3.6　消除趨勢波動分析（DFA）方法

DFA（detrended fluctuation analysis）分析方法，即消除趨勢波動分析法，是一種改進的隨機步進的均方根分析方法，這種方法最初是由Peng等提出的^［41］。近幾年，該方法在廣泛學科領域中得到了發展和應用，被證明是檢測非平穩時間序列的長程相關特征的最重要、最可靠的工具之一^{［42～46］}。從動力學角度講，這種方法中變換的序列仍然殘留有原序列的痕跡，與原序列保持相同的持久性或反持久性；同時，變換后能夠濾除自身演化的趨勢成分，剩下的離差序列主要是波動成分。因而，較其他分形分析方法，如譜分析和R/S分析而言，它具有兩個優點：一是能夠檢測出包含于表面上看來不平穩的時間序列中內在的自相似性；二是能夠避免檢測出由于外在趨勢而導致的明顯的自相似性，即可消除人造非平穩時間序列中的偽相關現象。DFA方法的具體算法如下^{［28，41～46］}：

首先，對原始序列中的數據進行積分，積分方法如下：

　　（3-21）

式中　x_i——所需研究的時間序列；

i——時間序列中某一數據的序號，其取值范圍為i=1，2，…，N；

N——時間序列的總長度；

k——積分序列中某一數據的序號，其取值范圍為k=1，2，…，N；

——原始序列的平均值；

y（k）——積分信號。

其次，將積分信號y（k）等間隔地分成時間長度為n的數據段。在每一小段里，利用最小二乘法進行直線擬合，得到最小平方直線，作為這一段里數據的局部趨勢。所有最小平方直線組合在一起，成為趨勢信號（k），（k=1，2，…，N）。

然后對于給定的時間尺度n，用積分信號減去趨勢信號，得到波動信號，具體如下：

　?。?-22）

式中　F（n）——時間尺度n下對應的波動信號。

最后，取不同的時間尺度n，重復上述兩步，得到不同時間尺度n下的F（n）。通常情況下，F（n）都會隨著n增加而增大。在雙對數坐標下做出lgn～lg（F（n））曲線，如果滿足線性關系，則存在冪律關系

F（n）∝n^α　　（3-23）

式中　α——自相似性參數，即DFA指數。

α可以表明所分析的時間序列是否具有分形性質：α=0.5時，表示研究的時間序列不存在長期相關性，任意時刻的值與前一時刻的值無關，即序列是隨機的為白噪聲。當α不等于0.5時，意味著時間序列中存在長期相關性，時間序列的觀測值之間不是獨立的，每個觀測值都帶著它之前所發生的所有事件的“記憶”，具體情況還可以進一步區分如下：0.5＜α＜1時，表明時間序列中存在持久的、長時程冪律形式的相關性，即過去檢測的值若呈增加（減?。┑内厔?，未來檢測的值也將呈現相同的趨勢。α越接近1，這種持久性的行為就越強；若0＜α＜0.5，則意味著序列具有反持久性的長期冪律相關性，說明時間序列在前一個期間呈現增加（減?。┑内厔荩瑒t在后一個期間可能存在相反的趨勢，α越接近0，這種反持久性的行為就越強；當α=1時，序列為1/f噪聲；當α＞1時，表明序列中相關性存在但不是冪律關系形式；而當α=1.5時，則時間序列則為布朗噪聲。