3.3　功率譜與1/f噪聲

功率譜S（f）是時間序列分形研究的標準方法之一^［29］。功率譜分析是對原時間序列進行傅立葉變換，把原來在時域內以時間t為變量的函數x（t）變換為頻域內以頻率f為變量的函數x（f），也就是將原來時間序列數據集分解為一系列振幅不同的頻率變化的正弦函數，得到頻域內振幅隨頻率變化的函數x（f）：

　　（3-6）

式中　x（f）——以頻率f為變量的函數；

x（t）——以時間t為變量的函數；

T——x（t）在時域內延伸的時間區間。

由于振幅的平方正比于功率，定義單位時間內的功率譜密度S（f）為：

　　（3-7）

式中　x（f）——以頻率f為變量的函數；

S（f）——單位時間內的功率譜密度。

若全部或部分區間內的功率譜服從冪律關系：S（f）∝f^-β，即

　　（3-8）

式中　β——功率譜指數。

則數據在此區間內具有分形標度性質。

功率譜的冪函數形式表明，物理系統的觀測資料在頻率f空間中跨越很寬的尺度，但確有自相似結構。時間序列在圖像上看上去是不規則的，但其功率譜卻可能出現規則性。如譜圖中具有單峰（或幾個峰），則對應于周期（或擬周期）序列。如時間序列的功率譜遵從冪律關系：

　　（3-9）

表明在冪律關系范圍內不存在特征時間尺度，即標度行為。因此，在此范圍內任意尺度上的波動都相互關聯，這表明分形行為的存在。當β=0時，對應白噪聲；當β=2時，對應褐色噪聲；0.5＜β＜1.5時，對應于1/f雜音，這是功率譜與振動數的倒數呈正比的擺動的總稱。噪聲研究表明，許多噪聲的S（f）～1/f，它們被稱為1/f噪聲，其包括固體導電現象中的1/f噪聲，尼羅河水流量變化的1/f噪聲，高速公路車流變化以至音樂的1/f噪聲等。

Voss^［30］與Malamud等^［31］表明，從理論上講，功率譜指數β與Hurst指數H也滿足如下關系：

β=2H-1　　（3-10）

然而，在實際應用中，這些關系很少是嚴格滿足的，但這一關系至少可以對R/S分析進行一定的檢驗。