3.8　去趨勢互相關分析（DCCA）方法

2008年Podobnik和Stanley首次提出一種去趨勢互相關分析法（detrended cross-correlation analysis，簡稱DCCA）^［55］。該方法針對兩組非平穩時間序列，可以有效避免由于數據非平穩性所導致的序列之間的偽相關現象，成為定量分析兩組非平穩時間序列相關性的最科學有效的方法，并可以直接從動力學特征上分析兩組非平穩序列之間的相互耦合作用的時間尺度特征。目前該方法已成功應用于金融市場、氣象因子、大氣污染等領域的相關性檢驗^{［56～64］}。

具體算法如下：

首先，對兩組原始序列中的數據進行積分，積分方法如下：

　　（3-33）

式中　x_i，y_i——所需研究的兩組非平穩時間序列；

i——時間序列中某一數據的序號，其取值范圍為i=1，2，…，N；

N——時間序列的總長度；

k——積分序列中某一數據的序號，其取值范圍為k=1，2，…，N；

，——原始序列的平均值；

x_k，y_k——積分信號。

其次，分別將這兩組積分信號x_k和y_k等間隔地分成長度為n的數據段。在每一小段里，利用最小二乘法進行直線擬合，得到最小平方直線，作為這一段數據的局部趨勢。所有最小平方直線組合在一起，成為趨勢信號和。

然后對于給定的時間尺度n，用積分信號減去趨勢信號，得到殘余信號，并求取兩組殘余信號的協方差，具體如下：

　　（3-34）

式中　F（n）——時間尺度n下對應的兩組殘余信號的協方差。

最后，取不同時間尺度n，重復上述兩步，得到不同時間尺度n下的F（n）。在雙對數坐標下做出lgn～lg［F（n）］曲線，如果滿足線性關系，則存在冪律關系

F（n）∝n^α　　（3-35）

式中　α——自相似性參數，即DCCA標度指數。

α=0.5，表示研究的兩組時間序列之間不存在長期互相關性，某一組時間序列任意時刻的值與另一組時間序列任意時刻的值無關，即兩組時間序列之間毫無關聯性。α＞0.5表明兩組時間序列之間存在持久的、冪律形式的長期相關性，即某一組時間序列中過去某一時刻大氣污染若呈增加（減小）的趨勢，將會對另一組時間序列未來的值造成影響，使其也將呈現相同的趨勢，這種互相關的影響在時間尺度上表現出的是無標度的冪律衰減形式。α越接近1，長期相關性就越強；若α＜0.5則意味著兩組時間序列之間具有反持久性的長期冪律相關性。