2.2　變分原理與加權余量法

2.2.1　變分原理

連續介質問題中經常存在著和微分方程及邊界條件不同的但卻是等價的表達形式，變分原理就是這種表達形式之一。現在討論一個連續介質問題的變分原理，首先建立一個標量泛函，它表達成一個積分形式：

　　 （2-22） 　　

式中，u是未知函數；F和E是特定的算子；Ω是求解域；Γ是Ω的邊界；Π則被稱為未知函數u的泛函。連續介質問題的解u使泛函Π對微小的變化δu取駐值，即泛函的變分等于零：

δΠ=0　?。?-23）

這種求得連續介質問題解答的方法稱為變分原理或變分法。

以廣泛用于有限元變分基礎的最小勢能原理為例，說明變分原理和微分方程及邊界條件的等價性。彈性體系統的總勢能可表示為：

　　 （2-24） 　　

在所有區域內滿足幾何關系、在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，真實位移使系統的勢能取最小值，此即最小勢能原理。

由上式變分條件（或能量取極值條件），δΠ_p=0（或），可得：

由Gauss定理可得：

由于在位移邊界上δu=0，S=S_σ+S_u，所以可表達成：

　　 （2-25） 　　

由變分的任意性，可得力平衡方程及力邊界條件。

早期的有限元法建立在虛功原理和最小勢能原理基礎上，隨著認識的加深，各國學者建立了基于不同變分原理的有限元法。如基于最小勢能原理及其修正形式；基于最小余能原理及其修正形式；基于Hellinger-Reissner二場廣義變分原理及其修正形式；基于Hu-Washizu三場廣義變分原理及其修正形式等。

2.2.2　加權余量法

對于已知工程中問題的微分方程及邊界條件，但變分的泛函尚未找到或根本不存在，就無法應用上節介紹的變分原理來建立有限元方程。基于微分方程等效積分形式的加權余量法是求解線性和非線性微分方程近似解的一種有效方法，它是一種獨立的數值求解方法，可以用加權余量法來建立有限元方程。

（1）微分方程的等效積分形式

工程中很多問題的實質可以歸結為未知函數應滿足的微分方程及邊界條件，表示為未知函數u在域Ω內滿足微分方程組（表示成向量形式）：

A（u）=0　?。?-26）

在邊界Γ（Ω的邊界）上滿足邊界條件：

B（u）=0　?。?-27）

設V及是任意的函數向量，則積分形式：

　　 （2-28） 　　

對所有的V和都成立，就是等效于滿足微分方程式（2-26）及邊界條件式（2-27），我們把式（2-28）稱為微分方程的等效積分形式。

（2）微分方程的等效積分弱形式

在很多情況下可以對式（2-28）進行分部積分得到另一種形式：

　　 （2-29） 　　

其中，C，D，E，F是微分算子，它們所包含的導數的階數比式（2-28）中的A低，這樣可降低對函數u的連續性要求，但卻提高了V及的連續性要求。由于在式（2-28）中對V及并無連續性要求，但適當提高它們的連續性要求并不困難，因為它們都是可選擇的函數。這種降低對函數u的連續性要求的做法，在有限元法中是非常重要的，因為這大大降低了單元的構造難度。式（2-29）稱為微分方程式（2-26）及邊界條件式（2-27）的等效積分弱形式。從形式上看弱形式對函數u的連續性要求降低了，但卻常常比原始的微分方程更逼近精確解。

（3）加權余量法

對于微分方程式（2-26）及邊界條件式（2-27）所表達的物理問題，未知場函數u可以采用近似函數來表示。近似函數是帶有待定參數的已知函數，一般形式是：

　　 （2-30） 　　

式中，a_i為待定參數；N_i為已知的試探函數（基函數或形函數）。把式（2-30）代入式（2-26）及式（2-27）將產生殘差（也稱為余量）R及：

　　 （2-31） 　　

在式（2-28）中我們用n個規定的函數來代替任意函數V及，即：

　　 （2-32） 　　

就可以得到近似的等效積分形式：

　　 （2-33） 　　

也可以寫成余量的形式：

　　 （2-34） 　　

式（2-33）或式（2-34）的意義是通過選擇待定參數a，強迫余量在某種平均意義上等于零。W_j和稱為權函數。余量的加權積分等于零就得到了一組求解方程，用以求解近似解的待定系數a，從而得到原問題的近似解。

對于等效積分弱形式［式（2-29）］，同樣可以達到它的近似形式：

　　 （2-35） 　　

使余量的加權積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權余量法，它是求微分方程近似解的一種有效方法。按照對權函數的選擇不同就得到不同的加權余量法，并賦以不同的名稱。常用的加權余量法有配點法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法，其中伽遼金法最為常用。伽遼金法將試探函數選為權函數，即：

　　 （2-36）