2.3　物料衡算和能量衡算

2.3.1　動量傳遞

在流動的流體中，動量由高速流體層向相鄰的低速流體層傳遞。動量傳遞影響速度分布和流動阻力的大小，并因此影響熱量和質量的傳遞。動量傳遞是化工設備研究和設計的基礎。動量傳遞的理論基礎是流體力學，主要研究對象是黏性流體流動。動量傳遞包括兩種機理：①分子動量傳遞，由分子熱運動和分子間的吸引力造成；②渦流動量傳遞，由流體微團的脈動（或渦旋）運動造成。

動量傳遞的前提是相鄰流體層間存在速度差異（速度梯度）和物質交換。設與平面相鄰的A、B兩流體層具有不同的速度，A層較快，動量較大，B層較慢，動量較小。當兩流體層間由于分子的熱運動或流體微團的脈動運動而發生物質交換時，動量便由A層傳遞到B層，動量傳遞速率由動量通量表示。動量傳遞的結果是使層間出現剪切應力，大小等于動量通量。對于A層，剪切應力的方向與流動方向相反，阻滯流體的前進；對于B層，剪切應力的方向與流動方向相同，推動流體前進。

動量傳遞研究動量通量（即剪切應力）和速度梯度（即剪切應變率）的關系。對于分子尺度上的動量傳遞，剪切應力與剪切應變率的關系反映流體的力學屬性，據此可將流體分為理想流體、黏性流體、牛頓型流體和非牛頓型流體。對于微團尺度上的渦流動量傳遞，剪切應力與剪切應變率的關系與流體性質、流動空間的幾何形狀和尺寸、邊界表面狀況和流動速度等有關。剪切應力與剪切應變率的關系，常用于以牛頓第二定律為基礎的運動方程中，以求解速度分布和流動阻力。

2.3.2　納維、斯托克斯與納維-斯托克斯方程

克勞德-路易納維（Claude-Louis Navier，1785—1836，圖2-6），法國工程師與物理學家。1802年就讀于巴黎綜合理工學院，1804年繼續在國立橋路學校就讀，并于1806年畢業。1819年，確認了機械應力中的零線，修正了伽利略伽利萊的錯誤結果。1821年，納維將彈性理論以數學公式的形式表示。1824年當選法國科學院院士。1826年，確認彈性模量是材料的一個性質，和物體的截面二次軸矩無關。1830年時擔任國立橋路學校的教授，次年在巴黎綜合理工學院擔任微積分及力學的教授。納維的主要貢獻在力學領域，是結構分析的創始者之一，提出了納維-斯托克斯方程。納維是埃菲爾鐵塔上所刻的72人之一。

斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819—1903，圖2-7），英國力學家、數學家。1841年畢業于劍橋大學，1849年起任劍橋大學盧卡斯數學講座教授，1851年當選皇家學會會員，1852年被授予皇家學會朗福德獎，1854年起任學會秘書，1886年任皇家學會會長，1893年被授予皇家學會科普利獎。斯托克斯成為繼牛頓之后任盧卡斯講座教授、皇家學會秘書、皇家學會會長這三項職務的第二人。斯托克斯的主要貢獻是對黏性流體運動規律的研究。1845年，在《論運動中流體的內摩擦理論和彈性體平衡和運動的理論》論文中給出黏性流體運動的基本方程組，其中含有兩個常數，這組方程后稱為納維-斯托克斯方程，是流體力學中最基本的方程。1851年，斯托克斯在《流體內摩擦對擺運動的影響》的研究報告中，提出球體在黏性流體中作較慢運動時所受阻力的計算公式，指出阻力與流速和黏滯系數成比例，此即關于阻力的斯托克斯公式。斯托克斯發現了流體表面波的非線性特征，其波速依賴于波幅，并首次用攝動 方法處理了非線性波問題。斯托克斯對彈性力學也有研究，他指出各向同性彈性體中存在兩種基本抗力，即對體積壓縮的抗力和對剪切的抗力。在數學場論中，提出了線積分和面積分之間的轉換公式（斯托克斯公式）。斯托克斯為人謙遜，誨人不倦。例如，他早在1854年就預見到了Kirchhoff理論，有人認為他在這方面領先，但他堅持說他沒有看到其中的某些關鍵之處。

2.3.3　歐拉及其對流體力學的貢獻

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707—1783，圖2-8），瑞士數學家和物理學家，曾任彼得堡科學院教授，柏林科學院的創始人之一。歐拉是歷史上最偉大的數學家之一，為數學界做出了重要貢獻，更把數學推至幾乎整個物理領域。他是數學史上最多產的數學家之一，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學中的經典著作。歐拉對數學的研究非常廣泛，在數學的許多分支中可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理，如歐拉常數（無窮級數）、歐拉方程（流體動力學）、歐拉公式（復合變量）、歐拉數（無窮級數）、歐拉多角曲線（微分方程）、歐拉齊性函數定理（微分方程）、歐拉變換（無窮級數）、歐拉-傅里葉公式（三角函數）、歐拉-拉格朗日方程（變分學、力學）、歐拉-馬克勞林公式等。18世紀中葉，歐拉和其他數學家在解決物理問題過程中，創立了微分方程學。歐拉創立了許多符號，如用sin、cos等表示三角函數，用e表示自然對數的底，用f（x）表示函數，用∑表示求和，用i表示虛數等。歐拉第一個使用“函數”描述包含各種參數的表達式。

歐拉是剛體力學和流體力學的奠基人，彈性系統穩定性理論的開創者。他提出質點動力學微分方程可用于液體（1750）。他曾用兩種方法描述流體的運動，即分別根據空間固定點（1755）和確定的流體質點（1759）描述流體速度場，前者稱為歐拉法，后者稱為拉格朗日法。歐拉給出了反映質量守恒的連續方程（1752）和反映動量變化規律的流體動力學方程（1755），奠定了理想流體的理論基礎。歐拉數Eu等于ΔP/（ρu²），反映了流場壓力降與其動壓頭之間的相對關系，體現了流動過程中動量損失率的相對大小。另外，提出了歐拉角（剛體運動）、伯努利-歐拉定律（彈性力學）等。歐拉旺盛的精力和鉆研精神一直持續到生命的最后一刻。1783年9月18日下午，歐拉一邊逗小孫女玩，一邊思考著計算天王星的軌跡，突然，他從椅子上滑下來，嘴里輕聲說：“我死了”，一代科學巨匠就這樣停止了生命。

2.3.4　拉格朗日與拉格朗日法

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813，圖2-9），法國著名數學家、物理學家。1736年1月25日生于意大利都靈，1756年當選柏林科學院外籍院士，1766年接替L.歐拉，擔任柏林科學院物理數學部主任，1787年離開柏林到巴黎定居。1789年法國革命后，從事度量衡米制改革，擔任法國經度局委員，并講授課程。1795年，巴黎綜合工科學校成立，他和該校創立者G.蒙日（1746—1818）一起擔任主要的數學教員。他被拿破侖任命為參議員，封為伯爵。1813年4月10日卒于巴黎。

拉格朗日在數學、力學和天文學三個領域中都有歷史性貢獻。在數學上最突出的貢獻是使數學分析與幾何和力學脫離開來，使數學更為獨立，不再僅僅是其他學科的工具。拉格朗日是變分方法的奠基人之一，對代數方程的研究為伽羅瓦群論的建立起了先導作用。拉格朗日繼歐拉之后研究了理想流體運動方程，最先提出速度勢和流函數的概念，成為流體無旋運動理論的基礎。他在《分析力學》（1788）中從動力學普遍方程導出的流體運動方程，著眼于流體質點，描述每個流體質點自始至終的運動過程，稱為拉格朗日方法，以區別著眼于空間點的歐拉方法，但實際上這種方法歐拉也用過。1764—1778年，拉格朗日因研究月球平動等天體力學問題曾五次獲得法國科學院獎。

2.3.5　過堂風與連續性方程

過堂風指通過穿堂、過道或相對的門窗的風。連續性方程的應用條件是流體充滿整個管道，無泄漏，無積累。空氣流動雖然不符合這一條件，但根據連續性方程可以定性解釋這一現象：風通過穿堂、過道等處時，由于流道變窄，風速必然增大。在山口、樓宇之間風速較大，也是同樣原因。

2.3.6　流體動力學之父——丹尼爾·伯努利

瑞士的伯努利（Bernoulli）家族是數學史和科學史上最杰出的家族之一，在17、18兩世紀的三代人中出現了八位杰出的數學家和科學家。

杰可布·伯努利Ⅰ（JacobBernoulliⅠ，1654—1705）在數學上有很多貢獻，最重要的包括解析幾何、概率論和變分學三個領域。杰可布大大豐富了微積分學，他繼續萊伯尼茲的工作，對各種鏈線（catenary curves）作了詳盡研究，后來廣泛應用于建造吊橋和高壓線路。這些當時新穎而困難的問題，如今已成為微積分教科書或力學教科書中的練習題。另外還有統計和概率論中的伯努利分配和伯努利定理，微分方程中的伯努利方程，數論中的伯努利數和伯努利多項式，以及微積分中的伯努利雙扭線。杰可布·伯努利在1690年解答等容曲線（isochrone curve）問題中首次使用了積分（integral）。

約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）對微積分有很多貢獻。1696年洛必塔（Marquis de L'Hospital，1661—1704）出版了第一本微積分的教科書，實際上是由約翰·伯努利編寫而在金錢協議下讓于洛必塔的，計算不定式0/0的方法在后來的微積分教科書中被錯誤地命名為洛必塔法則。約翰·伯努利的研究相當廣博，包括與反射和折射相關的光學現象、曲線族垂直投射、解析三角、冪數計算等問題。約翰精力充沛，頭腦清晰，在他八十高齡臨終的前幾天仍在勤奮工作。約翰·伯努利的三個兒子尼古拉（Ⅲ）、丹尼爾（Ⅰ）和約翰（Ⅱ），均為18世紀著名的數學家和科學家。尼古拉（Ⅲ）（1695—1726）在數學上很早就嶄露頭角，后受聘于彼得堡科學院，八個月后不幸溺水而亡，他發表過曲線、微分方程和概率方面的論文。

丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782，圖2-10），1700年生于荷蘭格羅寧根，1716年獲哲學碩士學位，1721年獲巴塞爾大學醫學博士學位，1724年解決了微分方程中的里卡蒂方程，1725—1732年任俄國彼得堡科學院數學教授，1728年與歐拉一起研究彈性力學，1732-1750年回巴塞爾，教授解剖學、植物學和自然哲學，1750年任物理學教授和哲學教授，同年被選為英國皇家學會會員，1782年逝世于巴塞爾，終年82歲。丹尼爾是伯努利家族中成就最大的科學家。他對數學和物理學都做出了卓越貢獻。在數學方面，丹尼爾的研究涉及代數、概率論、微積分、級數理論、微分方程、弦振動理論等，提出了或然率期望值（moral expectation）的概念，是偏微分方程的拓荒者，曾被稱為數學物理的奠基人。在物理學方面，涉及天文、重力、潮汐、磁學等多個方面，其中對流體力學和氣體動力學的研究尤為突出。1738年出版的《流體動力學》是世界上第一本流體動力學的書，提出了著名的伯努利定理，這是流體力學的基本定理之一，因此被尊稱為流體動力學之父。在氣體動力學方面，利用氣體分子運動論解釋了氣體對容器壁的壓力，認為大量氣體分子的運動造成了對器壁的壓力，壓縮氣體的較大壓力是由于氣體分子數增多，相互碰撞更加頻繁所致。丹尼爾將級數理論用于力學的研究，這對力學發展具有重要意義。

2.3.7　伯努利方程的應用

飛機飛行的原理

飛機是比空氣重的飛行器，需要消耗自身動力獲得升力，升力源于飛行中空氣對機翼的作用（圖2-11）。機翼的上表面彎曲而下表面平坦，空氣流到機翼前緣，分成上、下兩股氣流，分別沿機翼上、下表面流過，在機翼后緣重新匯合向后流去。機翼上表面比較凸出，流管較細，流速加快，壓力降低；機翼下表面，流管較粗，流速較慢，壓力較大，從而產生升力。氣流方向與翼弦的夾角稱為迎角。在飛行速度等條件相同的情況下，獲得最大升力的迎角，稱為臨界迎角。在小于臨界迎角范圍內增大迎角，升力增大；超過臨界迎角后，再增大迎角，升力反而減小。升力、阻力與飛行速度的平方成正比。在機翼上一般裝有副翼和襟翼，操縱副翼可使飛機滾轉，放下襟翼可使升力增大。尾翼包括水平尾翼和垂直尾翼。水平尾翼由固定的水平安定面和可動的升降舵組成。垂直尾翼包括固定的垂直安定面和可動的方向舵。尾翼通常產生負升力，操縱飛機俯仰和偏轉，保證飛機平穩飛行。

飛機動力裝置主要有航空活塞式發動機加螺旋槳推進器、渦輪噴氣發動機、渦輪螺旋槳發動機等。現代高速飛機多使用噴氣式發動機，其原理是將空氣吸入，與燃油混合點火，爆炸膨脹后的空氣向后噴出，其反作用力推動飛機前進。

滑翔傘（圖2-12）的原理與飛機相似。由于速度是決定升力大小的重要因素，因此為了提高與氣流的相對運動速度，滑翔傘通常采用逆風起飛，以增大升力，縮短起飛助跑距離。另外，下雨撐傘時，若遇到風，常感到雨傘像要飛到天上似的，這是因為雨傘有圓弧面，造成上方空氣流速大，下方流速小，形成升力。

水翼艇

水翼艇（圖2-13）是一種在艇體裝有水翼的高速艦艇，能在水上飛行。水翼的上、下表面水流速不同，故在水翼的上、下表面產生了壓強差，產生了舉力。當水翼艇開足馬力達到一定速度時，水翼產生的舉力把艇體托出水面，使艇體與水面保持一定距離，減小了艦艇在水中的航行阻力，使之可以高速航行。

汽車氣流偏導器

汽車的外形是底盤平而車頂向上隆起，這一形狀和飛機機翼有著相同的空氣動力學效應，空氣會對車身產生向上的作用力，在高速行駛時導致車身不穩，容易失控。跑車尾部裝有氣流偏導器，其底部呈弧形，相當于倒置的飛機機翼。跑車行駛時，流過氣流偏導器上方的氣流速度小于下方氣流速度，故在其上、下表面產生壓強差，形成向下的壓力，增大驅動輪與地面的摩擦力，使跑車可以用更快的速度轉彎。但是，更大的下壓力通常也意味著更大的阻力。

船吸現象

1912年9月20日，當時世界上最大的遠洋郵輪之一奧林匹克號 （圖2-14）離開南安普敦的碼頭，開往紐約。在懷特島東北海域，奧林匹克號與高速航行的皇家海軍霍克號巡洋艦相遇，兩船近距離高速并行，忽然霍克號轉向，好像受到巨大引力似的向奧林匹克號沖去，最終7350t的霍克號和45000t級的奧林匹克號相撞，霍克號的艦首戳進奧林匹克號的船尾，兩船都嚴重受損，奧林匹克號上的1300名乘客被送回岸上。奧林匹克號在南安普敦修補之后，返回貝爾法斯特大修。英國的海事法庭宣布，發生碰撞的主要責任由奧林匹克號承擔。

其實，這次海上事故可以用伯努利方程解釋：當兩船平行航行時，兩船之間的水比外側的水流得快，壓強小，在外側水的壓力作用下，兩船漸漸靠近，最后相撞。現在，航海上將這種現象稱為“船吸現象”，世界海事組織對航海規則作了嚴格規定，包括兩船行駛時必須保持多大間隔，在通過狹窄地段時，小船與大船彼此應如何規避，等等。我們劃船時，有時想和另一艘船的朋友并行，但是會發現兩船總是莫名其妙地靠在一起，也是同樣道理。

同理，騎車時，如果有汽車從身旁急速駛過，我們會感到有一股力量將我們推向汽車。火車進站時，不能靠得太近，因為人和火車之間的空氣流速較大，壓力小，火車像有吸力將人吸過去。汽車在馬路上快速駛過后，馬路兩邊的樹葉會隨風飄動，這是因為汽車快速行駛時，馬路中間的空氣流速大，壓強小，兩側的氣壓將樹葉吹向中間。

屋頂為何被風掀飛？

龍卷風能將屋頂掀飛，但人們發現了一個奇怪現象：龍卷風發生前將門窗關嚴后再撤離的人家，大部分屋頂都被掀飛了，而走得匆忙忘記關門窗的人家屋頂大都保存了下來。這是因為龍卷風從屋頂快速刮過時，屋頂上方的空氣流動加快，氣體壓強變小，而屋頂下的空氣幾乎是不流動的。如果關嚴門窗，會使屋內的壓強大于屋外的壓強，一旦風速超過一定值，壓強差就會掀起屋頂。如果門窗沒關，屋內外氣壓平衡，因此屋頂就不會被掀開。

趣味實驗

取一只玻璃漏斗，開口朝下垂直放置，用嘴從漏斗的頸部向下吹氣，再將一個乒乓球放進漏斗的喇叭口中，可觀察到乒乓球被吸在漏斗的喇叭口內［圖2-15（a）］。如圖2-15（b）所示，取一只乒乓球放在水平桌面上，再取一支圓珠筆管，尖嘴端向下，用嘴沿豎直方向吹氣，當吹乒乓球側面時，球會向筆管的正下方滾。當筆管移動時，球也跟著移動。把球放在一塊傾角為45°左右的鏡面上，用筆管水平吹球的上側，乒乓球會在鏡面上旋轉不停而不掉下來。當筆管沿鏡面移動時，乒乓球也跟著在鏡面上移動。將硬紙片折成∩形，放在桌上，對著∩的開口吹氣，發現紙片像被粘在桌子上似的，無法吹翻。

球類運動中的弧旋球

足球比賽的前場直接任意球，通常是防守方在球門前組成一道“人墻”擋住進球路線，進攻方的主罰隊員起腳一記勁射，球繞過“人墻”，眼看就要偏離球門飛出時，卻又沿弧線轉過彎來直入球門，讓守門員措手不及，這就是神奇的“香蕉球”或弧旋球（圖2-16）。為什么足球在空中沿弧線飛行呢？因為運動員并不是踢足球的中心，而是稍稍偏向一側，使球在空中前進時不斷旋轉，這時，一方面空氣迎著球向后相對流動，另一方面，由于空氣與球之間的摩擦，球周圍的空氣又會被帶著一起旋轉。這樣，球一側空氣的流動速度加快，而另一側空氣的流動速度減慢，于是足球在壓力作用下，被迫向空氣流速大的一側轉彎。可以做一個簡單的實驗：用細線吊起一個空塑料瓶，用手旋轉塑料瓶，使其繞對稱軸旋轉（圖2-17），用電風扇向其吹風，塑料瓶向哪個方向移動呢？

汽化器與噴霧器

汽化器是向汽缸供給液體燃料與空氣混合物的裝置。當汽缸里的活塞做吸氣沖程時，空氣被吸入管內，在流經管的狹窄部分時流速增大，壓強減小，也稱文丘里 效應，汽油被吸入并被空氣噴成霧狀，形成油氣混合物進入汽缸。正是由于汽化器的發明和液體燃料的使用，汽車銷量開始增加，汽油也由過去主要用作清洗劑而一舉成為上等燃料。噴霧器的原理與汽化器相似。

本生與本生燈

煤氣燈，也稱本生燈，由羅伯特·威廉·本生（Robert Wilhelm Bunsen，1811—1899）發明。本生出生在德國的哥廷根，1830年以一篇物理學論文獲得了博士學位，1853年當選法國科學院院士，1858年當選英國皇家學會會員，1899年8月16日卒于海德堡。在本生燈發明前，煤氣燈中煤氣燃燒不完全，火焰很明亮但溫度不高。1853年，本生將其改進，先讓煤氣和空氣在燈管內充分混合，然后從噴嘴噴出燃燒，旋轉燈管或者下部的螺釘可以調節進氣量使煤氣燃燒完全，溫度可達2300℃，且沒有顏色（圖2-18）。如今的很多煤氣用具，如家用煤氣灶可以不燒黑鍋底，也都體現了本生燈的燃燒原理。

本生在他發明的燈上灼燒各種化學物質，發現鉀鹽灼燒時為紫色，鈉鹽為黃色，鍶鹽呈洋紅色，鋇鹽為黃綠色，銅鹽為藍綠色。起初，他認為他的發現會使化學分析極為簡單，只要辨別一下灼燒時的焰色，就可以定性判斷其化學成分。但后來發現事情絕非那樣簡單，因為在復雜物質中，各種顏色互相掩蓋，使人無法辨別，特別是鈉的黃色幾乎把所有物質的焰色都掩蓋了。本生試著用濾光鏡將各種顏色分開，效果比單純用肉眼觀察好一些，但仍不理想。1859年，本生和物理學家基爾霍夫合作將一架直筒望遠鏡和三棱鏡連在一起，設法讓光線通過狹縫進入三棱鏡分光，這就是第一臺光譜分析儀。他們合作分析各種物質，本生在物鏡一邊灼燒各種化學物質，基爾霍夫在目鏡一邊觀察、鑒別和記錄。1860年5月10日，本生和基爾霍夫在狄克海姆礦泉水中，發現了新元素銫；1861年2月23日，他們在分析云母礦時，發現了新元素銣。此后，光譜分析法被廣泛采用。1861年，英國化學家克魯克斯用光譜法發現了鉈；1863年，德國化學家賴希和李希特用光譜法發現了新元素銦，以后又發現了鎵、鈧、鍺等。本生和基爾霍夫創造的方法，可以研究太陽及其他恒星的化學成分，為以后天體化學的研究打下了堅實的基礎。1877年，本生和基爾霍夫共同獲得了戴維獎。1890年，本生獲得了英國工藝學會的何爾伯獎。本生在化學上建樹極多，他研究過火山和氣體，制作過本生電池和鎂照明材料。1853年，他發明了利用硫酸對游離碘進行容量分析的方法。1875年，對稀土元素光譜作了統一研究。晚年，他還制造了一架蒸氣量熱器，用來測定某些物質的比熱容。

本生對榮譽、勛章、獎章很淡漠，他對他的學生和朋友說：“這些榮譽和獎章的價值，全在于它們能使我的母親感到高興，可惜她已不在人世了。”本生不喜歡政治性的社交，尤其不喜歡和顯貴們交往，他認為那是浪費時間。1886年，海德爾堡大學舉行建校五百周年慶祝活動，邀請了許多顯貴參加紀念大會，校長和顯貴們紛紛致詞，許多人對本生的成就給予了高度評價，但本生卻睡著了。學生的活動驚醒了他，他說他夢見一支試管掉在了地上。本生為了事業終生未娶，有人曾給他介紹女友，他一次也沒有主動約會，在結婚的日子竟忘記了舉行婚禮的時間，并且就那樣不了了之。人們問他為什么不結婚，他說：“我總是沒有時間。”本生70歲時給他的好友寫信說：“垂暮之年，來日不多，回憶過去，最使我快樂的是我們共同進行的研究工作。”

馬里奧特恒速裝置

醫院輸液容器即為一馬里奧特恒速裝置。如圖2-19所示，為了使高位槽底部的液體流量不隨槽內液面的下降而減少，可將高位槽上端密封，并于高位槽底部設置一個與大氣相通的側管。液體從下管排出而使槽內上方空間形成真空，在大氣壓力作用下，側管中的液面開始下降，降至截面1時，空氣進入槽內補充，使截面1處的壓力始終為大氣壓力p₀。設p₁、p₂分別為截面1和截面2處的壓強，忽略截面1處流體的流速，在截面1、2之間列伯努利方程：

　　 （2-3） 　　

又　　 p₁=p₂=p₀

　　 所以 　　 　　 （2-4）

由此可見，只要液面下降不低于截面1，則h₂一定，流速一定；液面低于截面1后，由于h₂下降，出口流速相應減小。