3.7　多重分形消除趨勢波動分析（MFDFA）方法

3.5節中，時間序列多重分形計盒維數是基于標準配分函數多重分形形式體系，這也是早期對時間序列進行多尺度分析的方法，但該方法要求所研究的時間序列必須是平穩的。

如果所研究的數據呈現非平穩特征，那么對于非平穩序列來說，由于序列內在的自相似性和偽相關現象，將導致基于標準配分函數多重分形形式體系計算結果不合理。為了克服非平穩性帶來的局限性，2002年Kantelhardt對Peng等提出的DFA方法進行改進，得到了多重分形消除趨勢波動分析法（multifractal detrended fluctuation analysis，簡稱MFDFA）^［47］。目前MFDFA方法是一種針對非平穩序列的很好的多重分形分析方法。

MFDFA方法具體步驟如下^{［47～54］}：

第一步，對原始序列中的數據進行積分，積分方法如下：

　　（3-24）

式中　x_k——所需研究的時間序列；

k——時間序列中某一數據的序號，其取值范圍為k=1，2，…，N；

N——時間序列的總長度；

i——積分序列中某一數據的序號，其取值范圍為i=1，2，…，N；

——原始序列的平均值；

y_i——積分信號。

第二步，根據不同時間尺度s，將序列y_i分割成互不重疊的等長區間N_s。

　　（3-25）

式中　s——時間尺度。

由于N不一定被s整除，為了不舍棄尾部剩余部分，將序列y_i從尾部到頭部再次重復上述過程劃分一次，得到2N_s個區間。

第三步，對每一個時間序列子區間，利用最小二乘法進行直線擬合，得到最小平方直線，作為這一段里數據的局部趨勢。所有最小平方直線組合在一起，成為趨勢信號。然后對于給定的時間尺度s，用積分信號減去趨勢信號，得到每一個時間序列子區間的波動信號，

　　（3-26）

式中　λ——劃分的時間序列子區間，其取值范圍為λ=1，2，…，2N_s；

j——每一個時間序列子區間中某一數據的序號，其取值范圍為j=1，2，…，s；

F（s，λ）——給定的時間尺度s下，每一個時間序列子區間的波動信號；

y_λ（j）——每一個時間序列子區間的積分信號；

——每一個時間序列子區間的趨勢信號。

第四步，求出整個時間序列的q階波動函數

當q≠0時：

　　（3-27）

當q=0時：

　　（3-28）

式中　q——多重分形的階數；

F_q（s）——整個時間序列的q階波動函數。

第五步，對于每一個確定的q值，存在冪律關系：

　　（3-29）

式中　h（q）——q階廣義Hurst指數。

對于每一個時間尺度s，都可以求出對應的波動函數F_q（s），進而做出lnF_q（s）與ln（s）的函數關系圖，其變化率即為q階廣義Hurst指數h（q）。

當h（q）隨著q的變化始終為常數時，與q無關時，是獨立于q的常數，即時間序列的q階波動函數均相同，說明時間序列的局部結構是均勻一致的，原始序列則是單一分形。

當h（q）隨著q發生變化，說明時間序列的局部結構存在異質性，并非均勻一致的，此時原始序列為多重分形。不同的q描述了大小不同的波動對F_q（s）的影響。當q＜0時，波動函數F_q（s）主要受小波動F²的影響，此時h（q）主要描述了小波動的標度行為。而當q＞0時，波動函數F_q（s）主要受大波動F²（s，λ）的影響，此時h（q）主要描述了大波動的標度行為。

作為特例，當q=2時，MFDFA即轉變為DFA形式。此時的h（2）的物理意義與DFA指數α相同。

第六步：廣義Hurst指數h（q）與τ（q）滿足關系：

τ（q）=qh（q）-1　　（3-30）

式中　τ（q）——傳統多重分形的Renyi指數。

通過統計物理中的勒讓德變換，我們可以從τ（q）中計算多重分形譜f（α）。其計算公式如下：

　　（3-31）

f（α）=qα（q）-τ（q）　　（3-32）

式中　α（q）——q階矩的奇異性指數；

f（α）——多重分形譜函數。

多重分形譜中α～f（α）曲線通常是一個單峰函數；對于單一分形，它變成二維空間中的一個點。其中α描述了序列中各個區間不同的奇異程度。多重分形譜f（α）反映了具有奇異指數α的分形維數。

重要多重分形譜參數的物理意義與3.5節雷同，不再贅述。