第2章　彈性力學基本方程與變分原理

2.1　彈性力學基本方程

彈性力學的基本方程可分為3大類，即應力平衡方程、幾何變形方程和材料的物理方程。我們先從彈性力學的二維問題入手推導3類基本方程，然后將其推廣到三維問題。

2.1.1　應力平衡方程

作用在等厚度t的平面單元體上的應力和單位體積上的體力如圖2-1所示。

這里逗號表示偏微分，例如σ_x，x=?σ_x/?x。下面推導單元體的平衡方程：

　　

簡化得：

　　 同理由ΣY=0得： 　　

故平面應力單元體的平衡方程為：

　　 （2-1） 　　

對于三維的情況，應力單元體的平衡方程為：

　　 （2-2） 　　

平衡方程的矩陣形式：

　　 （2-3） 　　

A是微分算子，

　　是體積力向量， 　　

2.1.2　幾何變形方程（應變-位移關系）

圖2-2給出了一個平面問題的一般應變場，由位形o12轉變為位形o'1'2'。位移u、v是坐標的函數，增量u_，xdx與u或v相比是無窮小量。由定義：

同理：ε_y=v_，y

按工程上的定義，工程剪應變為直角的改變量。在小變形條件下，β₁≈tanβ₁，β₂≈tanβ₂，

故得平面問題的應變-位移關系：

　　 （2-4） 　　

可推廣得到空間問題的應變-位移關系：

　　 （2-5） 　　

寫成矩陣形式：

ε=Lu　　（2-6）

其中，　　L=A^T

2.1.3　物理方程（應力-應變關系）

由廣義胡克定律，有二維平面應力情況下的物理方程：

　　 （2-7） 　　

其逆形式為：

　　 （2-8） 　　

式中，E為彈性模量，G為剪切彈性模量，ν為泊松比，且有以下關系：

　　 （2-9） 　　

將以上二維平面問題的物理方程寫成矩陣形式，有：

ε=cσ　　（2-10）

或：

σ=Dε　　（2-11）

這里：c=D^-1

c稱為材料的柔度矩陣，D稱為材料的剛度矩陣。可將二維平面問題的物理方程推廣到三維情況，有：

　　 （2-12） 　　

其逆形式為：σ=Dε，定義拉梅常數：

，則：

　　 （2-13） 　　

用張量形式可表示為：

D_ijkl=2Gδ_ikδ_jl+λδ_ijδ_kl　　（2-14）

或：

　　 （2-15） 　　

特殊情況討論如下。

①平面應力　一個很薄的物體在其邊界上受平面內的外載荷，這樣的問題被稱為平面應力問題；如圖2-3（a）所示的圓環，它與中心桿件有緊配合而受內壓，它為一個平面應力問題，其應力σ_z，τ_xz和τ_yz取為零，這時，由胡克定律可得：

它的逆形式為

它也常寫為σ=Dε。

②平面應變　如果一個具有等截面的很長物體沿長度方向均受橫向外載，如圖2-3（b）所示，從中截取受有外載荷的一小段，這就可以按平面應變問題進行處理；這時ε_z，γ_zy，γ_yz為零，而σ_z不為零，其應力-應變關系可以直接推導為：

　　 （2-16） 　　

這里D為（3×3）矩陣，它建立3個應力分量和3個應變分量之間的聯系。

對于各向異性物體，若采用適當的取向主軸，也可以使用合適的D矩陣來描述材料。

2.1.4　邊界條件

彈性體的全部邊界用S表示。一部分邊界已知外力，稱為力邊界條件，用S_σ表示；一部分邊界已知位移，稱為位移邊界條件，用S_u表示，如圖2-4所示。

有：S=S_σ+S_u

（1）力邊界條件

由力學平衡方程，有力邊界條件（彈性體的內力和外力平衡）：

　　 （2-17） 　　

設邊界外法線方向余弦為n_x、n_y、n_z，則邊界上彈性體內力可表示為：

　　 （2-18） 　　

彈性體上的力邊界條件可用矩陣形式表示為：

　　 （2-19） 　　

其中：T=nσ，

（2）位移邊界條件

彈性體上的位移邊界條件可表示為：

　　 （2-20） 　　

用矩陣形式表示為：

　　 （2-21） 　　

彈性力學方程記作一般形式：

平衡方程：　　（在V內）

幾何方程：ε=Lu　　（在V內）

物理方程：σ=Dε　　（在V內）

邊界條件：