3.4　計盒維數

分形盒維數是應用性最強的維數之一。盒維數定義為：

　　（3-11）

式中　A——n維歐氏空間Eⁿ的一個子集；

D（A）——集合A的計盒維數；

δ——覆蓋集合A的盒子的直徑；

N（δ，A）——覆蓋集合A所需直徑最大為δ的集的最少數目。

實際應用中為了計算盒維數，通常用尺度為L的盒子（盒子應廣義地理解為任意的歐氏維數的盒子）去覆蓋分形體，然后數出能完全覆蓋住分形體的最少盒子數N（L）。由不同的盒子尺度L可得到不同的盒子數N（L）與其對應。最后，將這一系列的N（L）、L數據做lnN（L）～ln（1/L）圖，如能得到一條直線，就說明N（L）與L具有如下關系：

　　（3-12）

式中　D——分形體的計盒維數；

L——覆蓋分形體的盒子的長度；

N（L）——完全覆蓋住分形體的最少盒子數。

如果lnN（L）～ln（1/L）圖上只有一部分呈直線時，則此圖形的自相似性只存在于直線部分的測度范圍內。一般而言，實際分形只存在于有限的范圍內。

利用分形盒維數法來研究污染物時間序列在各強度閾值上的標度性質，其具體方法為^{［32，33，34］}：首先，用不同的閾值（T_h）將原始空氣污染序列轉變為點集T_h（t）。圖3-1所示為將原始PM_2.5濃度數據在閾值T_h=75μg/m³下轉變為點集的過程。例如，若閾值為數據的平均值（記為1·mean），則表示原時間序列中，每個數值大于平均值的數據才能被認為是一個點。圖3-1以PM_2.5污染濃度序列為例，設定閾值為T_h=75μg/m³，將高于75μg/m³的污染濃度序列轉化為時間軸上分布的點集。然后，用一系列的特征時間尺度（L）將整個原始序列空間劃分成不重復的許多個小段（即盒子）。隨后統計出覆蓋整個數據集所需要的盒子個數N（L），即所有包含有點的盒子個數。如果表達式N（L）=成立，則數據集存在標度不變性。此時，若以lg（L）為橫軸，lg［N（L）］為縱軸作圖，所得曲線則為一直線，其斜率的負值為D_B。此時得到的D_B是在一定的閾值下PM_2.5污染濃度的分形盒維數。因此，這種方法直接刻畫了原時間序列中高污染濃度在時間上的分布特征。