3.2　R/S分析與長期持續(xù)性

Hurst效應(yīng)實質(zhì)上說明了時間序列中，變量內(nèi)在的相關(guān)性存在長期持續(xù)的行為。Hurst提出了一個新的統(tǒng)計量H來識別這一系統(tǒng)性的非隨機特征，即Hurst指數(shù)。這個指數(shù)和系統(tǒng)的分形維完全相關(guān)。這種統(tǒng)計方法應(yīng)用范圍很廣，而且沒有什么基本假設(shè)。如果時間序列存在非周期循環(huán)，使用R/S分析可以找出平均的非周期循環(huán)和由于長期記憶效應(yīng)產(chǎn)生的持久性。傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析研究方法在研究各種自然現(xiàn)象抽象出的時間序列時，通常都忽略事件之間的長程相關(guān)性，認為事件只在短程范圍內(nèi)具有“記憶性”，而R/S經(jīng)驗關(guān)系式的存在卻說明事件的發(fā)生具有長程相關(guān)性，后面事件的發(fā)生將受到前面事件的影響。它改變研究的時間尺度大小，研究其統(tǒng)計特性變化的規(guī)律，分析時間序列的長程相關(guān)性。這樣，人們就根據(jù)整體和部分之間規(guī)律的相似性，將小時間尺度范圍得到的規(guī)律應(yīng)用于大的時間尺度范圍，或?qū)⒋髸r間尺度范圍得到的規(guī)律應(yīng)用于小的時間尺度范圍，從而也可以用于預(yù)測性的研究。

R/S方法的具體算法為^{［22，26～28］}：

首先將研究的時間序列{x_i，i=1，2，…，M}分為A個不重疊的、連續(xù)的子序列I_a（a=1，2，…，A），并計算每個子序列的平均值為：

　?。?-1）

式中　e_a——每個子序列的平均值；

x_k，a——子序列I_a中的每個數(shù)據(jù)；

a——所劃分的某個子序列的編號，其取值為（a=1，2，…，A）；

t——每個子序列的長度，其取值為（2≤t≤M/2）；

M——整個研究序列的總長度；

k——某個子序列中所含數(shù)據(jù)的編號，其取值為（k=1，2，…，t）。

從而得到各子序列的累積離差：

　?。?-2）

式中　y_k，a——研究序列中各子序列的累積離差。

進一步，通過累積離差的最大值和最小值之差，計算出極差：

　?。?-3）

式中　R_a——研究序列的極差。

其中，極差R依賴于時間序列的長度t，并隨t的增加而增加。為了研究數(shù)據(jù)中的統(tǒng)計規(guī)律性，Hurst使用了一個無量綱的參數(shù)R/S，其中S表達式為：

　　（3-4）

式中　S——研究序列的標準偏差。

當時間尺度t發(fā)生改變時，R/S也會隨之而改變。Hurst發(fā)現(xiàn)對于許多自然界的時間序列，如河湖水位、降雨量、溫度、氣壓、樹木年輪、徑流量等，R/S都滿足下列關(guān)系：

　　（3-5）

式中　H——Hurst指數(shù)，一般處于0～1之間；

b——擬合參數(shù)。

如Hurst對尼羅河進行長期的水文觀測，發(fā)現(xiàn)尼羅河流量的Hurst指數(shù)是0.72，具有正的長時間相關(guān)效應(yīng)。通過數(shù)值試驗，利用計算機產(chǎn)生隨機時間序列，計算它的Hurst指數(shù)，其值接近0.5。如果把原始尼羅河流量時間序列隨機打亂，再進行R/S分析，得到的Hurst指數(shù)指數(shù)值也接近0.5。這說明沒有時間相關(guān)性的隨機時間序列的Hurst指數(shù)為0.5，R/S分析是分析時間序列長期相關(guān)性的有效方法。

總體來說，當H＞0.5時，數(shù)據(jù)之間滿足正相關(guān)性或長期持續(xù)性，即過去一段時間的增長（減少）趨勢將意味著未來相同時間間隔內(nèi)有一個增長（減少）趨勢，H值越接近1，持續(xù)性就越強；H=0.5表示研究的時間序列是白噪聲序列，即序列中各個數(shù)據(jù)都是獨立的，互不關(guān)聯(lián)的，完全隨機的，前一段時間的變化趨勢不會對后面產(chǎn)生影響；H＜0.5表明數(shù)據(jù)之間滿足負相關(guān)性或反持續(xù)性，即過去增長（減?。┶厔輰⒁馕吨磥淼臏p?。ㄔ鲩L）趨勢，H越接近0，反持續(xù)性就越強。