3.5　多重分形計盒維數

時間序列多重分形計盒維數一般是通過計算機用盒維數法求出不均勻分布物理量的概率分布，再借助統計物理量的有關公式進行數值求解。具體方法為^{［23，35］}：

首先，我們對某一污染物的污染濃度進行歸一化處理，用C_i表示，

　　（3-13）

式中　i——某一時間點，i=1，2，…，N；

I_i——時間為i時所對應的該污染物的污染濃度；

C_i——時間為i時所對應的該污染物濃度的歸一化指數。

此時生成的新的時間序列為{C_i，i=1，2，…，N}，N為時間序列的長度。

其次，用時間分辨率ε將歸一化后的時間序列C_i分成許多不重疊的時間間隔。各個時間間隔中所有歸一化的污染濃度之和用概率函數P_j（ε）進行表征。

多重分形系統的配分函數χ（q，ε）為P_j（ε）的q階矩

　　（3-14）

式中　ε——時間分辨率；

q——矩的階數；

n——某一時間分辨率ε下時間序列C_i分成的時間間隔總數；

j——時間間隔數目的編號，其取值范圍為j=1，2，…，n；

——各個時間間隔中所有歸一化的污染濃度之和；

χ（q，ε）——多重分形配分函數。

若研究的時間序列具有多重分形特征，則在某一無標度區間內滿足如下的冪律關系

　　（3-15）

式中　τ（q）——q階矩的Renyi指數。

τ（q）可通過對lnχ（q，ε）～lnε雙對數曲線中線性區間的點進行最小二乘法回歸擬合來估算。若τ（q）與q不呈線性關系，而呈現凸函數關系，則研究的數據集具有多重分形特征。

通過統計物理中的勒讓德變換，我們可以從τ（q）中計算多重分形譜f（α）。其計算公式如下：

　　（3-16）

f（α）=qα（q）-τ（q）　　（3-17）

式中　α（q）——q階矩的奇異性指數；

f（α）——多重分形譜函數。

多重分形譜中α～f（α）曲線通常是一個單峰函數；對于單一分形，它變成二維空間中的一個點。

為了說明多重分形的物理意義，研究中采用了多重分形譜f（α）中的三個重要參數（B，Δα和Δf）。它們可以總體上反映出f（α）曲線的總體特征，并具有明確的物理意義^{［36～40］}。這為我們理解所研究的數據集的多重分形特征提供了重要的定量信息，依次闡述如下。

（1）Δα

Δα反映了在標度不變的情況下，整個分形結構上概率測度分布不均勻性的程度和過程的復雜性，刻畫了數據集的波動程度。Δα越大，歸一化指數概率測度分布越不均勻，數據波動越劇烈。Δα=0則對應完全均勻分布。

　　（3-18）

式中　α_max——某一時間分辨率ε下奇異指數的最大值；

α_min——某一時間分辨率ε下奇異指數的最小值；

P_max——濃度波動的最大概率子集；

P_min——濃度波動的最小概率子集。

（2）Δf

Δf主要體現了在標度不變的情況下，歸一化指數處于波峰（最高點）、波谷（最低點）位置數目的比例。若Δf＜0，表示指數更多地處于波谷；反之亦然。N_αmax和N_αmin分別代表了奇異指數最大值和最小值的數量。

　　（3-19）

式中　N_αmax——奇異指數最大值的數量；

N_αmin——奇異指數最小值的數量；

f（α_min）——最大概率事件的數量；

f（α_max）——最小概率事件的數量。

（3）B

參數B可由以下方程來擬合多重分形譜的α～f（α）曲線而得到，

　　（3-20）

式中　α₀——函數f（α）取得最大值處的α的取值；

A，B，C——代表不同的擬合參數。

參數B代表了曲線的不對稱性程度。若B＜0，則曲線形狀右傾，此時相對較高的分形指數占主導地位，歸一化指數較大的事件占優，其對應的數據集結構更“粗糙”；反之亦然。