，有F（x₁）≤F（x₂）。

綜上所述，任一分布函數F（x）都是一個由0不斷增加到1的非降函數。

對可靠性而言，壽命T的分布函數F（x）常稱為失效分布函數，或稱為壽命分布函數。確定一種產品壽命的失效分布函數是一件非常重要和非常基礎的工作，因為以后的統計推斷大多以此為基礎。

概率可以用頻率來解釋，失效概率也可以采用頻率來解釋。例如，F（1000）=0.05意味著在0～1000h內，平均100件產品中大約有5件失效，還有95件產品的壽命大于1000h。反過來，也可以用頻率去估計概率。假如在t=0時刻有N件產品開始工作，而到t₀時刻有n（t₀）件產品失效（見圖2-1），則可以用頻率去估計時刻t₀的失效分布函數值F（t₀）。

假如壽命T是一個連續型隨機變量，那么其密度函數f（t）= F'（t），稱為失效概率密度函數，簡稱失效密度。我們通常說的“失效分布”，常指失效分布函數；假如它有密度函數，也可指失效密度。因為這二者之一確定了，產品壽命的統計規律也就完全確定了。

由于壽命T的取值總是非負實數，故對t<0，總有F（t）=0[或f（t）=0]。因此在以后給定失效分布時，只要對t≥0給出即可。

（2）平均壽命　設產品壽命T的失效概率密度函數為f（t），那么它的數學期望 （均值）

稱為產品的平均壽命。平均壽命是一個標志產品能工作多長時間的量，不少產品，如常用平均壽命作為可靠性指標。人們可以從這個指標直觀地了解一種產品的可靠性水平，也容易比較兩種產品在可靠性水平上的高低。平均壽命這個可靠性指標不是針對單個產品而言的，而是針對整批產品而言的概念。而實際需要的正是對整批產品而言的可靠性指標。其他的可靠性指標也都如此。

產品大體可分為兩類：一類是不可修復的產品，如燈泡、晶體管、軸承等；另一類是可以修復的產品，如坦克裝甲車輛。對不可修復的產品，平均壽命就是平均壽終時間，記為MTTF。對可修復的產品，平均壽命是指平均無故障工作時間，記為MTBF。假如我們僅考慮首次失效前的一段工作時間，那么兩者就沒有什么區別了。

產品的平均壽命（MTTF或MTBF）一般都是未知的，特別是在產品的失效分布未知的情況下，如何來估計產品平均壽命呢？一般是通過壽命試驗，用獲得的一些數據來估計的。由于可靠性壽命試驗往往是破壞性的，故只能抽取部分產品進行壽命試驗。這部分產品常稱為子樣，其中，每一個產品稱為樣品。

如果從樣品中抽取n個產品，經過壽命試驗獲得各樣品發生故障的時刻分別為t₁，t₂，…，t_n，那么n個數的算術平均值

就可用來估計該批產品的平均壽命。

對于平均壽命的估計，要注意以下幾點。

①從整批產品中抽取樣品要隨機化，即整批產品中每一個產品都以同等的概率被抽到。只有這樣才能使獲得的子樣代表整批產品，從而獲得的算術平均值才能代表整批產品的平均壽命。假如只在優等品中抽取樣品，那么獲得的算術平均值是不能代表整批產品的平均壽命的。要做到這一點，在技術上沒有什么難度，難處在于排除人為因素的干擾。

②樣品抽多少為宜，不宜劃一。一般說來，子樣愈大，估計結果愈精確，但也要考慮到經濟問題和試驗設備問題。對價格低、試驗費用小的產品，子樣可以抽得多一些；對價格高、試驗費用多的產品，子樣可抽得少一些；對元器件子樣可抽得多一些，對整機子樣可抽得少一些；對可修復產品子樣可抽得多一些，對不可修復產品子樣可抽得少一些。

③對于某些產品，即使子樣不太大，但要等全部試驗都做完 （稱為完全樣本試驗）再估計平均壽命，那就需要等很長時間。有時不等試驗全部做完，而只是部分樣品失效（如50%失效、60%失效等，這一類壽命試驗稱為截尾壽命試驗），就要對平均壽命做出估計。這時就不能用子樣的算術平均值去估計平均壽命，而要用另外的估計公式；這些公式的推導就要用到產品的壽命分布。

3.可靠度函數與可靠壽命

（1）可靠度函數 “可靠性”這個詞有廣義的和狹義的兩種解釋。把“可靠性”看做一門學科，也即廣義的解釋，是指“產品在規定的條件下和規定的時間內，完成規定功能的能力”假如把“可靠性”看做一個質量指標，那么是指“產品在規定的條件下和規定的時間內，完成規定功能的概率”。兩者間的差別僅在于后者把“能力”換成“概率”。為了區別這兩種解釋，通常把可靠性的狹義解釋稱為可靠度。

產品在規定的時間t內和規定的條件下，完成規定功能的概率稱為產品的可靠度函數，簡稱可靠度R（t）。

從這個定義不難導出可靠度函數的數學表達式。設T是產品在規定條件下的壽命，F（t）是它的失效分布函數，此時下列3個事件是等價的：

①產品在時間t內完成規定的功能；

②產品在時間t內無失效；

③產品的壽命T大于t。

于是產品的可靠度函數R（t）可以看做是事件T>t的概率，即

這個概率也可以用頻率來解釋。例如R（1000）=0.95意味著在 1000h內，平均100件產品大約有95件產品能完成規定的功能，而大約有5件產品發生了故障。反過來，也可以用頻率去估計概率。假如在t=0時有N件產品開始工作，而到t時刻，有n（t）件產品失效，N-n（t）件產品在繼續工作（見圖2-2），則頻率

可作為時刻t的可靠度函數值的估計值。

假如已知產品的失效分布函數為F（t），那么可靠度函數R（t）可從F（t）求出，這是

因為

或R（t）+F（t）=1

圖2-3顯示了R（t）與F（t）之間的關系。再由分布函數的性質可得到R（t）的性質，即：

③R（t）是t的非增函數。

假如壽命T是連續型隨機變量，其失效密度函數為f（t），則有

從上述討論可以看出，可靠度函數R（t）可以由失效分布函數F（t）或失效密度函數f（t）完全確定。反之，由R（t）也可以唯一確定相應的F（t）和f（t）。因此，R（t）與F（t）和f（t）一樣可以用來描述壽命T取值的統計規律。對可靠性而言，給出R（t）就等價于給出了其失效分布。

平均壽命E（T）也可直接從可靠度R（t）求得，假如可靠度R（t）滿足tli_→m_∞（tR（t））=0，那么利用分部積分法可得

這個結果表明，平均壽命在幾何上等于R（t）與時間軸t所夾的面積。

（2）可靠壽命　設產品的可靠度函數為R（t），使可靠度等于給定值r的時間t稱為可靠壽命。

可靠度函數R（t）是時間t的非增函數。在開始工作時t=0，有R（0）=1；隨著工作時間的增加，R（t）逐漸下降。反之，若知道了可靠度函數，則對于給定的可靠度r，可求得產品可靠度降到r的時間。這個時間稱為可靠壽命，r稱為可靠水平，滿足

R（t_r）=r

特別地，可靠水平r=0.50的可靠壽命t_0.50稱為中位壽命，可靠水平r=e^-1的可靠壽命t_e^-1稱為特征壽命。

從定義中可以看出，產品工作到可靠壽命t_r，大約有100（1-r）%產品已經失效；產品工作到中位壽命t_0.50，大約有一半失效；產品工作到特征壽命t_e^-1，大約有63.2%產品失效。

在討論試驗方案時，人們對被驗證產品的B₁₀壽命比較感興趣，因為產品的B₁₀壽命是人們比較關心的壽命，是在產品可靠性設計中經常使用的。

B₁₀壽命就是產品可靠度為90%的可靠壽命t_0.90，也就是產品僅僅發生10%失效所對應的壽命長度，于是有t_0.90=B₁₀。

4.失效率函數

（1）失效率的概念　產品的失效率是可靠性理論中的重要概念，在實踐中它又是可靠性的重要指標，不少產品就是用失效率來確定其等級的。已工作到時間t的產品，在時刻t后單位時間內發生失效的概率稱為該產品在時刻t的失效率函數，簡稱失效率，記為λ（t）。

先把上述定義中的概率理解為頻率，對失效率概念作一些直觀的解釋，便于正確地理解它的含義，然后再來推導失效率的數學表達式。

設在t=0時有N個產品開始工作，到時刻t有n（t）個產品失效，還有N-n（t）個產品在繼續工作，為了考察時刻t后產品的失效情況，再觀察Δt時間。假如在t到t+Δt時間內又有Δn個產品失效（見圖2-4），那么在時刻t尚有N-n（t）個產品繼續工作的條件下，在時間（t，t+Δt）內失效的頻率為

于是產品工作到時刻t之后，每單位時間內發生的失效的頻率為

這個量可以用來估計在時刻t的失效率λ（t）。由于頻率有穩定性，所以當N愈大，Δt愈小時，這個估計就愈精確。

從上述分析中看出，講失效率是有條件的，“產品工作到時刻t后”就是條件。式（2-9）分母中的N—n（t）就是隨著這種條件的變化而變化。因而失效率能非常敏感地反映出產品失效的變化速度。若無此條件，那么產品的失效頻率不是，而是，這時

可以用來估計在時刻t的失效概率密度函數f（t）。雖然f（t）也能反映產品失效的變化速度，但不夠敏感。因為式（2-10）分母中的N是不變的，能引起f（t）變化的只有Δn，所以它不如失效率能敏感地反映產品失效的變化速度。

下面將失效率的定義推出失效率λ（t）的數學表達式。

設T是在規定條件下產品的壽命，其失效分布函數為F（t），密度函數為f（t）。此時，事件“產品工作時刻t后”可表示為T>t，事件“產品在（t，t+Δt）內失效”可表示為t<T≤t+Δt；于是產品到時刻t后，在（t，t+Δt）內產品失效的概率可表示為條件概率P（t<T≤t+Δt|T>t）；把此條件概率除此時間間隔Δt以后，就得到Δt時間內的平均失效率；當Δt→0時，就得到在時刻t的失效率

由條件概率性質和事件包含關系，可知

于是有

進一步還可推得

式（2-13）和式（2-14）都是失效率的數學表達式。從這些關系式中可以看出，假如已知失效分布函數F（t）或f（t）或可靠度函數R（t），都可以導出λ（t）。總之，知道了產品的失效分布，就可以確定失效率函數λ（t）。

反之，假如已知產品的失效率λ（t），那么也可以求出產品的失效分布，這是因為可靠度函數R（t）滿足下列微分方程

兩邊對t積分可得

于是有

這些結果是很重要的，它不僅給出了從失效率λ（t）推出失效分布函數F（t）和f（t）的具體公式，而且還說明λ（t）與F（t）、f（t）、R（t）一樣重要，都是全面地描述產品壽命T取值規律的；它們之間是相通的，只是各個概念著重說明的側面不一樣，從而用途也就不一樣。

（2）失效率的單位　從失效率的估計公式可以給出失效率λ?（t）的公式為

其單位為%/h。

（3）產品的失效規律　人們在各種產品的使用和試驗中得到大量的數據，對它進行統計分析之后，發現一般產品的失效率λ和失效時間t的關系曲線有如圖2-5所示的形式。這條曲線通常被稱為浴盆曲線，它明顯地分為3段，對應著產品的3個時期。

①早期失效　早期失效的特點是失效率非常高，但隨著產品工作時間的增加，失效率迅速降低。這一階段產品失效的原因大多是由于設計和制造過程中的缺陷造成的。

使產品的失效率達到偶然失效期的失效率水平的時間稱為交付使用點。承制方為了盡快達到交付使用點，常常采用合理的篩選技術和負荷試驗，或者用其他方法將這些有缺陷的不可靠的產品盡快暴露出來，使余下的產品具有較低的失效率；一旦達到交付使用點的失效率水平，產品就可以出廠，并交付使用。

②偶然失效　偶然失效期也稱隨機失效期或穩定工作階段。這是產品（特別是整機）的最良好的工作時期。這一階段的特點是失效率較低且比較穩定，往往可以看做是常數。在這一階段內，產品失效常常是由于多種因素造成的；而每一種因素都不太嚴重，因此失效純屬偶然。在這一階段要盡力做好產品的維護和保養工作，使這一階段盡量延長。假如不注意這一點，就會使更新點提前到來。

③耗損失效期 “耗損失效期”是從材料的老化或機械磨損而引申到可靠性領域來的。耗損失效期的特點是失效率隨時間延長而急速增加；到了這一階段，大部分產品都開始失效，這時可針對不同情況采取一些補救措施。

5.任務可靠性與基本可靠性

（1）任務可靠性與基本可靠性的概念　任務可靠性與基本可靠性是在可靠性的發展中先后形成的兩個概念，它們既有相同點也有不同點。

①任務可靠性　產品在規定的任務剖面中完成規定功能的能力稱為任務可靠性。任務剖面是指產品在完成規定任務這段時間內所經歷的事件和環境的時序描述，其中包括任務成功或失效的判斷準則。

②基本可靠性　基本可靠性是指產品在規定條件下無故障的持續時間或概率，反映了產品對維修人力的要求。在確定基本可靠性的特征量時，應統計產品的所有壽命單位和所有的故障，而不能局限于發生在任務期間的故障，也不能局限于只危及任務成功的故障。

（2）任務可靠性與基本可靠性的區別　從任務可靠性和基本可靠性的定義可知，任務可靠性與基本可靠性主要有以下區別。

①壽命單位的統計不一樣　在計算任務可靠性時，只統計完成任務的過程中所包含的壽命單位，而把該產品在執行該次任務前的經歷作為條件；在計算基本可靠性時，必須統計整個壽命剖面內（或規定的時間內）所包含的壽命單位。

②故障的統計不一樣　在計算任務可靠性時，只統計危及任務完成的故障。在計算基本可靠性時，凡是需要維修的故障，不管它是否危及任務成功，均要進行統計。

③計算模型不一樣　在計算任務可靠性時，應根據產品真實的數學模型進行計算。因此，就可能有多個計算模型。

在計算基本可靠性時，一律按串聯模型計算，顯然只有一個計算模型。

6.固有可靠性與使用可靠性

（1）固有可靠性與使用可靠性的概念

①固有可靠性　由產品的設計、制造所決定的可靠性稱為固有可靠性，它假設使用條件是理想的。顯然，產品的固有可靠性也是產品的固有屬性，一旦產品的設計定型，制造工藝定型，產品的固有可靠性就是確定的值。

②使用可靠性　由產品的設計、制造、安裝、貯存、運輸、使用等綜合因素決定的可靠性稱為使用可靠性。產品的使用可靠性應是使用方和研制方共同關心的焦點。

（2）固有可靠性與使用可靠性的區別　由固有可靠性和使用可靠性的定義可知，產品的固有可靠性與使用可靠性是不相同的，主要是因為產品設計、制造所依據的條件不可能與實際使用條件完全相同，同時也可能在生產中偏離了設計定型、制造工藝定型所規定的要求，如某些原材料、元器件的代用及操作工人技術水平差別引起的制造工藝差異等，都會使產品的固有可靠性發生變化。

7.條件概率、全概率公式與貝葉斯公式

（1）條件概率　對許多問題的研究，往往是在某些事件已發生之后才進行討論的，那么在事件發生前和發生后來討論同一問題時可能會由于條件的變化而得出不同的結果。

算得的概率實際上是“在已知事件B發生的條件下，事件A發生的概率”，這個概率稱為條件概率，記為P（A|B）。

下面給出條件概率的定義。

設A和B為隨機事件，P（B）>0，則稱

為在事件B發生的條件下，A發生的條件概率。

由式（2-21）可得到

若還有P（A）>0，則也可定義P（B|A）這時有

（2）全概率公式　在可靠性研究工作中常常要遇到一些復雜事件的概率計算，為了解決這些問題，經常先把一個復雜事件分解為若干個不相容的簡單事件，再分別計算這些簡單事件的概率，最后利用概率的可加性得到最終結果。這里，全概率公式起著很重要的作用。

設事件A₁，A₂，…，A_i，…是樣本空間Ω的一個分割，即A_i兩兩互不相容，P（A_i）>0，i=1，2，…，而且

則對任一隨機事件B，有

這里A_iB也兩兩互不相容。

由概率的完全可加性

再由式（2-23）得

式（2-27）稱為全概率公式。

（3）貝葉斯（Bayes）公式　全概率公式是借助于一組完備事件組｛A_k｝來求某一事件B的概率，而貝葉斯公式則與之相反，是在已知某一事件B已發生的條件下，求完備事件組中某個A_k發生的條件概率，具體表述如下。

設｛A_k｝為完備事件組，即滿足以下條件：

或P（B）>0，則對任意的k（1≤k≤n）有

【證明】由式（2-23）得

P（A_kB）=P（B）P（A_k|B）=P（A_k）P（B|A_k）

從而有

對P（B）再用全概率公式（2-27）代入，即得式（2-28）。

貝葉斯公式在可靠性分析中應用很廣泛。

二、可靠性指標體系

由于產品的多樣性導致可靠性參數的多樣性，對于那些復雜的多功能系統的產品需要建立一個可靠性指標體系，從不同的側面全面地描述產品的可靠性。

1.指標體系的定義

在產品可靠性設計和管理過程中，為使產品在運行中能夠完成或達到所規定的功能，并通過維修保持這種功能，要對產品提出可靠性和維修性要求，并將這些要求用一組能反映產品能力的可靠性與維修性指標定量描述，這組可靠性與維修性指標的組合為系統的可靠性與維修性指標體系。

2.指標體系選取的原則

（1）指標體系的完備性　在可靠性與維修性指標體系中，所有選定的指標組合在一起能完整地描述產品可靠性與維修性要求的各個方面，對坦克裝甲車輛來講，即在戰備完好、任務成功、維修人力費用和后勤保障費用等方面的要求。

（2）指標體系的階段性　當產品是一個復雜系統時，其任務剖面往往不止一個，應將產品的任務過程劃分為不同的階段，對每一個任務階段應有相應的可靠性與維修性指標和指標值，不同階段的指標和指標值可以不同。例如對坦克，在定型、批產品交付、定期檢測及訓練、作戰應用各階段均可提出不同的可靠性指標和指標值的要求。

（3）指標體系的層次性　一個復雜的系統，一般是由若干個不同功能的子系統構成的；而子系統又可以根據其功能、特性繼續分解。對每一分解層次上的功能子系統，都需要給出相應的可靠性與維修性指標。由于各個子系統的功能不同，所選取的指標也就不同。

（4）指標體系的適應性　指標系統的指標應與系統所要完成的任務、規定的功能及可能發生的故障模式相對應。例如，對于一個不可修系統，只需要提出可靠度指標；而對于一個可修系統，則不僅要提出可靠度指標，還需提出維修性指標。

（5）指標的可達性　指標應對系統可靠性起指導作用，在使用方向研制方提出的指標要求中應盡量排除一些研制方無法控制的因素。例如使用可靠度A₀，不僅與產品的保質期T₀、測試時間T_c、維修時間T_m有關，還與測試延遲時間T_cl、維修延遲時間T_ml有關，而測試延遲時間T_cl和維修延遲時間T_ml是產品使用中的管理工作造成的，研制方無法控制。因此，指標中不提使用可用度而提固有可用度。

（6）指標的可檢驗性　指標體系中所提出的各項指標應該都是可檢驗的。如果僅是提出而不進行檢驗，這些指標就根本不會落實。有些指標需要較多的試驗子樣才能得到檢驗，這時可把達到指標要求劃分為幾個階段；在定型時只需達到最低可接受值，并作出安排，保證其最終能驗證達到所需指標要求。

（7）指標參數間的相關性　有的可靠性參數相互間是相關的，在選擇時要注意其內在關系，以免相互矛盾。